备考2024年中考数学专题突破专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题（解析版）

专题2-1将军饮马等8类常见最值问题

两定一动型（线段和差最值问题）

题型后双动点最值问题（两次对称）

动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）

酶国垂线段最短

匙蜜五相对运动平移型将军饮马

通过瓜豆得出轨迹后将军钦马

化斜为直，斜大于直

豳四不构造二次函数模型求最值

,一■・••一■・•-

一、单动点问题

【问题1】在直线/上求一点匕使总+PB最小

问题解决：连接4B,与/交点即为P,两点之间线段最短以+P8最小值为A8

A

B

【问题2］在直线/上求一点P,使PA+PB最小

问题解决：作8关于/的对称点8=P8=P8,则%+PB=»\+PB',当A,尸，8共线时取最小,

原理：两点之间线段最短，即南+尸8最小值为A8

【问题3】在直线/上求一点P,使|%—P用最大

问题解决：连接A8,当A,B,尸共线时取最大

原理：三角形两边之和大于第三边，在△A8P中,\PA-PB'\^AB'

【问题4】在直线/上求一点P,使|%一。阳最大

问题解决：作B关于直线/的对称点B'=PB=PB',\PA-PB\=\PS-PB'\

原理：三角形两边之和大于第三边，连接人8,在△八B'P中|%一刊?'区48

二、双动点问题（作两次对称）

【问题5】在直线乙，4上分别求点M,N,使△PMN周长最小

问题解决：分别作点。关于两直线的对称点P'和户'，PM=P'M,PN=P"N,

原理：两点之间线段最短，尸，P',与两直线交点即为M,N,则AM+历N+PN的最小值为线段P'P”

的长

【问题6】P,。为定点，在直线4,4上分别求点M,N,使四边形PQMN周长最小

问题解决：分别作点P,Q关于直线4,的对称点P'和。，PM=FM,QN=Q'N

原理：两点之间线段最短，连接P'Q',与两直线交点即为M,N,则PM+MN+QN的最小值为线段

尸Q，的长，周长最小值为产。'+尸。

【问题7】4,B分别为4，4上的定点，M,N分别为4,匕上的动点，求AN+MV+BM最小值

问题解决：分别作A,区关于4,4的对称点4,B',则A/V=4'N,BM=B'M,A'夕即所求

原理：两点之间距离最短，A,N,M,B'共线时取最小，则4N+MN+BM=AW+MN+B'MW4b

三、动线段问题（造桥选址）

【问题8】直线〃?〃〃，在〃I,/?上分别求点M,N,使且AM+MN+8N的最小值

问题解决：将点3向上平移MN的长度单位得8,连接当共线时有最小值

原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM+MN+BN=AM+MN十B'MWAB'+MN

AA

【问题9】在直线/上求两点M,N（M在左）且MN=a,求AA/+MN+BN的最小值

问题解决：将8点向左移动。个单位长度，再作8关于直线/的对称点8"，当AZTM共线有最小值

原理：通过平移构造平行四边M'MNn8V=厅/=6'"，

4W+M/V+3N=AM+MN+3"M<A3"

B”

四、垂线段最短

【问题10】在直线4，6上分别求点A,B,使P8+A8最小

问题解决：作P关于〃的对称点P',作产AJL《于A,交4于8,P'A即所求

原理：点到直线，垂线段最短，PB+AB=P'B^AB<P'A

五、相对运动，平移型将军饮马

【问题11］在直线/上求两点M，N（M在左）且MN=a,求AM+4N的最小值

问题解决：相对运动或构造平行四边形

策略一：相对运动思想

过点人作MN的平行线，相对MN,点八在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题

策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.

六、瓜豆就迹，手拉手藏航迹

【问题12］如图，点。在直线/3C上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°,得到点Q,求Q点

轨迹？

问题解决：当AP与AQ夹角固定且人户:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线

段的时候，可以任取两个时刻的。点的位置，连线即可，比如。点的起始位置和终点位置，连接即

得。点轨迹线段.

