河北省唐山市2025届高三上学期1月期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河北省唐山市2025届高三上学期1月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R，集合M={x|0<x<5}，集合N={x|−2≤x<3}，则M∩∁UN=A.{x|0<x<3} B.{x|3≤x<5}

C.{x|−2≤x≤0} D.{x|x<−2或x>0}2.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+2i)=5+5i，则z=(

)A.1+3i B.1−3i C.3+i D.3−i3.已知向量a=(1,−2)，b=(t,3)，若a−b与2aA.−6 B.6 C.−32 4.甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有(

)A.12种 B.6种 C.24种 D.60种5.已知4sinα+5sin2α=6tanα，A.−35 B.35 C.−6.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC1，A.22 B.2 C.27.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的左焦点为F，右顶点为AA.23 B.12 C.138.设n∈N∗，xn是曲线y=x2n−1−2在点(1,−1)处的切线与x轴交点的横坐标，记an=A.5100101 B.5150101 C.5000101二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)

B.残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好

C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=7.881>6.635=x0.01，则依据α=0.01的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联”

D.样本相关系数10.已知函数f(x)=|sinx|+2cosxA.f(x)为奇函数 B.f(x)的一个周期为2π

C.f(x)的一条对称轴为x=π2 D.f(x)11.已知圆心在y轴上的动圆经过点P(0,−1)，与x轴的一个交点为M(x,0)，与y轴交于N(0,y)，点(x,y)的轨迹为E，O为坐标原点，则下列说法正确的是(

)A.E的方程为x2=y

B.E上恰有三个点到焦点弦所在直线l的距离为12，则l的倾斜角为60∘

C.E上两点A，B和直线y=x−4上两点C，D能够构成正方形的个数为2

D.过点(12,0)的直线与E交于A，B两点，过A作y轴的垂线与直线OB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2+113.已知0<x<1，则41−x+1x的最小值为14.某同学进行投篮训练,每次投篮次数为n,n∈N∗,n≥20,每次投篮的命中率都为p,随机变量ξ表示投篮命中的次数,ξ服从二项分布B(n,p),记η=ξ−npnp(1−p),当n≥20时,可认为η服从标准正态分布N(0,1),已知该同学每次投篮的命中率均为0.5,每次投篮命中得2分,不中得0分.若n=40,则该同学投中次数的期望为

次;若保证该同学n次投篮总得分在区间(0.8n,1.2n)的概率不低于0.8,则n的最小值为

.附:η~N(0,1),则P(η<1.28)=0.9,P(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知8sinA=3sin(1)求角C;(2)若△ABC的面积为63，求AB16.(本小题15分)某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立.该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3(1)若p1=12，p(2)若23p3=34p217.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB/​/CD，AB⊥AD，CD=3，AD=AB=2，点E在棱PC上，且PE=2EC．

(1)证明：BE/​/平面PAD;(2)若PA⊥底面ABCD，直线PD与直线AC所成角的余弦值为413，求平面PAD与平面ADE夹角的余弦值．18.(本小题17分)已知双曲线C:x2a2−(1)求C的标准方程;(2)点A(x0,y0)(x0>0)在C上，点(3)过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线x=12交于M，N两点，若|MN|=3319.(本小题17分)已知：对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycos(1)已知平面内点A(1,2)，点B(3,4)，把点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转π2后得到点P，求点P的坐标(2)若曲线C1:y=x−1x上的点可以由曲线C2:(3)将曲线E1:y=x−2lnx上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转π4，得到曲线E参考答案1.B

2.D

3.C

4.A

5.C

6.B

7.B

8.A

9.ABD

10.BD

11.ACD

12.15

13.9

14.20

；

41

15.解：(1)因为8sinA=3sinB，由正弦定理可得8a=3b，即a=38b，

由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=38ab+58ab2ab=12，

又因为0<C<π，所以C=π3．

(2)由S△ABC=16.解：(1)p=(1−p1)p2p3+p1p2(1−p3)=p2(p1+p3)−2p1p2p3=35×(12+15)−2×12×317.解：(1)证明：在PD上取点F，使得PF=2FD，连接EF，AF．

因为PE=2EC，所以EF/​/CD，且EF=23CD=2．

又AB/​/CD，AB=2，

所以EF/​/AB，且EF=AB，

从而可知四边形ABEF是平行四边形，

所以BE//AF．

又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，

所以BE/​/平面PAD．

(2)易知AB，AD，AP两两互相垂直，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

设AP=t(t>0)，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,t)，

则PD=(0,2,−t)，AC=(3,2,0)，

|cos<PD，AC>|=|PD⋅AC||PD||AC|=4t2+4·13=413，

解得t=3．

易知AB⊥平面PAD，所以AB=(2,0,0)是平面PAD的一个法向量．

AD=(0,2,0)，AE=AP+23PC=(2,418.解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，焦距长为4，且c2=a2+b2，

所以ba=3且c=2，4=a2+b2，

解得a=1，b=3，

所以双曲线的标准方程为x2−y23=1．

(2)由题意可知直线OP的斜率为2，且|OP|=25，

设过点A且与OP平行的直线l的方程为y=2x+t，

当直线l与双曲线C相切时，直线l与直线OP之间的距离最小，此时△AOP的面积最小．

联立y=2x+t与x2−y23=1得x2+4tx+t2+3=0，

由△=0即16t2−4(t2+3)=0解得t=±1，

当t=−1时，y=2x+t与x2−y23=1的右支相切，符合题意;

当t=1时，y=2x+t与x2−y23=1的左支相切，与题意不符，舍掉．

直线l与直线OP之间的距离d=15，

此时△AOP面积最小为S△AOP=12×15×25=1．

(3)易知直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为x=my+2，

联立x=my+2,x2−y23=1,19.解：(1)依题意AB=(2,2)，θ=−π2，代入公式可得AP=(2,−2)，所以P(3,0)．

(2)设曲线C2上的点为M(m,n)，则n2a2−m2b2=1，

将OM绕原点沿逆时针方向旋转θ角，得到ON=(x,y)，满足y=x−1x．

将M(m,n)代入公式，可得x=mcosθ−nsinθ，y=msinθ+ncosθ，

由x2−xy=1得，m2(1+cos2θ−sin2θ)+n2(1−cos2θ+sin2θ)−2mn(cos2θ+sin2θ)=2，(∗).

因此cos2θ+sin2θ=0，0<θ<π，所