2024年中考数学小题速练一2填空题【06圆】

2024届中考数学填空题速练（含解析）

06圆

01已知。。的半径为3cm,圆心。到直线/的距离是2cm.则直线/与。0的位置关系是_____.

已知在中，AB=AC,交=10,cotB=^,如果顶点C在。8内，顶点Z在。8外，那么

的半径，的取值范围是___.

03如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（-2,0）,点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，8A长为半

径作弧，交》轴正半轴于点C,则点C的坐标为.

04如图，48、C是。。上的点，OC_L48,垂足为点。，且。为OC的中点，若。力=7,则8c的

长为.

05如图，在中，/氏4c点。在边47上，以。为圆心，4为半径的圆恰好过点C,且与边

至相切于点2交交于点£则劣弧况的长是_______（结果保留兀）

A

D

05《墨子•天义志》记载：-执规矩，以度天下之月圆度月知圆，感悟数学之美.如图，正月形

A8C0的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形4e若A夕:/18=

2：i,则四边形力'夕的外接圆的周长为.

07如图，在矩形4凤?。中，/19=6,BC=8,点、M、N分别是边AD、"的中点，某一时刻，动点E从点

M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点4匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方

向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，

连接EF,过点8作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是—.

03半圆0的直径AB=9,两弦AB、CD相交于点E,弦CD二超,且BD=7,则DE=

09如图，。。的半径是4,是。。的直径，。是衿的中点，连接力。则图中阴影部分的面积是

（结果保留n）.

10如图，在边长为1的正方形网格中，。。是△/比?的外接圆，点4B,。在格点上，则

cos乙力的值是_______.

11如图，在O。中，力8是。。的直径，AB=2V3,AD=BC,AD,交交于点£点。为品•的中

点，点G为平面内一动点且BG1EG,则ZG的最小值为.

4/\

O

CEB

12如图，一次函数尸(a>0)的图像与坐标轴交于48两点，以坐标原点。为圆心，半径

为2的。。与直线力8相离，则a的取值范围是

13如图，矩形"CD中，AB=U,/ID=4,。。分别与边4D,AB,C。相切，点而，A/分别在

AB.CD上,CN=1,将四边形8CNM沿着MN翻折，使点&C分别落在夕、U处，若射线Me恰

好与O。相切，切点为G,则线段MB的长为

14如图，。。的直径48的长为8,户是脑上一动点，乙4Ps的角平分线交。。于点。点/为△川PE

的内心，连接”，下列结论：①点。是定点；②PQ的最大值为8；③Q/的长为定值；®AP•BP

的最大值为16.其中正确的结论是_________(把正确结论的序号都填上).

15如图，在矩形498中，BC=8,2正6,经过点8和点。的两个动圆均与2c相切，且与49、

8G/a。。分别交于点G、H、E、F,则仔*的最小值是_______.

15已知。。的半径和正方形/的边长均为1,把正方形A8C0放在。。中，使顶点4。落在。。

上，此时点力的位置记为人，如图L按下列步骤操作：如图2,将正方形力BCD在。0中绕点力

顺时针旋转,使点8落到0。上，完成第一次旋转；再绕点8顺时针旋转，使点C落到。。上，

完成第二次旋转；……

⑴正方形力BCD每次旋转的度数为°；

⑵将正方形ABCD连续旋转6次，在旋转的过程中，点6与4。之间的距离的最小值为

17如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A048的顶点A,B、。均落在格点上，以点。为圆心

长为半径的圆交06于点C

(I)线段8c的长等于；

(II)若8。切。。于点。，P为。力上的动点，当8P+0P取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如

图所示的网格中，画出点P,并简要说明点D,P的位置是如何找到的(不要求证明).

13如图所示，将一个半径。4=10cm,圆心角乙力。8=90。的扇形纸板放置在水平面的一条射线。M

上.在没有滑动的情况下，将扇形力。8沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上时，则半径(M的中点。

运动的路线长为cm

19在平面直角坐标系xOy中，点A在直线I上，以A为圆心，0A为半径的圆与y轴的另一个交点为

E.给出如下定义：若线段OE,OA和直线I上分别存在点B,点C和点D,使得四边形ABCD是

矩形(点A,B,C,D顺时针排列)，则称矩形ABCD为直线I的“位置矩形”.

例如，图中的矩形ABCD为直线I的"位置矩形”.

备用图

(1)若点、A(-1,2),四边形ABCD为直线x=-l的"位置矩形”，则点D的坐标为；

(2)若点A(1,2),求直线y=kx+1(kKO)的“位置矩形”的面积；

(3)若点A(1,-3),直线I的“位置矩形”面积的最大值为,此时点D的坐标

为-.