原理：由手拉手可知△ABC经△A。。子故NAQzQ=NACB,故Q点轨迹为直线

七、化斜为直，斜大于直

【问题13］己知：AD是R/A4BC斜边上的高

AH

(1)求U的最大值；(2)若AO=2,求AC的最大值

BC

问题解决：取8。中点M,(1)则竺＜4"二！：(2)BC=2AM＜2AD=4

BCBC2

八、构造二次函数求最值

这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相

似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或

者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值.当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个

超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方.

【问题14］正方形A8CO的边长为6,点。在边CQ上，且CD=3CQ,/＞是边8c上一动点，连接P。,

过点P作EPJ_PQ交八3边于点E,设8P的长为x,则线段把长度的最大值为.

问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到△PCQs△石8。，进而根据相似

I,9

比得到BE=-1(x-3)-+二，利用二次函数求最值方法求解印可得到答案

2/2

【详解】易知..△PC。-△EBP,.•.空二上，

RPBE

26-v

；CD=3CQ,CD=6,：,QC=2,=

xBH

・•・^=1A(6-A)=-1(A2-6A)=-1(A-3)2+1(O<A<6),

乙乙乙L

8E=—g（x—3）2+g在x=3时有最大值，最大，直为£

2

任双峰心•题1

两定一动型（线段和差最值问题）

1.（2023西安模拟预测）如图，正方形八8。力的边长为4,点M在边8C上，A/C=l,P为正方

形内（含边上）一点，且$外8二;S正方体械dG为边CD上一动点,连接MGGP,则MG+GP的

最小值为一.

（分析］先确定组成点P的所有点为过4），BC的中点£,尸的线段EF，作点M关于CD的对称点M"

连接WG,证明"户的氏为MG+GP的最小值，因此求出M户的长即可.

【详解】解：过点。作所〃AB,分别交AD8C于点£F,

•・•四边形48co是正方形，

・•・四边形ABFE和四边形“CD都是矩形，

,:S；S正方体ABCD,正方形ABCD的边长为4,

-x4E4=-x42，

24

解得£4=2,

CF=DE=AD-AE=4-2=2,

AB

作点M关于C。的对称点AT，连接WG,

则〃G=MG,M'C=MC=\,

...MG+GP=M'G+GPNM'F,

：.MG+GP的最小值为M'F的长，

M'F=M'C+CF=1+2=3,

•••MG+G0的最小值为3

2.透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离底部3cm

的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处.求蚂蚁吃到饭

粒需要爬行的最短路程是多少？

蚂蚊力

B

【答案】13

【详解】•・•高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点8处有一饭粒,

此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，

••・A'O=5cm,8Q=12-3+AE=12cm,

工将容器侧面展开，作A关于石厂的对称点A',

连接A'B,则A'8即为最短距离，

A，^=4AD2+BD2=^（叩）.

3.如图，在平面直角坐标系中，R3OA8的顶点A在x轴的正半轴上.顶点4的坐标为（3,G）,

点。的坐标为（1,0）,且NAO8=30。点尸为斜边。4上的一个动点，则以+PC的最小值为（）

A.V2B.73C.x/7D.VTl

【答案】C

【分析】过点C作C关于OB的对称点C，，连接AC与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC

与0B的交点即为所求的点P,PA+PC的最小值=AC',过点C作CD_L0A于D,求出CC\NOCC=60。，

再求出CD、CD,然后求出AD,再根据勾股定理列式计算即可得解.

【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C',连接AC'与0B相交，

则AC与0B的交点即所求的点P,PA+PC的最小值=人（7,

过点C作CD_LOA于D,

•・•点C的坐标为（1,0）,且NAOB=30。,

・•・/0（2090。-30。二60。，

OC=1,CC=2xlxi=i,

ACD=y,CD=0

-2

•・•顶点B的坐标为（3,G）,点C的坐标为（I,0）,ZOAB=90°,

AAC=3-1=2,

・・・AD=2+泻，

在RSACD中，由勾股定理得，AC7czy+AD2=J（用=/

4.如图，点A,/?在直线MN的同侧，A到VN的距离AC=8,B到MN的距离4。=5,已知CO=4,

。是直线MN上的一个动点，记E4+QA的最小值为|以-必|的最大值为b,则片一〃的值

为（）

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

【分析】作点A关于直线MN的对称点4,连接43交直线MN于点P,则点P即为所求点，过点

4作直线AE_L8D,在根据勾股定理求出线段A'8的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于

点P,此时=由三角形三边关系可知因，故当点P运动到P，时|冏最

大，过点B作跖1AC由勾股定理求出AB的长就是|姑-尸身的最大值，代入计算即可得.

