高中数学联赛历年真题分类汇编解析(高分强基必刷)

高中数学联赛之历年真题分类汇编（1981-2020）TOC\o"1-1"\h\u27875专题01集合 210299专题02函数A辑 194875专题03函数B辑 39192专题04三角函数与解三角形 6224356专题05平面向量 9030618专题06数列A辑 10721700专题07数列B辑 12517750专题08数列C辑 14710339专题09不等式A辑 18314878专题10不等式B辑 2072231专题11平面解析几何A辑 22213377专题12平面解析几何B辑 25117299专题13立体几何与空间向量 3026141专题14复数 34611024专题15函数、集合与复数 36214992专题16平面几何A辑 4011239专题17平面几何B辑 461732专题18初等数论 51223733专题19图论与对策 547专题01集合1．【2008高中数学联赛（第01试）】设A=[－2，4)，B={x|x2－ax－4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为()A．[−1,2) B．[−2,2] C．[0,3] D．0,3【答案】D【解析】因为x2−ax−4=0有两个实根故B⊆A等价于x1≥－2且x2<4，即a2−4+解之得0⩽a<3，故选D．

2．【2007高中数学联赛（第01试）】已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集.若n∈A时，总有2n+2∈B，则集合AUB的元素个数最多为()A．62 B．66 C．68 D．74【答案】B【解析】先证|A∪B|⩽66，只需证|A|⩽33，为此只需证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈A，证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈A，如取A={1,3,5,⋯,23,2,10,14,1825,27,29,⋯,49,26,34,42,46}，B={2n+2|n∈A}，则A，B满足题设且|A∪B|=66.故选B.

3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知集合A={x|5x－a≤0}，B={x|6x－b>0}，a，b∈N，且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为()A.20 B.25 C.30 D.42【答案】C【解析】由5x−a⩽0得x⩽a由6x−b>0得x>b要使A∩B∩N={2,3,4}，则1⩽b6所以数对(a，b)共有C6故选C.

4．【2005高中数学联赛（第01试）】记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=a17+a27A．57+57C．17+17【答案】C【解析】用a1a2⋯akp表示k得M=aM'中的最大数为[6666]7在十进制数中，从2400起，从大到小顺序排列的第2005个数是2400−2004=396，而[396]10将此数除以74，便得M中的数是17故选：C.

5．【2004高中数学联赛（第01试）】已知M=(x,y)|x2+2y2=3，N={(x，y)|y=mx+b}.若对所有m∈R，均有MA．−62,62C．−233,【答案】A【解析】由M∩N≠∅相当于点(0，b)在椭圆x2+2所以2b23⩽1故选A.

6．【2002高中数学联赛（第01试）】知两个实数集合A=a1,a2,⋯,a100与B=b1,A．C10050 B．C9948 C．C【答案】D【解析】不妨设b1<b2<⋯<b定义映射f：A→B，使第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1，2，…，50).易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与A按号码顺序分为50组的分法数相等.而对A的分割等价于从A中前99个元素选择49个元素依次作为前49组的最后元素得到的分割(这样保证了每组非空且与前者一一对应)，故A的分法数为C9949，则这样的映射共有故选D.

7．【2001高中数学联赛（第01试）】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2－3x－a2+2=0，x∈R}的子集的个数为()A．1 B．2 C．4 D．不确定【答案】C【解析】M表示方程x2−3x−由于Δ=1+4a2>0，所以M含有2个元素.故集合M有22=4个子集.

8．【2000高中数学联赛（第01试）】设全集是实数，若A=x|x−2A．2 B．−1 C．x|x≤2 D．∅【答案】D【解析】由x−2≤0得x注意到A中只有一个元素，于是将x=2代入B，方程成立，故A∩B(注：这样思考，即使B更复杂一些，计算起来都很简单)

9．【1998高中数学联赛（第01试）】若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a－5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是()A．{a|1⩽a⩽9} B．{a|6⩽a⩽9} C．{a|a⩽9} D．∅【答案】B【解析】由题意得A⊆B，所以2a+1⩾33a−5⩽22解得6⩽a⩽9.

10．【1993高中数学联赛（第01试）】集合A，B的并集A∪B=a1,a2,a3，当A≠B时，(A，B)与(A．8 B．9 C．26 D．27【答案】D【解析】已知A∪B=a1,a2,a(1)若A=a1,a2,a这时(A，B)有C33(2)若A为二元素的集合，则有C32种，其对应的B的23个C20+C2(3)若A为单元素的集合，则有C31种，其对应的B有2个，这时(A，B)有C(4)若A是空集，则有C30种，其对应的B有一个.这时(A，B)有C所以这样的(A，B)共有C33⋅23+C32⋅22+C31⋅2+C30⋅20=33=27个，因此答案是D．.

11．【1991高中数学联赛（第01试）】设S={(x，y)|A．s⊂T B．T⊂S C．S=T D．S∩T=∅【答案】A【解析】当y2=x2+奇数时，易见sin2π故当(x,y)∈S时，它必属于T，于是S⊆T，又满足x=y的点(x,y)∈T但不属于S.故S⊆T

12．【1990高中数学联赛（第01试）】点集(x,y)|lgA．0 B．1 C．2 D．多于2【答案】B【解析】由lgx3+由均值不等式x3当且仅当x3=19故点集中有唯一点为(319,313).

13．【1989高中数学联赛（第01试）】若A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】M中的点在曲线M:x=N中的点在曲线N:x=曲线M和N的普通方程是M:xy=1 (x≠0,1)，于是曲线M和N的交点在横坐标满足x2即x=±1，显见M∩N=∅.