23在平面直角坐标系％0y中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的

距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N的“近距离”，记为d(M,N).特别地，当图形M与

图形N有公共点时，d(M,川)=0.

已知A(-4.0),B(0,4),C(4,0),D(0,-4),

（1）d（点A,点C）=d（点A,线段BD）=；

（2）。。半径为r,

①当「二1时，求。。与正方形ABCD的“近距离”d（00,正方形ABCD）；

②若d（OO,正方形ABCD）=1,则r=.

（3）M为x轴上一点，OM的半径为1,0M与正方形ABCD的“近距离"d（OM,正方形

ABCD）<1,请直接写出圆心M的横坐标m的取值范围.

答案&解析

01【答案】相交

【分析】根据圆心O到直线/的距离小于半径即可判定直线/与。。的位置关系为相交.

【详解】解：•••圆心。到直线/的距离是2cm,小于。0的半径为3cm,

二直线/与。。相交.

故答案为：相交.

【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解

答.若dvr,则直线与圆相交；若4=r,则直线于圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

02【答案］ioVr<13##13>r>10

【分析】过点工作比于。，贝1)8。4纪二卜10二5,解应△/人?,求出47长，从而求出工8

长,再根据点与圆的位置关系求解即可.

【详解】解：如图,过点/作ADLBC千D,

£A

\\、//

\八〉/

、-----V

■：AB^AC,ADLBC,

•・.86.=：x10=5,层90°,

,cBD5an55

即—=一

cot8=—AD=—12',1AD12

■■■AD=12,

由勾股定理，#A8=yjAD2+BD2=V122+52=13.

••,顶点。在08内，顶点,4在。8外，

•••10<r<13.

故答案为：10<r<13.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，过点力作4XL%?于

D,构造直角三角形是解题的关键.

03【答案】（2,0）

【分析】连接8C,先根据点力的坐标可得04=2,再根据等腰三角形的判定可得A/BC是等腰三

角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得。。=OA=2,由此即可得出答案.

【详解】解：如图，连接BC.

、上

丁点力的坐标为（一2,0）,

OA=2,

由同圆半径相等得：84=BC,

.・.△ABC是等腰三角形，

vBO1AC.

0C=0A=2（等腰三角形的三线合一），

又：点C位于％轴正半轴，

二点C的坐标为（2,0）,

故答案为：（2,0）.

【点睛】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三

角形的三线合一是解题关键.

04【答案】7

【分析】根据垂径定理可得OC垂直平分48,根据题意可得平方。C,可得四边形HOBC是菱

形,进而根据菱形的性质即可求解.

【详解】解：如图，连接08,C4,

c

V力、B、。是O。上的点，OC_L/1B,

AD=DB,

•••D为。。的中点，

:.OD=DC,

二四边形A08C是菱形，。4=7,

BC=AO=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键.

05【答案】27r

【分析】如图，连接02OE,证明AB〃0E,可得乙4=乙。。及再证明土COE+/A。。=90。，可

得乙D0E=180°-90°=90。，再利用弧长公式进行计算即可.

【详解】解：如图，连接02OE,

OE=OC=4,

/.Z.0EC=Z-OCE,

L

B-------C

•••AB=AC,

:.乙B=Z-ACB,

:.乙B=Z.OEC,

AB//OE,

Z.A=乙COE,

•・,。0与边49相切于点。

/.Z.ADO=90°,

AA+^LAOD=90°,

...乙COE+LAOD=90°,

.*•乙DOE=180°-90°=90°,

二度的长=喏=2兀，

故答案为：27r.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和

定理的应用，弧长的计算，求解乙DOE=90。是解本题的关键.

05【答案】4企7T

【分析】根据正方形工88的面积为4,求出力8=2,根据位似比求出48'=4,周长即可得出；

【详解】解：•正方形28CO的面积为4,

•••AB=2,

•••A'B''.AB=2:1,

・•・A'B'=4,

:.A'C=V42+42=4V2,

所求周长二4企兀；

故答案为：4V27T.

【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关

键求出正方形的边长.

07【答案】务##粤

【分析】根据题意知斤在运动中始终与例/V交于点Q且AAQM~AFQN,NQ-.MQ=1:2,点H

在以8。为直径的mV上运动，运动路径长为mV的长，求出8Q及打V的圆角，运用弧长公式进行计

算即可得到结果.

【详解】解：二•点M、N分别是边4。、BC的中点,

连接例V,则四边形49A/例是矩形，

:AM=BN=^AD==4,

根据题意知所在运动中始终与例V交于点Q如图,

■-AO//BC.