【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点A,连接AA交直线MN于点P,则点P即

为所求点，过点A作直线A£_L5D,

VAC=8,4。=5,CD=4,

・・・A'C=8,8E=8+5=13,AfE=CD=4,

在RfA'EB中,根据勾股定理得，

,A'B^BE+A'E=32+42=V185,

即PA+PB的最小值是a=/在；

如图所示，延长AB交MN于点〃，

"A-PB=AB,AB>\PA-PB\,

・•・当点P运动到P，点时，|H4-尸耳最大,

过点B作BE_LAC,则BE=CQ=4,

，AE=AC-BD=S-5=3t

在用4班中，根据勾股定理得，

AB=\IAE2+BE2=5/32+42=5t

：.\PA-PB\=5t

即Z?=5,A^2-/?2=(>/i85)2-52=160

5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5.动点P满足S△双=^S矩形AMD.则点P到B,C两点距离

o

之和PB+PC的最小值为o

【答案】向

【解答】解：设△P8C中边上的高是九

•仁LB・8C,

23

2

3

，动点。在与8c平行且与8c的距离是2的直线/上，如图，作8关于直线/的对称点瓦连接CE,

则CE的长就是所求的最短距离.

在RiaBCE中，・.・BC=5,BE=2+2=4,

:心={+BE?=752+42=向，

即08+PC的最小值为历

6.（2023•泰州•三模）如图，在矩形A8CO中，AB=5cm,BC=6cm,点E在直线4。上，从点A

出发向右运动，速度为每秒0.5cm,点F在直线4c上，从点13出发向右运动，速度为每秒2cm,

BE、A/，相交于点G,则4G+CG的最小值为cm.

【答案】10

【分析】过点G作直线MN/8c,分别交AD、BC于点、M、N,过点G作直线PQ//CD,分别交AB、

DC于点、P、Q,易知四边形ABNAf、PBNG、GNCQ为矩影，证明‘GAEs,GFB,由相似三角形

的性质可得坐=空：设区?两点运动时间为/，则AE=05f,BF=2/,易得GM=lcm,GN=4cm；

BFCJN

作点C关于直线尸Q的对称点K,由轴对称的性质可得CG=KG,故当8、G、K三点共线时，

8G+KG的值最小，即8G+CG取最小值，此时，在RtZXBCK中，由勾股定理求得BK的值，即可

获得答案.

【详解】解：如下图，过点G作直线分别交A。、4c于点M、N,过点G作直线尸。〃C。,

分别交A8、OC于点尸、Q,

易知四边形八8VN、PBNG、GNCQ为矩形，MN=AB=5cm,

•・•四边形48CD为矩形，

AAD//BC,AB//DC

:.NGAE=/GFB,NGEA=/GBF,

:...GAEs,.GFB.

.AE_GM

'•BFiGN'

设E、厂两点运动时间为/,则A£=0.5，，BF=2l,

“GM0.5/1,八八

则有——=—=-,即GN=4GN,

GN2t4

;MN=5cm,

/.GM=1cm,GN=4cm,

•.•四边形GNC0为矩形，

?.QC=GN=4cm,

作点C关于直线的对称点K,如图，

则QK=QC=4cm,KC=QK+QC=8cm,

由轴对称的性质可得CG=KG,

当B、G、K三点共线时，BG+KG的值最小，即BG+CG取最小值,

此时，在Rtz\3CK中，BK7BC?+KC?=招+6=10cm.

工4G+CG的最小值为10cm

7.已知x,义S满足§=J(x+2/+(),一3尸+J(+一2)2+(),一6/,则S的最小值为.

【答案】5

【分析】根据J(x+2)2+(y_3『表示平面内点(X)，)与(一2,3)之间的距离，&］一2)2+()，-6)2表示平

面内点(苍y)与(2,6)之间的距离,得出当点(x,y)在(-2,3)与(2,6)之间的线段上时,这两个距离之

和最小，求出这个最小距离即可.