14．【1989高中数学联赛（第01试）】集合M=u|u=12m+8n+4l,m,n,l∈Z，N=u|u=20p+16q+12r,p,q,r∈ZA．M=N B．M⊈N,N⊈M C．M⊂N D．M⊃N【答案】A【解析】对N中任一元素u，有u=20p+16q+12r=12r+8(2q)+4(5p)∈M.从而N⊆M.另一方面，对M中任一元素u，有u=12m+8n+4l=20n+16l+12(m−n−l)∈N.从而M⊆N.故M=N.

15．【1982高中数学联赛（第01试）】如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等，那么()A．F∈{四边形} B．F∈{五边形}C．F∈{四边形}∪{五边形}D．F∈{边相等的多边形}{内角相等的多边形}【答案】C【解析】由正五边形所有的对角线都相等，可见选项A不正确.任作两条等长的相交线段AC和BD，这样所得的四边形ABCD对角线相等，可见选项B．不正确.其实，选项A与选项B都是选项C的真子集，可不必考虑，因若选项A或选项B成立，则选项C必成立.显然，联结两条等长且相交的线段端点所得的四边形未必边相等或内角相等，又得到选项D不正确

16．【1982高中数学联赛（第01试）】设M={(x,y)||xy|=1,x>0}，N=x,yA．M∪N={(x,y)||xy|=1}B．M∪N=MC．M∪N=ND．M∪N=x,y【答案】B【解析】由arctanx+arccoty=π即arctanx=π−arccoty.因此x=−1y 如果式②成立，当x>0，y<0时，有arctanx∈可知式①成立；当x<0，y>0时，有arctanx∈可知式①不成立所以N={(x,y)|xy=−1,x>0}.而M=x,y所以N⊂M，因此M∪N=M.

17．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合X={1,2,⋯,20},A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为 .【答案】190【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的(a,b)的取法共有C202=190种,所以这样的集合A的个数为190.

18．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 【答案】−【解析】假如x≥0，则最大、最小元素之差不超过max{3，x}，而所有元素之和大于max{3，x}，不符合条件.故x<0，即x为最小元素.于是3－x=6+x，解得x=−32.

19．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为 【答案】−3【解析】条件等价于1，2，3，x中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0，从而1+2+x=0，得x=－3.

20．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设集合A={1，2，3，…，99}，B={2x|x∈A},C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为 .【答案】24【解析】由条件知，B∩C={2,4,6,⋯,198}∩1故B∩C的元素个数为24.

21．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设集合A={2，0，1，8}，B={2a|a∈A}则A∪B的所有元素之和是 .【答案】31【解析】易知B={4，0，2，16}，故A∪B={0，1，2，4，8，16}.A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.

22．【2014高中数学联赛（第01试）】设集合3a+b|1⩽a⩽b⩽2中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M−m的值为 【答案】5−2【解析】由1⩽a⩽b⩽2知3a当a=1，b=2时，得最大元素M=5，又3a当a=b=3时，得最小元素m=2因此M−m=5−23.

23．【2013高中数学联赛（第01试）】设集合A={2，0，1，3}，集合B={x|－x∈A，2－x2∈A}.则集合B中所有元素的和为 【答案】−5【解析】易知B⊆{−2,0,−1,−3}，当x=－2，－3时，2－x2=－2，－7，有2−x而当x=0，－1时，2－x2=2，1，有2－x2∈A.因此，根据集合B的定义可知B={−2,−3}.所以，集合B中所有元素的和为－5.

24．【2011高中数学联赛（第01试）】设集合A=a1,a2,a3,a4【答案】{－3，0，2，6}【解析】显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了三次，所以3a1+a于是集合A的四个元素分别为5−(−1)=6，5−3=2，5−5=0，5−8=−3.因此，集合A={－3，0，2，6}.

25．【2003高中数学联赛（第01试）】已知{A=x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}.若A⊆B，则实数a的取值范围是 .【答案】−4⩽a⩽−1【解析】易得A=(1，3)，设f(x)=21−x+a要使A⊆B，只需f(x)，g(x)在(1，3)上的图像均在x轴下方其充要条件是：同时有f(1)⩽0,f(3)⩽0,g(1)⩽0,g(3)⩽0.由此推出−4⩽a⩽−1.

26．【1996高中数学联赛（第01试）】集合x|−1⩽log1x10<−1【答案】2【解析】首先考察该集合元素的个数.对x∈N，有−1⩽log所以−2<lg1x⩽−1，则1⩽于是集合大小是90，于是真子集个数是290−1.

27．【1995高中数学联赛（第01试）】设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x∉A，则A中元素的个数最多是 【答案】1870【解析】用n(A)表示集合A所含元素的个数.由题设，k与15k(k=9，10，…，133)这两个数中至少有一个不属于A，所以至少有125(125=133－9+1)个数不属于A，即n(A)⩽1995−125=1870.另一方面，可取A={1,2⋯,8}∪{134,135⋯,1995}，A满足题设条件，此时n(A)=1870.所以nA引申对于这种集合问题，一般的解决办法就是作出若干个数对，每个数对里至多有一个数包含在集合里.比如，如果题目条件说集合里任两个数之差不为a，则可将两个差为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之和不为a，则可将两个和为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里；如果题目条件说集合里任两个数之积不为a，则可将两个积为a的数分成一组，则此组中至多有一个数在集合里.总之，掌握这种原则之后，将不难解决这种问题.