.MAQM〜AFQN,

.NF=NQ_1

''EM~MQ~2

:.NQ*MN=2

当点£与点力重合时，则A/e*M=2,

:，BF;BN+NF=4+2=6,

:，AB^BF=6

「.△48"是等腰直角三角形，

・••，力/8=45。，

'：BPLAF,

"PBF=45°

由题意得，点〃在以8。为直径的mV上运动，运动路径长为用V长，取8。中点。连接尸。

NO、

••・乙PON-94C、

又乙BNQ=90。，

BQ=y/BN2+NQ2=V42+22=275,

「.ON=OP=OQ=：BQ=V5,

.•.用V的长为陋出二立7r

HJ八iso2

故答案为：争

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理.圆周角定理，以及弧长等知识,

判断出点分运动的路径长为用V长是解答本题的关键.

03［答案］3V2.

【详解】试题分析：根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB-aDEC,根据

CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比，设BE=X,贝IJDE=7-X,然后根据相似比表示出

AE、EC的长，连接BC,首先在RtaBEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在RtZ\ABC

中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长.

试题解析：・・.△D:4A,£DCA=ZABD,

•1.AAEB-ADEC；

ECDEDC3

—=—————'

BEAEAB5'

设BE二x,则DE=7-x,EC=|x,AE二|(7-x)；

Rt^BCE中，BE=x,EC二，则BC=gx；

在RtaABC中，AC=AE+EC=莪x,BC=gx；

由勾股定理，得：ABz=Ad+BC2,

即:92=(y-^X)2+⑨2,

整理,得xJ14x+31=0,

解得：x尸7+3或(不合题意舍去)，X2二7-3夜

贝ijDE=7-x=3V2.

【点睛】1.圆周角定理；2相似三角形的判定与性质.

09【答案】4n-8##-8+4n

【分析】连接先证明△力是等腰直角三角形，再利用阴影部分的面积二S扇形A。。-S-OD

即可求得答案.

【详解】解：连接OD,

是脑的中点，4?是。。的直径,

.1-48=90°,

'：AO=。。=4,

・•・△49。是等腰直角三角形,

:阴影部分的面积=S&形wo。一S^AOD

907rx421

———--------x4x4

3602

=4TT-8,

故答案为：4兀-8

【点睛】此题考查了不规则图形的面积、扇形面积公式、圆心角和弧之间的关系等知识，把不规

则图形的面积转化成规则图形的面积是解题的关键.

13【答案】等

【分析】取49中点。，由图可知，49=6,AD=BD=3,OD=2,由垂径定理得OZXL/8,则

OB=yJOD2+BD2=V22+32=713,cos乙DOB琛=之二缪，再证乙二LDOB,即可

OB\1313

解

【详解】解：取力8中点。如图,

\

由图可知，力/6,4?=及？=3,OD=2、

■-ODA.AB,

二.40。族90°,

.1.OB=y/OD2+BD2=V22+32=V13,cos乙。。次器=盍=等，

•/OA=O3,

:•/-B0*/-AOB、

V/-AC哈乙AOB,

■■jACB=乙DOB.

cosZ-ACB=cos4。。族哈士

故答案为：警.

【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理.圆周角定理，解直角三角形，取力8中点。得皿ODB

是解题的关键.

11【答案】近-1##-1+近

【分析】连接力0,以绯为直径作。M,先证明点G在0M上，连接4W,当力例于0M交于点

G时，此时/G最短，再求得的=/£=缶；=2,CE=\AE=1,贝IJMG=M8=叱=；桀=1,得到

CM=CE+ME=2,由勾股定理得到4%位，即可得到答案.

【详解】解：连接ZC以85为直径作OM.

,:BGLEG,

二•人BGE=90°,

「•点G在。M上，

连接4W,当力例于OM交于点G时，此时4s最短，如图，

O

n…"”

、：AD=BC、

「.Q=阮,

••点。为此的中点，

.•所=6=品,

:,/-CBD=LCBA=乙BAD=LCAD,

■-AE=BE.

,「ZB为。。的直径，

「•4C8=90。，

■■/-CAD^LBAD+4力80=90°,

■■/-CBD=LCBA=ABAD=4C40=3O°,

•••4>%*X2V5=V5,

：-BE=AE=-^-=2.CE=\AE=1,

cos3002

-：MG=MB=ME=\BE=1,

，CM二CE+ME=2、

：.AM=yjAC2+CM2=J（、"）2+22s

.■.AG^AM-MG=>/7-l,

即gG的最小值为近一1,

故答案为：V7-1

【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键.