【详解】解：•・•+2产+()，-3产表示平面内点(X,)，)与(—2,3)之间的距离,J(x_2)2+(y—6尸表示

平面内点(x,y)与(2,6)之间的距离，

As=7(x+2)2+(y-3)2+7(x-2)2+(y-6)2表示这两个距离之和，

•・•两点之间线段最短，

・・・当点(%,y)在(-2,3)与(2,6)之间的线段上时，这两个距离之和最小，

・•・S的最小值为J(-2-2『+(3-6『=5.

8.探究式子GTT+戈二不3(x20)的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图,取

八3=4,作AC_LA8于A.八3于3,且4C=1,BD=1,点E在AB上,设=则

3E=4-x,于是,y/7+i=CE，+1=。七，因此,可求得CE+DE的最小值为,

已知y=J(x+5)2+52-Jf+32(x20),则>的最大值是.

【分析】作C关于A4的对称点尸，连接切交4?于连接CO,利用勾股定理求CE+OE的最

小值即可；构造图形如图，过点。作力M/AC交AC于M,求y的最大值结合三角形的三边关系，

根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案.

【详解】解：如图，作。关于的对称点尸，连接尸。交45于£,连接CO,

Cr^-...................刁。

A\"E'EB'

F

则》=AC=1,CE=FE,

此时CE+OE的值最小为：CE+DE=FE+DE=DF,

ACLAB,BD±AB,

:.AC//BD,

VAC=BD=\,

四边形A8OC是平行四边形，

./GW=90。，

••・西边形A8DC是矩形，

/./FCD=90°,CD=AR=^,

-CF=CA+AF=2,

DF=VCF2+CD2=V22+42=26

如图，ZA=90°MC=5,AB=5,BD=3,BE=x,

M')CE=752+(5+X)2,DE="+32,

:CE-DE<CD,

:.CE-OE的最大值为。。的长度，

过点。作。M/AC交AC于扬，

则四边形AWM/为矩形，

：.DM=AB=5,AM=BD=3f

:.CM=2,

:.CD=y/CM~+DM2=,2?+52=V29，

・・.)’的最大值为J西

9.如图,4、B两点在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=16,8至IJMN的距离3。=10,C£>=8,

点P在直线MN上运动，贝ij|以-叫的最大值等于.

A

【分析】延长AB交MN于点产，过点8作阳1AC,由题意可知R4—产B=习24—阳，即说

明当点尸运动到尸点时，|PA-尸邳最大，即为4B的长.最后根据勾股定理求出A8的长即可.

【详解】解：如图，延长4?交MN于点〃，过点B作BE14C,

・•・当点尸运动到尸点时，|PA-P8|最大，即为的长.

•••80=10,CO=8,AC=16,

・•・BE=CD=8,AE=AC-CE=AC-I3D=]6-10=6,

•**AB=JAEMBE?=V62+82=10,

••・归4-所|的最大值等于10

10.已知：如图，在矩形ABC。中，48=3,AO=4.动点尸为矩形ABC。内一点，且满足

SAPBC=TS炸形ABCO»则AADP周氏的最小值为--------•

【答案】4+2石

【分析】过点P作MN_LA。，交A。于点M,交8C于点N,由S^BC=；S矩形独四，可得PN=；MN=2,

过P点作G////AD,交于点G,交CD于点、H,作A点关于G"的对称点A,连接AO与G”交

点即为所求点P,在心△A4D中，AD=4,AA=2,即可求AO=26.

【详解】解：过点、P作MNJ.AD,交八。于点M,交8。于点N,

SwBC=§S趴彩ABCD，

.••LXBCXPN=LXBCXMN,

23

:.PN=^MN,

3，

•••AB=3,

:.MP=1,

过尸点作G，//AD,交A8于点G,交。。于点”，作A点关于GH的对称点A,连接AO与GH交

点即为所求点

•・・AP=A'P,

:.AP+PD=AD,

・・・AG=L

：.AA'=2,

在心△A4'Z）中，4）=4,AA'=2,

AfD=2石，

二A4£）P周长的最小值2石+4,

故答案为4+2行.