28．【1991高中数学联赛（第01试）】将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有2n－1个奇数进行分组：{1}(第一组)，{3，5，7}(第二组)，{9，11，13，15，17}(第三组)，…则1991位于第 组中.【答案】32【解析】因为1+3+5+⋯+(2n−1)=n故第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1，可见有不等式2(n−1)由前一不等式(n−1)2⩽995，故需由后一不等式，需满足2n2⩾1992故n=32.

29．【1991高中数学联赛（第01试）】设集合M={1，2，…，1000}，现对M的任一非空子集X，令ax表示X中最大数与最小数之和，那么，所有这样的ax的算术平均值为 .【答案】1001【解析】将M中非空子集进行配对，对每个非空集X⊂M，令X则当X1也是M的一非空子集，且X'≠X时，有X'于是所有非空子集分成两类：(1)X'≠X；(2)X对于情形(2)中的X，必有ax=1001.对于情形(1)中的一对X与X'，有ax由此可见，所有ax的算术平均值为1001.

优质模拟题强化训练

1．已知M={(x,y)|y≥x2} ， N={(x,y)|A．a≥54. B．a=54. C．a≥1.【答案】A【解析】由M∩N=N得N⊂M,所以圆x2所以a≥1+14=54，选A.

2．已知集合M={1,2,...,10}，A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解析】注意到，元素和为8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6个.选C.

3．已知a为给定的实数，那么，集合M={x|xA．1 B．2 C．4 D．不确定【答案】C【解析】由方程x2−3x−a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有22=4个子集.选C.

4．集合A={2,0,1,3}，集合B={x|-x∈AA．−4 B．−5 C．−6 D．−7【答案】B【解析】由题意可得B={-2，-3}，则集合B中所有元素的和为-5.故选：B.

5．已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,3,4,5,6}则集合C={(a,b)|a∈A,b∈B，且关于x的方程x2+2ax+bA．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由题意得Δ=4a2−4b2≥0∴a≥b∴元素个数为0+1+2+3+4=10,选D.

6A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】log2x≤2，所以0<x≤4，因为x∈Z,所以A={1,2,3,4},所以集合A的真子集个数为故答案为：C

7．如果集合A={1,2,3,⋯,10}，B={1,2,3,4}，C是A的子集，且C∩B≠∅，则这样的子集C有（）个.A．256 B．959 C．960 D．961【答案】C【解析】满足C∩B=∅的子集C有26个，所以满足C∩B≠∅的子集C有210故答案为：C

8．设A=[−2,4),B={x|x2−ax−4≤0}，若B⊆A，则实数A．[−3,0) B．[−2,0) C．[0,2) D．[0,3)【答案】D【解析】因为f(x)=x2−ax−4故{f(−2)≥0,f(4)>0.解得故答案为D

9．设集合P={x|x∈R,|x+3|+|x+6|=3}，则集合CRA．{x|x〈6,或x〉3} B．{x|x〈6,或x〉−3}C．{x|x〈−6,或x〉3} D．{x|x〈−6,或x〉−3}【答案】D【解析】因为|x+3|+|x+6|=3,所以由绝对值的几何意义得-6≤x≤-3.则P={x|−6≤x≤−3}.故CRP={x|x〈−6,或x〉−3}.选D.

10．已知集合M=A．M⊊N B．M=N C．N⊊M D．M∩N=∅【答案】B【解析】易由周期性知M=N={±1,±1

11．在复平面上，任取方程z100−1=0的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为【答案】39200【解析】易知z100−1=0的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2π100，即将单位圆均匀分成首先选取任意一点A为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B和顶点C，设AB弧有x段小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，则△ABC为锐角三角形的等价条件为：{x+y+z=1001⩽x,y,z⩽49计算方程组①的整数解个数，记P1={x|x+y+z=97,x⩾49}，P3={z|x+y+z=97,z⩾49}，则|=C由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为100×11763故答案为：39200．

12．已知集合A={k+1，k+2，…，k+n}，k、n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A=________.【答案】{334，335，336，337，338，339}【解析】由已知2k+n+12当n=2m时，得到(2k+2m+1)m=3×673⇒m=3,n=6,k=333；当n=2m+1时，得到(k+m+1)(2m+1)=3×673⇒m=1,n=3.所以n的最大值为6，此时集合A={334,335,336,337,338,339}.故答案为：{334,335,336,337,338,339}．

13．已知yz≠0，且集合{2x，3z，xy}也可以表示为{y，2x2，3xz}，则x=____________.【答案】1【解析】易知xyz≠0，由两集合各元素之积得6x经验证，x=1符合题意.故答案为：1．

14．已知实数a≥−2，且A={x|−2≤x≤a}，B={y|y=2x+3,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}.若C⊆B，则a【答案】[【解析】由题意知B=[−1,2a+3].要使C⊆B，只需集合C中的最大元素在集合B中.故{(−2)2≤2a+3,a2≤2a+3⇒12【答案】256【解析】全集{1，2，3，…，9}中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能.所以，奇子集共有：C=(C5故答案为：256．

16．已知集合U={1，2，3，4，5}，I={X|X⊆U}，从集合I中任取两个不同的元素A､B，则A∩B中恰有3个元素的概率为____________.【答案】5【解析】当A∩B确定后，如A∩B={3，4，5}时，设A=A'∪{3，4，5}，B=B′∪{3，4，5}，A′∩B=∅，那么{A'，B'}的情况有：{∅，{1}}，{∅，{2}}，{∅，{1，2}}，{{1}，{2}}，共4种情形.所以所求的概率为C5故答案为：562．

