5.3.2.2函数的最大（小）值（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育5.3.2.2函数的最大（小）值要点一函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不读的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【笔记小结】(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．要点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【笔记小结】(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．(3)若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点时，这个点的函数值必然是最值．例如在(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．()(4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．()【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(1)与f(2)C．f(－1)与f(2)D．f(2)与f(－1)【答案】B【解析】f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，即4－4x3>0⇒x<1，f′(x)<0⇒x>1.∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，故选B.3．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值【答案】A【解析】f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．4．已知函数f(x)＝sinx－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是________.【答案】1【解析】f′(x)＝cosx－2<0∴函数f(x)在[0，π]上单调递减∴f(x)max＝f(0)＝－a＝－1故a＝1.题型一求函数的最值【例1】求下列函数的最值．(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋sinx，x∈[0,2π]．【解析】(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令f′(x)＝0解得x＝－eq\r(2)或x＝eq\r(2).当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－eq\r(2))－eq\r(2)(－eq\r(2)，eq\r(2))eq\r(2)(eq\r(2)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(eq\r(2))＝－8eq\r(2)，所以当x＝eq\r(2)时，f(x)取得最小值－8eq\r(2)；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝eq\f(1,2)＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝eq\f(2,3)π或x＝eq\f(4,3)π.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)π))eq\f(2,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，\f(4,3)π))eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π，2π))2πf′(x)＋0－0＋f(x)0极大值eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)极小值eq\f(2,3)π－eq\f(\r(3),2)π∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.【方法归纳】导数法求函数最值(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点．(2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．【跟踪训练1】(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为()A．11B．－70C．－14D．－21【答案】(1)A【解析】(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3，由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；f(3)＝－21；f(4)＝－14；所以函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.(2)函数y＝xlnx的最小值为()A．－e－1B．－eC．e2D．－eq\f(10,3)【答案】(2)A【解析】(2)因为y＝xlnx，定义域是(0，＋∞)，所以y′＝1＋lnx，令y′>0，解得：x>eq\f(1,e)，令y′<0，解得：0<x<eq\f(1,e)，所以函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上递增，故x＝eq\f(1,e)时，函数取最小值是－eq\f(1,e).题型二含参数的最值问题【例2】已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．【解析】f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝－eq\f(a,3)，x2＝a.①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.③当a<0时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,3)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，＋∞))上单调递增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)))＝eq\f(5,27)a3.综上所述，当a>0时，f(x)min＝－a3；当a＝0时，f(x)min＝0；当a<0时，f(x)min＝eq\f(5,27)a3.【变式探究1】本例中再加“a>0”这一条件，求函数f(x)在[－a,2a]上的最值．【解析】f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，令f′(x)＝0，得x1＝－eq\f(a,3)<x2＝a.所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－a，－\f(a,3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，a))上单调递减，在[a,2a]上单调递增．所以f(－a)＝－a3，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)))＝eq\f(5,27)a3，f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3，所以f(x)max＝f(2a)＝2a3，f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.