2022•绥化•中考真题

II.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=攵/+〃与坐标轴分别交于A（5,o）,两点，且与

k5

反比例函数必=乜的图象在第一象限内交于P，K两点，连接。P,△OAP的面积为

x4

⑴求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）若C为线段。4上的一个动点，当PC+KC最小时，求.PKC的面积.

【答案】⑴,=一;X+£,%=2.；*

22x5

【详解】（1）解：•・•一次函数y=Kx+8与坐标轴分别交于A（5,o）,B'o1）两点,

乙）

・••把A(5,0),代入y=&/+/?得,

5。+。=0k.=--

2

八5,解得，,

5'

'=5bR=—

2

一次函数解析式为y=一］“+g5

：.OA=5,

又SAP&O=~'

\-x5xPH=-

t24

PH==,

2

151

——x+-=—,

222

x=4.

P(4.5)

•••P(4,5)在双曲线上，

k-,=4x—=2,

2

.2

・・y2=—.

x

(2)解：作点K关于x轴的对称点K',连接KK'交工轴于点则K',-2),OM=T,

连接尸K'交x轴于点C,连接KC,则PC+KC的值最小，

设直线PK'的解析式为y=^vc+n,

m+n=-2

把P(4,；),K'(l,-2)代入得，・

.1

4m+n=—

2

5

m=—

6

解得，

17

n=------

6

517

直线PK'的解析式为y――x-----,

66

当),=0时，fx-^=0,解得，x=—,AC(—,0)AOC=—

66555

171717Q

：.MC=OC-OM=--\=—,AC=OA-OC=5--=-fAM=OA-OM=5-\=4t

=1X4X2-1X^X2-1X^X16

2252525

S双动点最值问题（两次对称）

12.如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、

MN、NA,则四边形AEMN周长的最小值为。

,延长AB至&,使BE=BE',连接A'E,,

交BC于M,交。。于M此时AN=AfN,EM=E,M,四边形AEMN周长=AN+MN+ME+AE=A'

Ef+AE,根据两点之间线段最短，A'£'+4上就是四边形AEMN周长的最小值；

\*AD=2,AE=BE=I,

・・・A'D=AD=2,BE=BE,=1,

：.AEf=3,AA,=4,

E，+=5,

••・四边形AEMN周长的最小值为5+1=6.

13.（2023・淄博・一模）如图，在四边形A8CD中，"=N0=9O。，ND4B=140。，M,N分别是

边DC,BC上的动点，当6AMN的周长最小时，NMAN=

D

M

BNC

【答案】100

【分析】作点人关于8、CB的对称点从F,连接EF分别交C。、CB于点、H、G,连接A”、AG.

EM、FN,则当点股与点〃重合，点N与点G重合时，jAMN的周长最小，则易得N'A"W的大

小.

【详解】解：如图，作点A关于CD、CB的对称点、E、F,连接E/分别交C。、CB于点、H、G,连

接47、AG、EM、FN,

由对称性知：EM=AM,EH=AH,NF=NA,GF=GA,

:.AM+MN+NA=EM+MN+NFNEF,

・•・当点M与点”重合，点N与点G重合时，,AMN的周长最小；

VGA=GF,EH=AH、

：.ZGAF=ZGrA,〃IEA=〃IAE,

：.ZAGH=2ZGFA,ZAHG=2/HEA

•・•ND48=140。，

・•・ZGFA+ZHEA=180O-ZDAB=40°,

ZAGH+ZA/7G=2ZG4F+2ZHE4=2x40o=80°,

...NGAH=180°-(ZAGH+ZAHG)=180°-80°=100°,

即NM4N=1(X)°,

故答案为：100.

14.四边形ABCD中，ZBAD=125°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当三角形AMN

周长最小时，/MAN的度数为。

D

【答案】70

使得D4〃=AD,

VZABC=ZADC=90°,

・・・A、A'关于6c对称，A、A〃关于CD对称，

此时的周长最小，

*：BA=BA,,MB上AB,

：.MA=MA/,同理：NA=NN',

・•・"=NMA/3,NA〃=/NAD,

VZAMN=ZAz+NM48=2NA',N4NM=NA〃+NNAD=2NA",

：.4AMN+4ANM=2(N/V+N4〃),

VZBAD=\25°,

・・・NA'+N4〃=180°-ZBAD=55°,

・・・NAMN+NANM=2X55°=110°.