17．已知f(x)=x2−2x，集合A={x|f(f(x)=0}，则集合【答案】4【解析】将方程f(f(x)=0化为f(x2-2x)=0，即(x所以(x解得x1所以A={0,2,1−3,1+3}故答案为：4．

18．将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________.【答案】16815【解析】所求的和为12故答案为：16815．

19．已知A={x|log3(x2−2x)⩽1}, B=(−∞,a]∪(b,+∞)其中a<b，如果A∪B=【答案】−1【解析】由已知得A=[−1,0)∪(2,3]，故b－a≤1，于是a−b⩾−1.故答案为：−1．

20．设A为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合B={x+y|x，y∈A，x≠y}，若B={log26,log2【答案】{1,【解析】设A={log2a,log2b,log2c}，其中0<a<b<c.解得a=2，b=3，c=5，从而A={1,log故答案为：{1,log专题02函数A辑1．【2008高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=5−4x+A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】当x<2时2−x>0，因此f(x)=1+当且仅当12−x=2−x时取得等号.而此方程有解x=1因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2.故选C．

2．【2006高中数学联赛（第01试）】设logx2x2A．12<x<1 B．x>12且x≠1 C．x>1【答案】B【解析】因为x>0,x≠12x2+x−1>0由logx2x2则0<x<12x3+x2解得x>1.所以x的取值范围为x>12且故选B．

3．【2006高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x3+log2(x+x2+1)，则对任意实数A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】显然f(x)=x3于是，若a+b⩾0，则a⩾−b，有f(a)⩾f(−b)，即f(a)⩾−f(b)，从而有f(a)+f(b)⩾0.反之，若f(a)+f(b)⩾0，则f(a)⩾−f(b)=f(−b)，推出a⩾−b，即a+b⩾0.故选A．

4．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=logA．(−∞,−1) B．(−∞,1) C．(1,+∞) D．(3,+∞)【答案】A【解析】由x2−2x−3=(x+1)(x−3)>0有x<－1或故函数log12x2−2x−3又因为u=x2−2x−3在(－∞，－1)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增.而log故选A.

5．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=xA．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数 D．既不是偶函数也不是奇函数【答案】A【解析】函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(−x)==x所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A.

6．【2000高中数学联赛（第01试）】给定正数p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2－2ax+c=0()A．无实根 B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根 D．有两个异号实根【答案】A【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是−2x有Δ<0.故选：A.解法二依题意a2=pq，设等差数列p，b，c，q的公差为d≠0，由a2−bc=pq−(p+d)(q−d)=pd−qd+d故选：A.

7．【1999高中数学联赛（第01试）】若log2A．x−y⩾0 B．x+y⩾0 C．x−y≤0 D．x+y⩽0【答案】B【解析】记f(t)=log23t−log53t原不等式即f(x)⩾f(−y)，故x⩾−y，即x+y⩾0.引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，a<b，则a≤b－1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解决就很需要它：设a，b，c，d是自然数，满足a+c<n,ab+c值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质.

8．【1998高中数学联赛（第01试）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a－1)+1g(b－1)的值()A．等于lg2 B．等于1C．等于0 D．不是与a，b无关的常数【答案】C【解析】因为lg(a+b)=所以a+b=ab，即(a−1)(b−1)=1，因此lg(a−1)+lg(b−1)=0.

9．【1996高中数学联赛（第01试）】如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1xA．4+113232C．1−1232【答案】B【解析】函数f(x)在−p2,等号取到当x2=1则有−p2=213由于213−1<2−213，那么即f(x)=f(2)=4−5×2−23+223.

10．【1995高中数学联赛（第01试）】已知方程A．k>0 B．0<k⩽12n+1C．12n+1<k⩽12n+1 【答案】B【解析】显然k≥0，而k=0导出x=2n.原方程只有一根，故k>0.又由(x−2n)2=k2x知，抛物线y=(x−2n)2所以，当x=2n－1时，有(x−2n)2而当x=2n+1时，有(x−2n)2从而k2(2n+1)⩽1，即故选B.

11．【1993高中数学联赛（第01试）】已知f(x)=asinx+b3x+4(a，bA．−5 B．−3 C．3D．随a，b取不同值而取不同值【答案】C【解析】因为f(x)－4是奇函数，故f(−x)−4=−(f(x)−4)，即f(−x)=−f(x)+8.而lglg3=−lglog310，所以f(lglg3)=f−lglog310=−flglog310+8=−5+8=3.

12．【1992高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10+A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数【答案】C【解析】由所给第一式得f[10+(10−x)]=f[10−(10−x)]，所以f(x)=f(20−x) ①又由所给第二式得f(x)=−f(20+x) ②所以f(40+x)=f[20+(20+x)]=−f(20+x)=f(x).可见f(x)是周期函数.由式①，②得f(−x)=f(20+x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数.

13．【1991高中数学联赛（第01试）】设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3－x)，且方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为()A．18 B．12 C．9 D．0【答案】A【解析】若3+a是f(x)=0的一个根，则由已知f(3−a)=f(3+a)=0，即3－a也是一个根.因此可设方程f(x)=0的六个根为3±a于是它们的和等于18.

14．【1990高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4 B．f(x)=2−xC．f(x)=3−|x+1| D．f(x)=2+|x+1|【答案】C【解析】(1)由f(x)=x (2⩽x⩽3)及周期为2，有(2)由于f(x)是偶数，得f(x)=−x+2 (−1⩽x⩽0).

