2023年北京首师大附中高一（上）期末数学试卷和答案

高中PAGE1高中2023北京首都师大附中高一（上）期末数学2023.1本试卷共4页，120分．考试时长90分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将只将答题卡交回．Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知命题，则为（）A. B.C. D.3.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.4.不等式的解集为（）A. B. C. D.5.已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（）A. B. C. D.6.已知a＝0.63，b＝30.6，c＝log30.6，则（）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.c＜a＜b D.c＜b＜a7.已知实数，若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.8.某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是（）A.84.5 B.85 C.85.5 D.869.学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（）A.18 B.20 C.22 D.3010.物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算:(其中是人耳能听到声音的最低声波强度)，一般声音在30分贝左右时不会影响正常的生活和休息，超过50分贝就会影响睡眠和休息;70分贝以上会造成心烦意乱，精神不集中，影响工作效率，甚至发生事故;长期生活在90分贝以上的噪声环境，就会得“噪音病”，汽车的噪声可以达到100分贝，为了降低噪声对周围环境的影响，某高速公路上安装了隔音围挡护栏板，可以把噪声从75分贝降低到50分贝，则50dB声音的声波强度是75dB声音的声波强度的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍Ⅱ卷非选择题（共80分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域为_____．12.某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．13.函数恒过的定点坐标为___________，值域为_____________．14.若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．15.已知函数，则函数最小值为_______________；如果关于x的方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是__________________．三、解答题（共5小题，16题10分，17题8分，18题12分，19题14分，20题11分，共55分）16.计算下列各式的值：（1）；（2）.17.已知甲乙两人的投篮命中率分别为，如果这两人每人投篮一次，求：（1）两人都命中的概率；（2）两人中恰有一人命中的概率.18.某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:锻炼时长（小时）56789男生人数（人）12434女生人数（人）38621（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小.（直接写出结果）19.已知函数是定义在R上的奇函数.（1）求f（x）的解析式及值域：（2）判断f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明.（3）若不大于f（1），直接写出实数m的取值范围.20.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.（1）求常数的值；（2）写出的解析式；（3）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？

参考答案Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】A【分析】求出集合，根据并集的运算即可求出结果.【详解】解可得，，所以，所以.故选：A.2.【答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题，否量词，否结论即可得解.【详解】命题的否定为：，故选：B.3.【答案】A【分析】根据单调性排除BD，根据奇偶性排除C，A满足单调性和奇偶性，得到答案.【详解】对选项A：，函数为偶函数，当时，为增函数，正确；对选项B：在上为减函数，错误；对选项C：，函数为奇函数，错误；对选项D：在上为减函数，错误；故选：A4.【答案】D【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】，即，等价于，解得或；故选：D.5.【答案】B【分析】确定函数单调递增，计算，，得到答案.【详解】在上单调递增，，，故函数的零点在区间上.故选：B6.【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解即可．【详解】因为0＜0.63＜0.60＝1，则0＜a＜1，而b＝30.6＞30＝1，c＝log30.6＜log31＝0，所以c＜a＜b．故选：C7.【答案】C【分析】对ABD选项采用取特殊值验证即可，对于C，首先构造指数函数，利用单调性即可.【详解】因为，则对于A，取，，则，A错误；对于B，取，，此时，故B错误；对于C，构造指数函数，则单调递减，因为，所以有，即，故C正确；对于D，取、，则，故D错误.故选：C8.【答案】D【分析】按照求解百分位数的流程，先计算出，然后由小到大排序，选取第8个数作为第75百分位数.【详解】，故从小到大排列后：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125取第8个数作为第75百分位数，第8个数是86故选：D9.【答案】B【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答.【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：，所以抽取的高二年级学生人数为.故选：B10.【答案】A【分析】首先根据题意得到，再代入公式计算即可.【详解】因为，所以.所以倍.故选：AⅡ卷非选择题（共80分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】由题意，可知，解得，所以函数的定义域为．故答案为：．12.【答案】140【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：，故答案为：140.13.【答案】①.②.【分析】根据，求出对应的的值得到定点坐标，再由指数函数值域得所求值域.【详解】令，解得：，此时，故函数恒过定点.指数函数的值域为，函数的图像，可将指数函数的图像向左平移两个单位，再向下平移两个单位，所以函数的值域为.故答案为：；.14.【答案】【分析】结合充分不必要条件即可求出结果.【详解】因为，即，由于“”是“”的充分不必要条件，则，但不能推出，所以，故答案为：.15.【答案】①.②.【分析】空1利用函数单调性求函数最小值，空2作函数与的图像，从而利用数形结合求解．【详解】在区间上单调递减，当时，；在区间上单调递增，当时，，，∴函数最小值为.作出函数与的图像如下，

∴结合图像可知，方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围三、解答题（共5小题，16题10分，17题8分，18题12分，19题14分，20题11分，共55分）16.【答案】（1）13（2）【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可；（2）由对数的运算性质求解即可【小问1详解】；【小问2详解】17.【答案】（1）0.56；（2）0.38.【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，求得两人都命中的概率.（2）利用互斥事件概率公式和相互独立事件概率计算公式，求得恰有一人命中的概率.【详解】记事件A，B分别为“甲投篮命中"，“乙投篮命中”，则.（1）“两人都命中”为事件AB，由于A，B相互独立，所以，即两人都命中的概率为0.56.（2）由于互斥且A，B相互独立，所以恰有1人命中的概率为.即恰有一人命中的概率为0.38.【点睛】关键点睛：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查互斥事件概率公式，关键在于准确地理解题意和运用公式求解.18.【答案】（Ⅰ）小时（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出【详解】（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为小时（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有人，记为，女生有人，记为从中任选2人的所有情况为，，，共种，其中选到男生和女生各1人的共有种故选到男生和女生各1人的概率（Ⅲ）【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.19.【答案】（1），（2）单调递减，证明见解析（3）【分析】（1）根据定义在R上的奇函数列方程，解方程得到，即可得到解析式，然后根据和反比例函数的单调性求值域即可；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据单调性解不等式即可.【小问1详解】因为为R上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以，，所以的值域为.【小问2详解】在R上单调递减，设，则，因为，所以，，即，所以在R上单调递减.【小问3详解