・・・NM4N=180°-110°=70°,故答案为：70°

15.(2023・西安•二模)如图，在四边形A8CO中，ZB=ZD=90°,N8A£>=120°,AB=2,AD=4,

尸、Q分别是边8C、C。上的动点，连接”，A。，PQ,则周长的最小值为.

【答案】477

【分析】如困，由ZB="=90>,作A关于BC对称的点/，作A关于C。对称的点4,连接AA",

与交点为与U力交点为0,连接AP',40',由对称的性质可得人户=4"〃，八。=AC,

A，D=AD=-AA,=4,A"B=AB=-AA,,=2,则A/+PQ+AQ'=/T产+P'Q'+4Q',可知当

22

A”、P、2、4四点共线时，△A〃Q的周长最小为AA",如图，过川作A〃£_L4）的延长线于E,

由N3Ao=120°,可得ZA"AE=60。，则A"E=A4，sinNA"AE=，A£=A4"-cosZ/TA£=2,

AE=10,根据AA"=JA'炉+A"£2,计笄求解即可.

【详解】解：如图，由ZB=ZD=90°.作A关于3c对称的点父，作A关于C。对称的点4,连接4A",

与8c交点为尸，与C。交点为0,连接人尸，AQ',

,,f,

由对称的性质可得曾二人产，人。=40,AD=AD=-AA=4,A"B=AB=-AA=2f

22

...AP'+P'Q'+A。=AnP'+P'。'+4。，

.・.当/V、P、Q\4四点共线时，△APQ的周长最小为

如图，过A"作A"E"LAO的延长线于E,

\*ZBAD=\20°,

・•・Z/TAE=60。，

/.ATE=M"-binzlA"AE=2>/3,AE-AA^cos^AE-2t

AAZE=1O,由勾股定理得44〃=JA'炉+A"£=4分

16.如图，在平行四边形A8CD中，对角线AC、/比>相交于点。，点七、尸分别是边AD、AA上的点,

连接。区OF、EF,若AB=6，BC=2,NDAB=30。，则《0E/周长的最小值是.

【答案】叵

2

【分析】作点。关于A4的对称点M,点。关于AE）的对称点N,连接MMMF,NE,AN,AM,

则OEF的周长=OE+OF+EF=ME+EF+MF,故当A/、E、F、N四点共线时ME+EF+M”,

即此时，OEF的周长最小，最小值为MN的长，证明△MAN是等边三角形，得到何N=AM=AO；

过D作OP_LA3交直线A3于P,由平行四边形的性质得到AO=8C=2,OD=OB=；BD,由含

30度角的直角三角形的性质得到。P=1A£>=1,则A尸二#，OD=OB=~,即可得到点P与点

22

B重合,则OA=〃8'+OB2=巫,由此即可得到答案.

2

【详解】解：作点。关于A〃的对称点M,点。关于AZ）的对称点N,连接MMMF,NE,AN,AMf

由作图得：AN=AO=AM,乙NAD=4DAO,ZMAB=^BAO,NE=OE,MF=OF、

・•・OEF的局长=OE+OF+EF=ME+EF+MF,

・••当M、区RN四点共线时ME+EF+M~，即此时&OE尸的周长最小，最小值为MN的长，

ZZM^=30°,

二・ZAWV=60°,

•••AM47V是等边三角形，

・•.MN=AM=AO\

过。作。交直线A8于P,

•・•四边形ABC/）是平行四边形，

/.AD=BC=2,OD=OB=gBD,

2

ARt.ADP中，ZDAP=30°,ZDPA=90°,

・•・DP=-AD=\,

2

•**AP=y/AD2-BD2=73，OD=OB=gBD=g,

，AB=AP=43t

・••点P与点B重合，

：.OA=^AB-+OB~=—,

M

且动线段问题：造桥选址(构造平行四边形)

鞍山•中考真题

17.如图，在平面直角坐标系中，已知43,6),3(-2,2),在工轴上取两点C,。(点。在点。左侧),

且始终保持8=1，线段C。在x轴上平移，当4)+8。的值最小时，点。的坐标为

【分析】作点B关于x轴的对称点B，，将B，向右平移1个单位得到B”，连接AB”,与x轴交于点D,

过点作AB"的平行线，与x轴交于点C,得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB”,得到点D

坐标，从而可得点C坐标.