15．【1989高中数学联赛（第01试）】对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－1)与函数y=f(－A．关于x轴对称 B．关于直线x=1对称C．关于直线x=－1对称 D．关于y轴对称【答案】B【解析】f(x)和f(－x)的图像关于直线x=0对称，f(x－1)与f(－x+1)的图像关于直线x=1对称.

16．【1988高中数学联赛（第01试）】设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是()A．y=−φ(x) B．y=−φ(−x)C．y=−φ−1(x) 【答案】B【解析】第一个函数的图像与第二个函数的图像关于x−y=0对称，第二个函数的图像与第三个函数的图像关于x+y=0对称，所以第一个函数的图像与第三个函数的图像关于原点对称.

17．【1985高中数学联赛（第01试）】假定有两个命题：甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a−1A．甲是乙的充分而不必要条件B．甲是乙的必要而不充分条件C．甲是乙的充分必要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】因为仅有“甲”是不能使得“乙”成立，因此可知“甲”不是“乙”的充分条件.接着看“乙”在什么情况下成立.很明显，当且仅当a>0且b<0时，“乙”才能成立由此可知，“甲”是“乙”成立的不可缺少的条件，综上所述，得“甲”是“乙”的必要而不充分条件

18．【1984高中数学联赛（第01试）】方程sinx=1gx的实根个数是()A．1 B．2 C．3 D．大于3【答案】C【解析】判断方程sinx=lgx解的个数，就是确定正弦曲线sinx和对数函数lgx由lgx的定义知x>0，又因为sinx⩽1，所以lg从而得0<x⩽10.在直角坐标系中作出0<x≤10范围内y=sinx和y=1gx的图像.因为0=lg1<sin所以当x∈(1,π)时，sinx=lgx必有一解.同理可知，当x∈2π,2π+π2和x∈2π+π2,3π时，方程各有一解.

19．【1984高中数学联赛（第01试）】若a>0，a≠1，F(xA．奇函数 B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关【答案】B【解析】因为G(x)=F(x)⋅a所以G(−x)=F(−x)⋅a即G(x)是偶函数

20．【1984高中数学联赛（第01试）】若F1−xA．F(−2−x)=−2−F(x) B．F(−x)=FC．Fx−1=F(x) 【答案】A【解析】先求出F(x)的表达式，作变换t=1−x1+x，得所以F(t)=1−t1+t，然后一一验证，知F(−2−x)=−2−F(x).

21．【1983高中数学联赛（第01试）】A.(−2,−1) B.(1,2) C.(−3,−2) D.(2,3)【答案】D【解析】x=log1312+log1315=log13110=log310A．7⩽f(3)⩽26 B．−4⩽f(3)⩽15 C．−1⩽f(3)⩽20 D．−【答案】C【解析】由−4⩽f(1)⩽−1得−4⩽a−c⩽−1，所以1⩽c−a⩽4 ①由−1⩽f(2)⩽5得−1⩽4a−c⩽5 ②由①+②得0⩽3a⩽9，即0⩽a⩽3.所以0⩽5a⩽15.由②+③得−1⩽9a−c⩽20，即−1⩽f(3)⩽20.

23．【1982高中数学联赛（第01试）】如果log2A．z<x<y B．x<y<z C．y<z<x D．z<y<x【答案】A【解析】由条件可得x=212=8据幂函数的单调性可知z<x<y.

24．【1982高中数学联赛（第01试）】已知x1，x2是方程x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x1A．19 B．18 C．559 【答案】B【解析】实系数一元二次方程有实数根，所以Δ=[−(k−2)]可解得−4⩽k⩽−4由韦达定理，经整理，得到x1所以当k=－4时，x12+x22取到最大值，这最大值为A．至多有三个实根 B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根 D．当p<0和q>0时，有三个实根【答案】CD【解析】由题意得f(x)=f(x)=由此可得p取不同值时，函数的大致图像:其中q的变化，仅决定函数图像在坐标平面上、下平移.从上面的图像可见方程f(x)=0至多有三个实根，至少有一个实根.于是当且仅当p2－4q≥0时才有实根的结论不正确，所以选项C不成立.由p<0，q>0的图像可见选项D也不成立

优质模拟题强化训练

1．方程组{y=e|x|A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】如图，分别画出y=e|x|−从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.故选：B.

2．已知abc<0，则在下图的四个选项中，表示y=ax2+bx+c的图像只可能是A． B． C． D．【答案】B【解析】A中，a〈0,−bB中，a>0,−bC中，a>0,−bD中，a〈0,−b所以选B.

3．若不等式ax2+bx+4>0的解集为x−2<x<1，则二次函数y=bx2A．0,−8 B．0,−4C．4,0 D．8,0【答案】A【解析】由题意知a<0且二次方程ax2+bx+4=0的两个根分别为−2和1.则有−ba=−1，4a=−2.故a=−2，b=−2.所以，二次函数y=bx2+4x+a在区间0,3A．−1,0 B．0,12 C．12【答案】C【解析】代入知f−1=e−1−5<0，f0=−2<0故所求为x∈12,1.

5．设fx是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当x∈2,3时，fx=x；则当A．fx=x+4. B．C．fx=3−x+1. 【答案】C【解析】(1)由f(x)=x,2≤x≤3及周期为2，有fx(2)由于f(x)是偶数，得f(x)=-x+2,-1≤x≤0.综合(1)和(2)得C选项符合题意.故选：C.