12【答案】a>V5

【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点48的坐标，再利用勾股定理计算出48=V5a.接着

利用面积法计算出。"二竽Q,然后根据直线与圆的位苣关系得到。/2,即当Q>2,于是解不

等式即可得到3的范围.

【详解】解：当尸0时，・5+年0,解得产2a则42a,0),

当产0时,y=-^x+a=a,flij^0.a),

在Rt^/18。中，=JQ2+(2Q)2=病&

过。点作。儿L4?于“如图，

.「。0分别与边AD,AB,CD相切，AD=4,

，。。的直径为4,

.-.OE=0G=2.

•AD.A8为。。的切线，

..OHLAD,OELAB,

,.Z=90°.

••・四边形。H4E为矩形，

：OH=OE,

•••四边形。从4E为正方形.

:,AE=AH=OE=2.

•••ME,"6为。。的切线，

：.OE1AM,OGLMG,ME=MG.NOME=NOMG.

••・四边形BCNM沿着MN翻折，使点8、。分别落在B'、C，处，

CN=CNr=1,MB=MB',BlC=BC=4,乙BMN=^B'MN.

■：^AMO+LGMO+乙B'MN+乙BMN=180°,

：.Z.OME+Z.B'MN=90°,

■：NF1MG.

.'.Z.FNM+Z.GMN=90°,

：.^OME=乙FNM,

:/.OEM=Z.MFN=90°,

△OEMMFN.

,OE_FM

''ME~'FN'

•..四边形C'B'MN为直角梯形，NFLB'M,

ANF=B'C=4,B'F=C'N=1,

设BM=8'M=x,则MF=B'M-8'r=x-l,EM=AB-AE-BM=11-2-x=9-x.

9-X4'

解得：％=5-2e或5+2x/2（不合题意.舍夫）.

:.BM=5-2鱼.

故答案为：5-2企.

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，相

似三角形的判定与性质，梯形的性质，切线长定理，条件适当的辅助线是解题的关键.

14【答案】①②③

【分析】连接BQM/,由题意易得熊=时，然后可得①，根据圆中直径最大可判定②，由内心可

知乙P4=ZBA/,然后根据三角形外角的定义及圆周角定理可进行排除;③，过点夕作PD1AB于

点2进而可得4P•尸最后可得出选项.

【详解】解：连接BQM/,如图所示：

多

Q

•.MB为。。的直径，

Z.APB=90°,

•.Z/P8的角干分线交。。于点。点/为4/PB的内心，

AAPQ=乙BPQ=45°,^PAI=乙BAI,

.•・代=时，且A/IQB是等腰直角三角形，

-.AQ=BQ=^AB=4V2,即点。是定点，故①正确，

由圆中最长的弦是直径可知PQ的最大值为8,故②正确；

,.乙Q1A=Z.PA1+/-APQ.LQA1=Z.BAI+Z.QAB,且4Q.48=Z.APQ=45°,

Z.QIA=Z.QAI,

-AQ=QI=4或，即Q/的长为定值，故③正确；

过点户作PD14B于点D,

■■-S^APB=^APBP=^A3PD.

当BP的值为最大，则AB的值为最大，即PD的值为最大,

•.当PD是半径时,即为PD=4.

■AP•BP的最大值为4P•BP=8x4=32；故④错误；

综上所述：正确的有①②③；

故答案为①卷③.

【点睛】本题主要考查三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握三角形

的内心、圆周角定理及等接三角形的性质与判定是解题的关键.

15【答案】9.6

【分析】设GA的中点为。，过。点作0M过8点作垂足分别为仪M根据

乙/90。可知，点。为过8点的圆的圆心，。用为。。的半径，30+0/1/为直径，可知

B8OMNBN、故当82大直径时，直径的值最小，即直径劭也最小，同理可得斤的最小值.

【详解】如图，设GH的口点为。过。点作。用过8点作垂足分别为酎、N,

...在。ZX/S。中，BC=B,/a6,

-.AC=>JAB2+BC2=10.

由面积法可知，BN^AC=A3・BC,

解得8g4.8,

.二4金90°,

•••点。为过8点的圆的圆心，。例为。。的半径，例为直径的长，

又「B80MNBN、

,当班/为直径时，直径的值最小，

此时，直径GN=8/H4.8.

同理可得：矿的最小值为4.8,

故为G片的最小值是9.6.

故答案为：9.6

【点睛】本题考查了切线的性质，垂线的性质及勾股定理的运用.关键是明确依G4为两圆的直

径，根据题意确定直径的最小值.