【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B，，求FB，向右平移1个单位得到B”，连接AB”,与x

轴交于点D,过点作AB”的平行线，与x轴交于点C,

可知四边形B'B"DC为平行四边形，

则BC=B"D,

由对称性质可得：BC=BC,

・・・AD+BC=AD+B，C=AD+B"D=AB",

则此时AB”最小,即AD+BC最小，

VA(3,6),B(-2,2),

•••B'(-2,-2),

・・・B”(-1,-2),

设直线AB”的表达式为：y=kx+b,

6=3k+b2=2

则《-2…b,解得：

b=0'

・,・直线AB”的表达式为:y=2x,

令y=0,解得：x=0,即点D坐标为(0,0),

・••点C坐标为(-1,0),

故答案为：(-1,0).

聊城•中考真题

18.如图，在直角坐标系中，矩形。48c的顶点。在坐标原点，顶点A,C分别在x轴，y轴上，B,

。两点坐标分别为8(-4,6),D(0,4),线段石尸在边OA上移动，保持E/=3,当四边形

【答案】(-040)

【详解】解：如图所示，(0,4),

工。点关于x轴的对称点坐标为H(0,-4),

：.ED=EH,

将点，向左平移3个单位，得到点G(-3,-4),

:,EF=HG,EF//HG,

・•・四边形EFG”是平行四边形，

:.EH=FG,

:・FG二ED,

,:B(-4,6),

・••BD=J(-4—0)2+(6-4)2=2右,

义•：EF=3,

・•・四边形BDEF的周长:BD+DE+EF+BF=2K+FG+3+BF,

要使四边形尸的周长最小，则应使的值最小,

而当月G、8三点共线时尸G+B尸的值最小，

设直线的解析式为：y=kx+b(k^0)

,:B(-4,6),G(-3,-4),

-4k+b=6

••[_3八沙=-4，

.>=-10

*,[b=-34，

y=-10x-34,

当.y=0B寸，x=-3.4,

.・・F（-3.4,0）,

.•・石（-0.4,0）

故答案为：（-0.4,0）.

19.如图，在平面直角坐标系中有A（0,3）,。（5,0）两点.将直线（：向上平移2个单位长度得

到直线4,点笈在直线6上，过点8作直线4的垂线，垂足为点C,连接AB,BC,CD,则折

线ABCD的氏AB+BC+CD的最小值为.

【答案】2君+庭

【分析】先证四边形A8C77是平行四边形，可得AAnC/7,则48+8C+CQ=b+&+CD,即当

点C,点。，点尸三点共线时，C/+CD有最小值为。尸的长，即AB+8C+CO有最小值，即可求

解.

【详解】解：如图，将点A沿y轴向下平移2个单位得到£（。，1）,以AE为斜边，作等腰直角三角形

AEF,则点尸(1,2),连接CR

「二A是等腰直角三角形，

AF=EF=V2,ZAEF=45°,

「将直线4:)'=x向上平移2个单位长度得到直线。，

：.ZAOC=45°,BC=\H，

:.BC=AF=®,ZAEF=ZAOC=45°,

:.EF//OC,

AFLEF,BC10C,

AFIIBC,

••・西边形ABC/7是平行四边形，

:.AB=CF,

AB+RC+CD=CF+g+CD,

...当点C,点O,点尸三点共线时，CV+CO有最小值为。尸的长，即A3+BC+CZ)有最小值，

•・•点。(5,0),点尸(1,2),

DF=7(5-1)2+(2-0)2=2芯,

二折线ABCQ的长M+8C+C。的最小值为2百+&

广西来宾中考其题

20.如图，已知点43,0),8(1,0),两点C(-3,9),。(2,4)在抛物线y=/上，向左或向右平移抛物

线后，C,。的对应点分别为C',加，当四边形A8C。的周长最小时，抛物线的解析式

为.

y.

c

【答案】)，=(%—得).

