5.3.2函数的极值与最大（小）值（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育5.3.2函数的极值与最大（小）值（基础知识+基本题型）知识点一函数极值的概念函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧．类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧．我们把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．拓展对函数极值概念的理解：（1）极值的特点：极值是函数的一个局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况，是仅对这一点两侧的一个小的范围而言的，所以极值必须在区间内的连续点取得，区间端点不可能是极值点．（2）极值的个数与大小关系：在函数的定义域内，函数可以有多个极大值点和极小值点，极大值和极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小，如图所示．（3）单调区间无极值：因为极值点两侧的导数值异号，即在极值点两侧函数的单调性相反，所以函数在单调区间内无极值；（4）与极值点的关系：可导函数的极值点是导数值为0的点，但是导数值为0的点不一定是极值点．例如，函数，虽然有，但我们知道在R上是单调递增的，所以不是函数的极值点．也就是说，函数在一点的导数值为0是函数在这点取到极值的必要条件，而非充分条件，要使区间内的一点成为函数的极值点，除了需使外，还必须满足在点两侧的符号不同．（5）如果函数在上有极值，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点．同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数在上连续且有有限个极值点时，函数在上的极大值点、极小值点是交替出现的．知识点二用导数求函数极值的步骤用导数求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）令，求出方程在定义域内的所有的根；（3）用的根将定义域分成若干个小区间，列表；（4）判断在每个根左右两侧的区间上的符号．若左正右负，则是极大值；若左负右正，则是极小值；若两侧的导数符号一样，则不是函数的极值点．知识点三函数的最大值与最小值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．最大值和最小值一定在极值点和区间端点的函数值中获得．拓展（1）最值的特点函数的最值是一个整体性的概念，最大（小）值必须是整个区间上所有函数值的最大（小）值，函数在一个闭区间上的最大值和最小值只能各有一个．（2）最值与极值的区别最值可以在极值点或端点处取得，而极值只能在区间内取得，连续函数在闭区间上一定有最值，但不一定有极值，极值有可能是最值，最值只要不取在端点处一定是极值．（3）最值、极值与函数的关系开区间上的连续函数不一定有最值，如函数在内既没有最大值也没有最小值．但若函数在区间上有唯一的极值，则它必是函数的最值．如图1，3－9中函数在内取值的不同情况：①有最大值无最小值；②有最小值无最大值；③无最大值也无最小值；④有最大值也有最小值．知识点四利用导数求函数最大值与最小值的步骤求函数在区间上的最大值和最小值的步骤：（1）求函数在区间内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．拓展求函数最值应注意的三点：（1）从极值点和端点处找最值求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值．只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值；（2）单调区间取端点若连续函数在上单调，则最大值、最小值在端点处取得；（3）当连续函数在内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以断定在该点处取得最大（小）值，这里也可以是无穷区间．考点一求函数的极值例1求下列函数的极值：（1）；（2）；（3）．分析：判断一个函数是否有极值，不能只求解．根据函数极值的定义，只要函数在某点附近的区域上是连续的，且在这一点两侧的单调性相反，这一点就是函数的极值点．解析：（1）．令，解得．因为当时，．当时，．所以函数在处有极小值，且．（2）．令，解得，．当变化时，，的变化情况如下表：0（0，1）1－0+0+单调递减极小值单调递增无极值单调递增所以当时，函数取得极小值，且．（3）．显然函数在处不可导．当时，，函数在（0，+∞）内单调递增；当时，，函数在（－∞，0）内单调递减．故当时，函数取得极小值，且．极值点与导数的关系：（1）可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点是可导函数在区间内的极值点的充要条件：①；②点两侧的符号不同．（2）不可导的点可能是极值点（如（3）题中点），也可能不是极值点（如，在处不可导，在处也取不到极值），所以函数的极值点可能是的根，也可能是不可导点．