【方法归纳】(1)含参数的函数最值问题的两类情况①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．(2)已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．【跟踪训练2】已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数．(1)求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．(2)当b＝0时，若函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值．【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤eq\f(1,2)时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥eq\f(e,2)时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当eq\f(1,2)<a<eq\f(e,2)时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.综上所述，当a≤eq\f(1,2)时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当eq\f(1,2)<a<eq\f(e,2)时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；当a≥eq\f(e,2)时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)当b＝0时，由(1)知，若a≤eq\f(1,2)，则g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意，若eq\f(1,2)<a<eq\f(e,2)，则g(x)min＝2a－2aln(2a)，令2a－2aln(2a)＝0，解得a＝eq\f(e,2)(舍去)．若a≥eq\f(e,2)，则g(x)min＝e－2a＝0得a＝eq\f(e,2).综上所述a＝eq\f(e,2).题型三函数的最值与不等式问题【例3】已知函数f(x)＝(x－1)3＋m.(1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，求m的取值范围．【解析】(1)因为f(1)＝1，所以m＝1，则f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，而f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1,2]上恒成立，即不等式m≥3x2－3x在区间[1,2]上恒成立，即m不小于3x2－3x在区间[1,2]上的最大值．因为x∈[1,2]时，3x2－3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(3,4)∈[0,6]，所以m的取值范围是[6，＋∞)．【变式探究2】本例(2)中的条件“关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立”改为“关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上有解”，则实数m的取值范围又如何？【解析】不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上有解，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1,2]上有解，即不等式m≥3x2－3x在区间[1,2]上有解，即m不小于3x2－3x在区间[1,2]上的最小值．因为x∈[1,2]时，3x2－3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(3,4)∈[0,6]，所以m的取值范围是[0，＋∞)．【方法归纳】有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．一般地，λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.【跟踪训练3】已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．【解析】由题意知f(1)＝－3－c因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·eq\f(1,x)＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．由题意，知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，从而f′(x)＝48x3lnx(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，并且此极小值也是最小值．所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．整理得2c2－c－3≥0，解得c≥eq\f(3,2)或c≤－1.所以c的取值范围为(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).易错辨析混淆极值与最值致错【例4】已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝eq\f(2,3)处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式．(2)求函数f(x)在[－4,1]上的最值．【解析】(1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因为在x＝－2和x＝eq\f(2,3)处取得极值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－2＝0，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－4.))所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝eq\f(2,3)，所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上单调递增．因为f(－4)＝－11，f(－2)＝13，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(95,27)，f(1)＝4.所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.一、单选题1．已知，，（）是函数（且）的3个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】显然，即，设，则，所以，构造函数，利用导数即可求解.【解析】解：显然，即，设，则所以，所以，因为恒成立，所以在上单调递增，所以，故选：A.2．已知函数，下列结论中正确的个数是（）①的图象关于中心对称；②的图象关于对称；③的最大值为；④既是奇函数，又是周期函数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】将原函数化为，然后结合的性质以及导数逐项判断即可．【解析】解：，令，则，，对于①：，故的图象关于对称，故①正确；对于②：，故的图象关于对称，故②正确；对于③：令，得，因为，，，最大值为，故③错误；对于④：，故是奇函数，，故，故④正确．故选：C．3．函数的最大值为（）A．32 B．27 C．16 D．40【答案】A【分析】利用导数即可求解.