【详解】解：•・•43,0),3(1,。)，C(-3,9),0(2,4),

AAB=3-\=2,CD=>/(-3-2)2+(9-4)2=5x/2,

由平移的性质可知：C,D，=CD=5\H，

:.四边形ABCiy的周长为A3+3C'+C'£>'+A'A=2+BC+5应+£>'A:

要使其周长最小，则应使8C'+O'A的值最小；

设抛物线平移了〃个单位，当〃>0时，抛物线向右平移，当a<0B寸，抛物线向左平移;

.,.C(-3+49),少(2+&4),

将。向左平移2个单位得到。"("4),则由平移的性质可知：BD'=AD',

将。"(a,4)关于x轴的对称点汜为点旦则E(a,T),由轴野称性质可知，BD"=BE,

・•・BC'+D，A=BC'+BE,

当以E、。三点共线时，8C+8E的值最小，

设直线BC的解析式为：y=h+力(攵#0),

9

a)k+b=9(1-4

=0,当"4时一*

..y=------x+-----,

•«-44-«

99

将E点坐标代入解析式可得：-4=--«+--,

a-44-a

25/

解得：a=7i，此时8C'+8E=C'E=J(-3+4-。『+(9+4丫

此时四边形ABC。'的周长为AB+BC'+C'O'+O'4=2+5及+JI7i:

当。=4时,C*(l,9),D,(6.41,43,0),8(1,0),

此时四边形ABCD'的周长为：

A8+8C+C£r+ZTA=2+(9-0)+5Vi+J(6-3『+(4-0y=16+5夜;

V2+5x/2+Vi78<16+5V2,

2525(25

••・当。二"时，其周长最小，所以抛物线向右平移了■^个单位，所以其解析式为：y=\x-—

1313113,

国垂线段最短

21.（2023下•湛江•二模）如图，在中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,A8=10,AO平

分NCAB交.BC于点、D,HE、尸分别是A。、AC边上的动点，则CE+）的最小值为.

【答案】y

【详解】解：如图，在上取一点9，使AF=A/，连接斯'，作C〃_L48,

•.AO平分NB4C,

\?mc?DAB,

AE=AE,

：..AEF^AAEF\SAS),

：.EF=EF>,

:.CE+EF=CE+EF,,

・•・当点C,E,F'在同一条线上，且CE/A6时，CE+EF最小,即CE+E尸最小，其值为C”,

v5

./.tBotC=-2ACI3C2=-ABCH,

wACBC6x824

C/7=-----=---=一,

AB105

94

即CE+律的最小值为二

5

22.如图，/MON=45。，O尸平分NM0M点A为射线OM上一点，OA=4,点E,尸分别为射线

OP,OM卜的动点,连接人凡E凡则4E+E/的最小值为.

N

P

M

【答案】2&

【解析】在ON上截取OG=OF,连接EG,过点A作AH_LON于点H.

VOG=OF,ZEOG=ZEOF,OE=OE,

/.△OEG^AOEF,AEG=EF,

・・・AE+EF=AE+EG2AH.

VZMON=45°,OA=4,AH=—OA=272.

2

2022•贵州毕节•中考真题

23.如图，在Rt.A8c中，N3AC=90°J5=3IC=5,点P为8c边上任意一点，连接24,以孙,

PC为邻边作平行四边形小。C,连接PQ,则PQ长度的最小值为.

【答案】y

【分析】利用勾股定理得到8c边的长度，根据平行四边形的性质，得知。?最短即为PQ最短，利

用垂线段最短得到点P的位琵,再证明△。"-△。产。利用对应线段的比得到。产的长度，继而得

到。。的长度.

【详解】解：：N6AC=90C,A6=3,6C=5,

JAC=ylBC?-AB，=4,

•.•四边形APCQ是平行四边形，

：,PO=QO,CO=AO,

•••PQ最短也就是「。最短，

，过。作BC的垂线OP,

)

BPp

ZACB=/PCONCPO=ZC4B=90。,

「・△CABs/xCPO,

.CO_OF

••正一前’

2OP'612

~=---,/.OP，=—,则PQ的最小值为2OP'=g

2022铜仁

24