【名师一号】2020-2021学年新课标A版高中数学必修4-第二章-平面向量-双基限时练14

双基限时练(十四)1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.答案A2．向量(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→)))＋(eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(OM,\s\up16(→))化简后等于()A.eq\o(CB,\s\up16(→)) B.eq\o(AB,\s\up16(→))C.eq\o(AC,\s\up16(→)) D.eq\o(AM,\s\up16(→))解析(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→)))＋(eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋(eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→)))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up16(→))，故选C.答案C3．向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是()A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同解析向量a与b反向，且|a|<|b|，则a＋b应与b方向相同，因此B错．答案B4．设P是△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝2eq\o(BP,\s\up16(→))，则()A.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝0 B.eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0C.eq\o(PC,\s\up16(→))＋eq\o(PA,\s\up16(→))＝0 D.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0解析由向量加法的平行四边形法则易知，eq\o(BA,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))的和向量过AC边的中点，且长度是AC边中线长的2倍，结合已知条件知，P为AC的中点，故eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0.答案C5．正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝c，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，则|a＋b＋c|为()A．0 B.eq\r(2)C．3 D．2eq\r(2)解析|a＋b＋c|＝|2c|＝2|c|＝2eq\r(2).应选D.答案D6．在▱ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up16(→))＋Beq\o(A,\s\up16(→))|＝|Beq\o(C,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))|，则四边形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定解析|eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|，|eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))|＝|eq\o(BD,\s\up16(→))|，由|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|知四边形ABCD为矩形．答案B7.依据图示填空．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝________；(3)eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋2eq\o(OD,\s\up16(→))＝________.解析由三角形法则知(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))；(2)eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(BO,\s\up16(→))；(3)eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋2eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)).答案(1)eq\o(OB,\s\up16(→))(2)eq\o(BO,\s\up16(→))(3)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))8．在正方形ABCD中，边长为1，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，则|a＋b|＝________.解析a＋b＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))，∴|a＋b|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(2).答案eq\r(2)9．若P为△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(PC,\s\up16(→))，则∠ACB＝__________.解析∵eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝eq\o(PC,\s\up16(→))，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，∴|eq\o(PA,\s\up16(→))|＝|eq\o(PB,\s\up16(→))|＝|eq\o(PC,\s\up16(→))|.因此∠ACB＝120°.答案120°10．设a表示“向东走了2km”，b表示“向南走了2km”，c表示“向西走了2km”，d表示“向北走了2km”，则(1)a＋b＋c表示向________走了________km；(2)b＋c＋d表示向________走了________km；(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析(1)如图①所示，a＋b＋c表示向南走了2km.(2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了2km.(3)如图①所示，|a＋b|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，a＋b的方向是东南．答案(1)南2km(2)西2km(3)2eq\r(2)东南11.如图，O为正六边形ABCDEF的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和：(1)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))；(2)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))；(3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→)).解(1)由于四边形OABC是平行四边形，所以eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).(2)由于BC∥AD∥FE；BC＝FE＝eq\f(1,2)AD，所以eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))，eq\o(FE,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))，所以eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).(3)由于|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝|eq\o(FE,\s\up16(→))|，且eq\o(OA,\s\up16(→))与eq\o(FE,\s\up16(→))反向．所以利用三角形法则可知eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＝0.12．化简：(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))；(2)(eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(BN,\s\up16(→)))＋(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋(eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)))＋eq\o(DC,\s\up16(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)(eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(BN,\s\up16(→)))＋(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＝(eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＋(eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BN,\s\up16(→)))＝eq\o(MC,\s\up16(→))＋eq\o(CN,\s\up16(→))＝eq\o(MN,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋(eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→)))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＝013.如右图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且eq\o(BP,\s\up16(→))＝eq\o(QC,\s\up16(→)).求证：eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＋eq\o(AQ,\s\up16(→)).证明由图可知eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AQ,\s\up16(→))＋eq\o(QC,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＋eq\o(AQ,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(QC,\s\up16(→)).