【解析】因为，所以当时，；当时，.所以函数在上单调递增；在上单调递增,，因此，的最大值为.故选：A4．的最大值与最小值之差为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值.【解析】，设，则则为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，即的最大值与最小值之差为，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，所以的最大值与最小值之差为故选：B5．已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为的正三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该圆柱的体积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似比得出，再由圆柱的体积公式即可求解.【解析】由题意设圆柱的底面半径为（），高为，所以，解得，所以圆柱的体积，，令，解得，，解得，，解得，所以函数在上单调递增；在上单调递减；所以.故选：C6．已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论：①；②；③；④，则其中正确的结论个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据函数和的图象关于对称，直线与垂直，可得，、，，关于对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造，判断其单调性，即可判断③，由，判断其单调性，即可判断④．【解析】由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称，，、，，关于对称，则；①正确；对于②：由，因为，则；②正确；对于③：构造函数；则，当时，可得，函数在单调递增；当时，可得，函数在单调递减；，，，③正确；对于④：，，令函数，则当时，可得，函数在单调递减；当时，可得，函数在单调递增；，不对，即④不对．故选：B7．下列函数中，的最小值是2的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A：取特殊值，代入后否定结论；对于B：取特殊值，代入后否定结论；对于C：利用导数判断单调性，求出最小值；对于D：根据基本不等式利用的条件“一正二定三相等”进行判断.【解析】对于A：的定义域为.取特殊值，代入得y=-2<2.故A错误；对于B：的定义域为.取特殊值，代入得y=e-1<2.故B错；对于C：的定义域为R..令，解得；令，解得；所以在上单减，在上单增，所以当时，y取得最小值2.故C正确；对于D：.令，则.所以，当，记时取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D错误.故选：C8．已知函数，则下列说法错误的是（）A．B．函数的最大值为C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为D．若，则【答案】C【分析】利用导数研究的单调性，即可判断A、B的正误；由在、上的值域，即可知恰有两个不等的实根时的取值范围；若，构造及并利用导数研究单调性，进而确定在上的符号判断的符号，再结合的单调性即可证.【解析】由题意，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；A：，正确；B：的极大值，也是最大值为，正确；C：∵时，即上；时，即上；∴要使恰有两个不等的实根，则，错误；D：由知：若，令，，，∴设，，则，∴在上单调递增，即，故在上恒成立，∴，即，又，，由在上递减，即，故，正确.故选：C【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，进而比较函数值的大小及最大值，再由的区间值域，确定恰有两个不等的实根时的范围；利用极值点偏移问题的解法证明即可.二、多选题9．已知函数，则下列结论正确的是（）A．的周期为 B．的图象关于对称C．的最大值为 D．在区间上单调递增【答案】ACD【分析】根据周期函数的定义判断A，由对称性判断B，求导数，确定函数的单调性、最值判断CD．【解析】，所以是函数的一个周期，A正确；，，B错误；，则，考虑一个周期长度的区间范围内，得，，，－0－0＋0－减减极小值增极大值减，又，，所以，C正确，由表格知D正确．故选：ACD．10．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A．是的一个周期 B．在上是增函数C．的最大值为 D．在上有个极值点【答案】CD【分析】分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期为，即可判断A选项；设，对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断BCD选项.【解析】解：因为：，的最小正周期是，的最小正周期是，所以的最小正周期是，故A不正确；由题可知，取一周期，不放设，由，令得，，，当，，为增函数，当，，为减函数，当，，为增函数，所以在，上单调递增，在上为单调递减，故B不正确；由于，，所以的最大值为，所以C正确；由上可得在上，在和处取得极值点，即在上有个极值点，故D正确.故选：CD.11．已知函数，则下列说法正确的是（）A．B．函数的最大值为1C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为D．若，则【答案】ABD【分析】利用导数研究的单调性，即可判断A、B的正误；由在、上的值域，即可知恰有两个不等的实根时的取值范围；取，要证，即证，构造函数并利用导数研究单调性，进而确定在上的符号，即可证.【解析】由题意，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；即在上单调递增；在上单调递减，A：，正确；B：的极大值，也是最大值为，正确；C：∵时，即上；时，即上；∴要使恰有两个不等的实根，则，错误；D：不妨设，在上单调递增；在上单调递减，若，则，要证，即证，，只需证明，即证明令，，当时，，函数在上单调递增；所以，所以，即，故，正确.故选：ABD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题12．已知函数，则的最小值是______．【答案】【分析】利用导数判断函数的单调性，从而求函数的最小值.【解析】由题意，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以时取得最小值，此时．当时，，当时，，所以的最小值是．13．已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】将不等式化成，再两边取对数，分离参数并构造函数，求出函数的最值即可得解.【解析】，，而，于是得：，，令，，，当时，，当时，，因此，在上单调递增，在上单调递减，即当时，，于是得，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：14．已知，（为常数），的最大值为，则_______．【答案】2【分析】令，得到，然后对取对数，构建新的函数，然后利用导数得到，进一步得到，最后得到结果.【解析】令，所以，其中，令，且，所以可知：，；，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，由，，所以函数在单调递增所以由，即，所以故答案为：2【点睛】关键点点睛：关键在于使用换元，并构建函数，结合导数进行求解.四、解答题15．已知斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A､B两点，y轴上的点P使得△ABP是等边三角形.（1）若k>0，证明：点P在y轴正半轴上；（2）当取到最大值时，求实数k的