2024年北京大兴区高一上学期期末考数学试题含答案解析

第1页/共1页北京大兴区2023~2024学年第一学期期末检测试题高一数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1等于（）A. B. C. D.2.函数的最小正周期等于（）A. B. C. D.3.下列函数中，不是表示同一函数的是（）A.， B.，C.， D.，4.下列函数中，在区间上单调递增是（）A. B.C. D.5.下列区间中，方程的解所在区间是（）A. B. C. D.6.若，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要7.已知为第二象限角，且，则等于（）A. B.1 C. D.78.要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来2倍B.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的C.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍D.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的9.设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④10.已知函数零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_____________．12.我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么300密位等于___________；13.指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于______.14.已知函数，若，则______；若，且，则的取值范围是______.15.已知函数对任意的，都有成立.给出下列结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（1）求值：；（2）已知，，用，表示.17.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，若角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合.（1）求的值；（2）求的值.18.已知函数，.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在区间上的最大值与最小值.19.已知函数，.（1）求证：为偶函数；（2）设，判断单调性，并用单调性定义加以证明.20.设关于的函数的最小值为.（1）求；（2）若，求函数的最大值.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.（参考公式与数据：；；.）大兴区2023~2024学年第一学期期末检测试题高一数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由特殊角的三角函数值即可得解.【详解】由题意有.故选：C.2.函数的最小正周期等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正切函数的周期公式计算即得.【详解】函数的最小正周期.故选：A3.下列函数中，不是表示同一函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据定义域、值域和对应法则依次判断即可.【详解】对于A选项，两个函数的定义域都为，值域都为，且对应法则一样，所以表示同一函数，故A选项错误；对于B选项，的定义域为，值域为，的定义域为，值域为，定义域不同，所以不是同一函数，故B选项正确；对于C选项，与的定义域都为，值域都为，且对应法则一样，所以表示同一函数，故C选项错误；对于D选项，与定义域都为，值域都为，且对应法则一样，所以表示同一函数，故D选项错误.故选：B.4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】对于ABC：，，均在区间上单调递减，错误；对于D：在区间上单调递增，正确；故选：D.5.下列区间中，方程的解所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，直接由表达式（指数函数、一次函数单调性）可得它的单调性，结合零点存在定理即可得解.【详解】因为指数函数与一次函数在定义域内均单调递增，所以函数在定义域内也单调递增，且注意到，所以由零点存在定理可知方程的解所在区间是.故选：C.6.若，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.7.已知为第二象限角，且，则等于（）A. B.1 C. D.7【答案】A【解析】【分析】先通过诱导公式求出，进而根据同角三角函数关系求出，展开代入的值计算即可.【详解】,，即，又为第二象限角，，则，.故选：A.8.要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍B.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的C.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍D.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的【答案】A【解析】【分析】根据三角函数平移，伸缩的变换规律，即可判断选项.【详解】函数图象上的所有点先向右平移个单位长度，得到函数，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数.故选：A9.设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根据指数、对数函数的单调性，和不等式性质逐项判断即可.【详解】由题，令，则单调递减，所以，①正确；令，在单调递增，所以，②错误；对于③，，由知，，所以③正确；对于④，，因为，所以，所以，故④正确；故选：D10.已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由函数零点的定义得到，再结合条件进行变形，，再根据对数函数的图象和性质，即可求解取值范围.【详解】由题意可知，，，即，因为，所以，则，当时，解得：.故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_____________．【答案】【解析】【详解】函数的定义域为故答案为12.我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么300密位等于___________；【答案】【解析】【分析】根据一个圆周分为6000等份，对应，列出等式，即可求得答案.【详解】设300密位等于x，由题意得：，解得，故答案：13.指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于______.【答案】2【解析】【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程，求出.【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去），当时，单调递减，故，无解，综上，等于2.故答案为：214.已知函数，若，则______；若，且，则的取值范围是______.【答案】①.或②.【解析】【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围.【详解】，得或；由题意可知，，由函数图象可知，，则，即，则，，所以的取值范围是.故答案为：或；15.已知函数对任意的，都有成立.给出下列结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】令可判断①，取特殊函数利用特例可判断②，根据所给函数性质推出可得即可判断③，利用均值不等式及③可判断④.【详解】令，则，故①正确；由可得，用换可得，令，则满足，而，，则不恒相等，故②错误；由，用代替可得，又由对任意实数成立知，所以，故③正确；由③知，，所以，用替换可得，，所以，当且仅当时等号成立，故④正确.故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（1）求值：；（2）已知，，用，表示.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）根据指对运算即可得到答案；（2）根据对数运算性质和换底公式即可.【详解】（1）原式（2）由已知，，则17.在平面直角坐标系中，角终边与单位圆交于点，若角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由三角函数定义以及二倍角的余弦公式即可得解.（2）由诱导公式结合两角和的余弦公式即可得解.小问1详解】由三角函数定义，，，.【小问2详解】由题意，，.18已知函数，.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】（1），.（2）最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简原函数，再用周期公式计算周期和正弦函数的单调区间求出函数的单调增区间.（2）由正弦函数的单调性求出最值即可.【小问1详解】因为所以的最小正周期.函数的单调递增区间为.由，得.所以的单调递增区间为.【小问2详解】因为，所以.当，即时，取得最小值.当，即时，取得最大值.所以在区间上的最小值为，最大值为.19.已知函数，.（1）求证：为偶函数；（2）设，判断的单调性，并用单调性定义加以证明.【答案】（1）证明见解析（2）是单调递增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）由对数复合型函数的定义域结合偶函数的定义即可得证.（2）直接由函数单调性的定义结合对数函数单调性即可得证.【小问1详解】函数的自变量满足，解得，所以函数的定义域为.对于，都有，且所以函数为偶函数.【小问2详解】函数是单调递增函数.理由如下：设，且，因为，所以，即，又知，所以，因此，即，由函数单调性定义可知，函数是单调递增函数.20.设关于的函数的最小值为.（1）求；（2）若，求函数的最大值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）换元成二次函数，分情况讨论二次函数的单调性讨论最小值即可.（2）根据二次函数的单调性进行最值的讨论.【小问1详解】解：（1），设，则，由于，若，则当时，取得最小值1，即；若，则当时，取得最小值，即若，则当时，取得最小值，即.所以.【小问2详解】由第（1）问的结论可知，当时，无解；当时，由，解得，或（舍）；当时，由，解得（舍），综上，此时当，即时，取得最大值5.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.（参考公式与数据：；；）【答案】（1），（2）（3），，.【解析】【分析】（1）首先旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系；（2）根据（1）的结果，即可求解；（3）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，并利用参考公式化简高度