考点二利用极值求参数的值或取值范围例2已知函数．（1）若函数在，处取得极值，且函数的极小值为－1，求的解析式；（2）若，函数的图象上的任意一点的切线斜率为，有恒成立，求实数的取值范围．解析：（1）因为在，处取得极值，且，所以，，解得．所以当时，；当时，；当时，．所以当时，函数有极小值．所以．（2）由题意，知时，恒成立，即，，在时恒成立，则．设，．由，知在（0，1]内是单调递增的，所以．所以，实数的取值范围是．极值参数值（范围）极值参数值（范围）解关于参数的方程（不等式）检验根左右的符号解方程知方程的根的情况求定义域求导数用极值求极值已知函数的极值点，可通过极值点与导数的关系，即极值点必为的根，建立等式关系，，，利用待定系数法和方程的思想解出，．例3已知函数，在区间内有两个极值点，求实数的取值范围．解析：．因为函数在内有两个极值点，所以导数在内与轴有两个不同的交点，如图所示．所以，解得，故实数的取值范围是．在给定区间内的极值点的个数即是方程的根的个数，故可应用转化与化归的思想，把求极值问题转化为二次方程根的问题．考点三极值与方程的根的问题例4已知函数（为实数）．若方程有三个不同实根，求实数的取值范围．解析：令，解得，．当时，；当时，；当时，．所以当时，有极大值；当时，有极小值．因为方程有三个不同实根，所以的图象与轴有三个交点，如图．所以极大值，极小值，解得，故实数的取值范围是（－2，2）．总结：方程的根就是函数的零点，是函数图象与轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图象与轴交点的的问题．我们可以根据函数图象在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．例5设为实数，函数．（1）求的极值；（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？解析：（1）．令，则或．当变化时，，的变化情况如下表：（，1）1+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极大值是，极小值是．（2）函数，由此，知取足够大的正数时有，取足够小的负数时有，所以曲线与轴至少有一个交点．结合的单调性，知当的极大值，即当时，它的极小值也小于0，故曲线与轴仅有一个交点，它在内；当的极小值，即当时，它的极大值也大于0，故曲线与轴仅有一个交点，它在内．综上所述，当时，曲线与轴仅有一个交点．考点四利用导数求函数的最值例6．求下列函数的最值：（1）；（2）；（3），且为常数解：（1）因为恒成立，所以在上是单调递减的．故当时，有最大值；当时，有最小值．①（2）因为，所以，解得．②又因为，令，解得，所以在内的极值为．又因为，所以函数的最大值为，最小值为－1．（3）．若，则，函数在上单调递减，所以当时，有最大值；当时，有最小值．若，令，解得．③因为，所以．④①若，即，当变化时，变化情况如下表：01+0－0单调递增↗单调递减↘当时，有．若，即，则；若，即，则．②若，即1，则，函数在上单调递增．当时，有最小值；当时，有最大值．综上所述，当时，最小值为，最大值为0；当时，最小值为，最大值为；当时，最小值为0，最大值为；当1时，最小值为0，最大值为．在求闭区间上函数的最值时，只需先求出函数在开区间内的极值，再与端点处的函数值进行比较即可．例7．已知函数，问是否存在实数，，使在上取得最大值3，最小值．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．分析：求出在上的解，研究函数的单调性，在极值点或区间的端点处取得最大值3和最小值－29，构建方程（组）解出．解：因为，所以．显然，否则为常数函数，与已知矛盾．故令，解得（舍去）．若，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．则是函数在上的极大值，且是最大值，即．故．因为，所以，所以，解得．若，同理可得，．综上所述，存在满足条件的分别为或．对于含参函数，因为参数的不同取值往往会带来函数单调性的变化，从而导致最值的变化，所以对这一类题目需要对参数分类讨论进行求解．分类依据：①导数的零点是否在定义域内；②导数零点的大小关系及导数的符号．考点五函数最值的应用例8．已知曲线，直线，当时，直线恒在曲线C的上方，求实数的取值范围．解：由题意，知当时，恒成立，即在上恒成立．设，则．令，解得．因为当时，，所以在(-3，-1)内单调递减；因为当时，．所以在（－1，3）内单调递增．所以当时，取到最小值，故．（1）构造法与函数思想的应用：恒成立恒成立，恒成立恒成立，即把问题转化为求新函数的最值问题；（2）分离参数法、导数法与转化思想的应用：恒成立恒成立，即把恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．例9．已知函数，其中是大于0的常数．（1）求函数的定义域；（2）当时，求函数在内的最小值；（3）若对任意恒有，试确定的取值范围．分析：（1）求函数定义域，就是解不等式，需对进行分类讨论；（2）要求复合函数在内的最小值，结合复合函数的单调性，可以考虑求的最小值；（3）不等式恒成立问题，用分离参数法求解．解：（1）由，得．当时，，则的定义域为；当时，的定义域为；当时，的定义域为（2）设，因为当