6．对一切实数x，不等式x4+(a−1)x2+1≥0恒成立.A．a≥−1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1【答案】A【解析】x=0时，x4+(a−1)x≠0时，原不等式等价于x2由x2+1x2的最小值是2，可得1−a≤2，即a≥−1.选A.

7．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】设C(a,b)∴B(−2,b),D(a,−2)∴∵y=3k+1x过C(a,b)∴b=3k+1a,4=3k+1,k=1,选B.

8．定义在R上的函数f(x)满足：f(x+3)+f(x)=0，且函数f(x−①函数f(x)的周期是6；

②函数f(x)的图象关于点(−3③函数f(x)的图象关于y轴对称.其中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】由f(x+3)=−f(x)，知f(x+6)=f(x).所以，①正确；将f(x−32)的图像向左平移32个单位，即为由②知，f(−x)=−f(−3+x)=f(x)，则f(x)为偶函数，所以，③正确.

9．设函数f(x)满足：对任何实数x≥0，有f(2x+1)=x。则这样的函数f(x)（A．不存在 B．恰有一个 C．恰有两个 D．有无数个【答案】D【解析】设M为集合{x|x<1}的任意一个非空子集，t(x)为定义在M上的任意一个函数.则函数fM故答案为：D

10．设A=[−2,4),B={x|x2−ax−4≤0}，若B⊆A，则实数A．[−3,0) B．[−2,0) C．[0,2) D．[0,3)【答案】D【解析】因为f(x)=x2−ax−4故{f(−2)≥0,f(4)>0.解得故答案为D

11．已知f(x)=(2x+1)22x⋅x+1在[−2018,0)∪(0,2018]A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】f(x)的图象关于（0，1）对称，故M+N=f(x)故答案为：B

12．已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y)(x,y∈R)，则f(2019)=（A．12 B．-12 C．14 【答案】B【解析】取x=1，y=0，得f(0)=1取x=1，y=1，得4f2(1)=f(2)+f(0)取x=2，y=1，得4f(1)f(2)=f(3)+f(1)，故f(3)=−1取x=n，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n−1)同理，f(n+1)=f(n+2)+f(n).联立得f(n+2)=−f(n−1)，故f(n+6)=f(n).所以周期为6，故f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=−1故答案为：B

13．方程x2+x3+xA．85 B．−85 C．42 D．−42【答案】B【解析】设x=42p+q（p、q为整数，0≤q≤41）．将x代入原方程得p=q对于每个不同的q确定了唯一的有序数对p,q，从而，x也互不相同．要比较x的大小应先比较p的大小，若p相等，再比较q的大小．因为p=q所以，p的最大值只有当q=0时取到，且最大值为0．因此，x的最大的解为0．又p=q所以，p≥−3．当且仅当q=41时，p=−3．因此，x的最小的解为−85．综上所述，最大的解与最小的解之和为−85．

14．设函数y=fx满足：对一切x∈R，fx≥0，且ffx=2A．1 B．274 C．5lg2【答案】D【解析】由已知得f2x+1=9−f2x,f2x+2=9−f2又1010−31＞12，则f1010−31=lg1010=32.代入式①得f1010−32=9−f21010−31=332.所以，f1000=33A．P、Q都真 B．P、Q都假 C．P真Q假 D．Q真P假【答案】A【解析】取f(x)=1−x2，g(x)=(则f(x)在区间(−∞,0)上是增函数，g(x)在区间(−∞,0)上也是增函数.但f(g(x))=1−(12)2x在取f(x)=−x(x∈R)，g(x)=0(x∈R).则f(x)g(x)=0(x∈R)是偶函数，Q真.故答案为：A

16．定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+1)=−f(x)，且在区间[−1,0]上递增，则()．A．f(3)<f(3)<f(2) C．f(3)<f(2)<f(3) 【答案】A【解析】∵f(x+1)=−f(x)∴f(x+2)=f(x),T=2∴f(3)=f(−1),f(2)=f(0),f(∵−1<3−2<0,f(x)在区间∴f(−1)<f(3−2)<f(0)∴f(3)<f(3)<f(2)，选A.

17．函数fx的定义域为D，若满足（1）fx在D内是单调函数；（2）存在a,b⊆D，使fx在a,b上的值域为a,b，则称y=fx为“闭函数”A．−94,+∞C．−52,−【答案】D【解析】因为fx从而，x2−故2k+1解得k∈−故答案为：D

18．已知实系数二次方程x2+px+q=0的实数解α、β满足α+A．−1,1 B．−1,2C．0,1 D．0,2【答案】B【解析】由韦达定理得α+β=−p，αβ=q。则m=α+β2+4αβ=2α+β2−α−β2，又α+β≤α+β≤1，α−β≤α+β≤1，故m≥−α−β2≥−1（1）对任意a、b∈N+，a≠b，都有（2）对任意n∈N+，都有ffn=3n.则fA．17 B．21 C．25 D．29【答案】D【解析】对任意的n=N+，由（1）得n+1f故fx在N对任意n∈N+，由（2）得显然f1≠1.否则，若f1≥3，则所以，f1故f3=3f1由6=f3<f4<f5则f7=ff故f5故答案为：D

20．[x]表示不超过实数x的最大整数，设N为正整数．则方程x2−[x2]=(x−[x])A．N2+N+1 B．N2−N C．【答案】C【解析】显然，x=N为方程的一个解．下设1≤x<N，m=[x]，p=x−m={x}．则x=m+p．原方程为(m+p)2−[(m+p)又0≤p<1，2mp为整数，则p=0,12m,因为m=1,2,⋯,N−1，所以，这类数共有2+4+6+⋯+2(N−1)=N故方程x2−[x2]=专题03函数B辑1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设a>0,函数f(x)=x+100x在区间(0,a]上的最小值为m1,在区间[a,+∞)上的最小值为m2.若m1m2【答案】1或100【解析】注意到f(x)在(0,10]上单调减,在[10,+∞)上单调增.当a∈(0,10]时,m当a∈[10,+∞)时,m因此总有f(a)f(10)=mm即a+100a=202020=101,解得a=1或a=100.