15【答案】(1)30

(2)2-V2

【分析】(1)根据题意可知△。力。是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则

正方形各顶点构成正六边形，边长为1,进而求得每次旋转的角度；

(2)在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点8与4。之间的距离的最小值为。。的直径减去

正方形的对角线的长度.

【详解】(1)解：:。。的半径和正方形力88的边长均为1,

。”。是正三角形，

•••WAD=60c

根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形，

•••48。/8=120。-90。=30°

即正方形每一次旋转的角度为30。，

故答案为：30.

(2)如图，8点的运动路径如图中%―86部分，

•••正方形的边长为L

二正方形的对角线长为企,

•・•。。的半径为L

•••最短距离为2-亚

故答案为：2-V2.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋

转的规律是解题的关键.

17【答案】713-3连接力点和8点上一格再左两格的格点，交。。于。，找到6点关于。/

的对称点&连接交"于2

【分析】（I）利用网格根据勾股定理求出。8的长，再用。B-OC即可求出线段BC的长；

（II）如图，连接/点和8点上一格再左两格的格点£交。。于2找到8点关于3的对称点

B,连接8。交。力于2则点。。即为所求.证明△08。和力全等,得出BD是。。的切

线，通过垂径定理可得点。、。关于0人的对称，有最短路径，可得当8、P、0,三点共线时，BP+

DP=8P+/TP取得最小值.

【详解】解：（I）.「。力=3,AB=2,OALAB,

OB=y/OA2+AB2=V32+22=V13,

..BC=OB-OC=OB-OA=y113-3

二线段BC的长等于旧-3.

（II）如图，连接2点和8点上一格再左两格的格点£交。。于2找到8点关于3的对称点

B,连接8。交。/）于a则点。。即为所求.连接8。交0A于P,点。、P即为所求，

根据格点的特点，AEL06,

-：oA=oa

•••LDOB^LAOB,

SA08。和△OBA中

OD=OA

乙DOB=LAOB,

OB=OB

.-^OBD^AOBA,

；ZODB二乙OAB=90。，ODLOB.

二•BO是。。的切线，

B'是B关于04的对称点，

•.BP=B'P,

当8'、P、。三点共线时,8P+0P=8'P+DP取得最小值.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图、勾股定理、圆周角定理、轴对称-最短路径问题以及垂径

定理等知识，解决本题的关键是掌握轴对称性质.

13【答案】（10兀+警加）

【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是理解点。经过的路线并能正确运用弧长公式进行

计算.仔细观察点。经过的路线可得，点。经过的路线可以分为四段，分别求出四段的长，再求

出其和即可.

【详解】解：连接8P,如图所示：

为4。的中点，0A=10cm,

P0=5cm,

根据勾股定理得：BP=y/PO2+BO2=5V5cm,

中点户经过的路线可以分为四段，当筋切射线。M于点8时，0810M,此时Q点绕K动点8转

过了90。，此时点"经过的路线长为：

907TX5V55后

=-Cm'

第二段：OB10M到。410M.2点绕动点转动，而这一过程中脑始终与射线0M相切，

.••点尸转动点的连线始终垂直射线0M.

•••点尸运动的路线长为神的长，即黑尸=57rcm,

loU

第三段：OB10M到点尸落在射线。M上，点夕绕不动点力转动了90。，此时点"运动的路线长

、，.907TXS5

为-E=”cm,

第四段：。41OM到。8与射线OM重合.点尸绕不动点。转动了90。，此时点夕运动的路线长为：

907rx55

180=-7rcrri

，户点经过的路线总长为：5〃+^兀++苧7T=(10"+苧7T)cm

故答案为：(10兀+苧7T).

19【答案】(1)(-1,0)；⑵V6；(3)5、⑶・2)或(-1,-2).

【分析】(1)只需根据新定义画出图形就可解决问题；

(2)过点A作AF_Ly轴于点F,连接AO、AC,如图2,根据点A(1,2)在直线y=kx+l上可求

出k,设直线y=x+l与y轴相交于点G,易求出OG二1,4FGA二45。，根据勾股定理可求出AG、

AB、BC的值，从而可求出“位置矩形"ABCD面积；

(3)设"位置矩形"的一组邻边长分别为x、y.则有占夕=10.由(x-y)2=x2+y2-2xy=10-

2xy20可得xy这5,当且仅当x二y时，xy取最大值是5,此时“位置矩形”是正方形，然后分点D

在第四象限(如图3)和第三象限(如图4)两种情况讨论，就可解决问题

【详解】(1)如图1,

点D的坐标为(-1,0