2．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设a,b>0,满足:关于x的方程|x|+|x+a|=b恰有三个不同的实数解x【答案】144【解析】令t=x+a2,则关于t的方程t−a由f(t)=|t−a2|+t+a当|t|⩽a2时,f(t)=当t>a2时,f(t)单调增,且当t=当t<−a2时,f(t)单调减,且当t=−从而方程f(t)=2a恰有三个实数解t由条件知b=x3=t3于是a+b=9a8=144.

3．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】若实数x满足log2x=log【答案】128【解析】由条件知log2解得log2x=7,故x=128.

4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】已知首项系数为1的五次多项式f(x)满足:f(n)=8n,n=1,2,⋯,5,则f(x)的一次项系数为 【答案】282【解析】令g(x)=f(x)−8x,则g(x)也是一个首项系数为1的五次多项式,且g(n)=f(n)−8n=0,n=1,2,⋯,5,故g(x)有5个实数根1,2,⋯,5,所以g(x)=(x−1)(x−2)⋯(x−5),于是f(x)=(x−1)(x−2)⋯(x−5)+8x,所以f(x)的一次项系数等于(1+12+13+14+15)⋅5!+8=282.

【答案】9【解析】由条件知9a=a18，故3a=9a⋅a=a916，所以loga(3a)=916.

6．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(【答案】[π−2,8−2π]【解析】由f(x)为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f(x)在[－1，0]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[1，2]是f(x)的严格递增区间注意到f(π−2)=f(π)=1,f(8−2π)=f(−2π)=f(2π)=2，所以1⩽f(x)⩽2⇔f(π−2)⩽f(x)⩽f(8−2π)，而1<π−2<8−2π<2，故原不等式组成立当且仅当x∈[π−2,8−2π].

7．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1，2]上严格递减，且满足f(π)=1,f(2π)=0，则不等式组0⩽x⩽10⩽f(x)⩽1的解集为 【答案】[2π−6,4−π]【解析】由f(x)为偶函数及在[1，2]上严格递减知，f(x)在[－2，－1]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[0，1]是f(x)的严格递增区间.注意到f(4−π)=f(π−4)=f(π)=1,f(2π−6)=f(2π)=0，所以0⩽f(x)⩽1⇔f(2π−6)⩽f(x)⩽f(4−π)，而0<2π−6<4−π<1，故原不等式组成立且当仅当x∈[2π−6,4−π].

8．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x+3)⋅f(x−4)=−1.又当0≤x<7时，f(x)=log2(9−x)，则f(－100)的值为 【答案】−【解析】由条件知，f(x+14)=−1所以f(−100)=f(−100+14×7)=f(−2)=−1f(5)=−1log24=−12.

9．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】若实数x、【答案】[−1,【解析】由于x2=1−2cosy∈[−1,3]由cosy=1−x因此当x=－1时，x－cosy有最小值1(这时y可以取π2当x=3时，x－cosy有最大值3+1(这时y可以取由于12(x+1)2从而x－cosy的取值范围是[−1,3+1].

10．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则f(1)的值为 【答案】−【解析】由条件知，f(1)+1=−f(−1)+(−1)2两式相加消去f(－1)，可得2f(1)+3=−12，即f(1)=−74.

11．【2016高中数学联赛（第01试）】正实数u,v,v均不等于1，若loguvw+log【答案】4【解析】令loguv=a,log条件化为a+ab+b=5,1a+1因此logwu=logwv⋅logvu=1ab=45.

12．【2015高中数学联赛（第01试）】设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得a+b2=−a2，即2a+b=0，所以f(2)=4+2a+b=4.

13．【2014高中数学联赛（第01试）】若正数a，b满足2+1og2a=3+log3b=log6(a+b)，则1a【答案】108【解析】设2+log2a=3+log从而1a+1b=a+bab=6k2k−2【答案】−2,0【解析】在[1，+∞)上，f(x)=x2+ax－a单调递增，等价于−a2⩽1在[0，1]上，f(x)=x2－ax+a单调递增，等价于a2⩽0，即因此实数a的取值范围是[－2，0].

15．【2012高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 .【答案】2【解析】由题设知f(x)=x2(x⩾0)−因此原不等式等价于f(x+a)⩾f(2因为f(x)在R上是增函数，所以x+a⩾2x，即又x∈[a，a+2]，所以当x=a+2时，(2−1)x取得最大值为因此a⩾(2−1)(a+2)，解得故a的取值范围是2,+∞.

16．【2011高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=x2+1x−1【答案】−∞,−【解析】设x=tanθ,−π则f(x)=1设u=2sinθ−π4，所以f(x)=1u∈−∞,−22∪(1,+∞).

17．【2010高中数学联赛（第01试）】【答案】[−3,【解析】易知f(x)的定义域是[5，8]，且f(x)在[5，8]上是增函数，从而可知f(x)的值域为[−3,3].

18．【2010高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=a2x+3ax−2(a>0,a≠1)【答案】−【解析】令ax=y，则原函数化为g(y)在−32当0<a<1时y∈a,a−1则a−1=2，因此所以g(y)当a>1时，y∈a−1,a则a=2，所以g(y)综上f(x)在x∈[－1，1]上的最小值为−14.

19．【2009高中数学联赛（第01试）】若函数f(x)=x1+x2，且f【答案】1【解析】由题意知f(1)(x)=f(x)=x1+x2，故f(99)(1)=110.

20．【2009高中数学联赛（第01试）】使不等式1n+1+1n+2+⋯+【答案】2009【解析】设f(n)=1n+1+1n+2+⋯+则由f(n)的最大值f(1)<a−20071且a为正整数，可得a=2009.

21．【2009高中数学联赛（第01试）】若方程lgkx=2lg(x+1)仅有一个实根，那么k的取值范围是 【答案】k<0或k=4【解析】由题意得kx>0x+1>0kx=kx>0 ①x+1>0 ②x2+(2−k)x+1=0 对式③，由求根公式得x1,x2Δ=k2−4k⩾0，所以k(1)当k<0时，由式③得x1+x2=k−2<0x1x又由式④知x1+1>0x2+1>0(2)当k=4时，原方程有一个解x=k(3)当k>4时，由式③得x1所以x1，x2同为正根，且x1≠综上可得k<0或k=4即为所求.

22．【2008高中数学联赛（第01试）】设f(x)=ax+b，其中a，b为实数，f1(x)=f(x)，fn+1(x)=ffn(x)，n=1，2，3，…，若f7(x)=128x+381，则a+b【答案】5【解析】由题意知fn由f7(x)=128x+381得a7因此a=2,b=3则a+b=5.

23．【2006高中数学联赛（第01试）】方程x2006+11+x2【答案】1【解析】由题意得x⇔⇔x+⇔2006=x+1要使等号成立，必须x=1x,x但是当x≤0时，不满足原方程.所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.

24．【2005高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若f2a2+a+1<f3a【答案】0<a<13或1<【解析】因为f(x)在(0，+∞)上定义，由2a2+a+1=2a+142+因为f(x)在(0，+∞)上是减函数，所以2a2+a+1>3a结合式①知0<a<13或1<a<5.

25．【2004高中数学联赛（第01试）】设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= 【答案】x+1【解析】因为对Vx，y∈R，有f(xy+1)=f(x)f(y)−f(y)−x+2，所以有f(xy+1)=f(y)f(x)−f(x)−y+2，所以f(x)f(y)−f(y)−x+2=f(y)f(x)−f(x)−y+2，即f(x)+y=f(y)+x，令y=0，得f(x)=x+1.

26．【2003高中数学联赛（第01试）】已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，则【答案】93【解析】由已知可得a32=b,c54=d又由于a−c=9，故a=ba2−故得ba+d2c2=9ba−d2c2=1，所以ba=5d2c2=4，所以a=25b=125，c=16d=32，所以b−d=93.

27．【2002高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，【答案】1【解析】由g(x)=f(x)+1−x得f(x)=g(x)+x−1，所以g(x+5)+(x+5)−1⩾g(x)+(x−1)+5，g(x+1)+(x+1)−1⩽g(x)+(x−1)+1，即g(x+5)⩾g(x)，g(x+1)⩽g(x)，所以g(x)⩽g(x+5)⩽g(x+4)⩽g(x+3)⩽g(x+2)⩽g(x+1)⩽g(x)，所以g(x+1)=g(x)，即g(x)是周期为1的周期函数，又g(1)=1，故g(2002)=1.

28．【2001高中数学联赛（第01试）】函数y=x+x2−3x+2的值域为 【答案】1,【解析】先平方去掉根号.由题设得(y−x)2=x2由y⩾x得y⩾y解得1⩽y<32或由于x2−3x+2能达到下界0，所以函数的值域为1,32∪[2,+∞).

29．【1998高中数学联赛（第01试）】若f(x)(x∈R)是以2为周期的偶函数，当x∈0,1时，f(x)=x1【答案】f【解析】f101f9819=ff104又f(x)=x11998在[0，1]是严格递增的，而117<1619<1415，所以f10117<f9819<f10415【答案】2【解析】原方程组化为(x−1)3因为f(t)=t用f(x−1)=f(1−y)，所以x−1=1−y，即x+y=2.

31．【1995高中数学联赛（第01试）】用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x−[lgx]−2=0的实根个数是【答案】3【解析】由[lgx]⩽lgx得lg当−1⩽lgx<0时，有代入原方程得lgx=±1.但lgx=1不符，所以lgx=−1当0⩽lgx<1时，有代入原方程得lgx=±2，当1⩽lgx<2时，有[lgx]=1但lgx=−3不符，所以lgx=当lgx=2时，得x所以原方程共有3个实根.

32．【1990高中数学联赛（第01试）】在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，联结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f(1)+f(2)+…+f(1990)= .【答案】1326【解析】易见n与n+3的最大公约数(n,n+3)=3(3|n)当(n,n+3)=1时，OAn内无整点，否则，设(m，l)为OAn内部的整点，1≤m<n，1≤l<n+3，则由ml=nn+3，这与m<n矛盾.当(n,n+3)=3时，设n=3k.则OAn内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，所以i=11990其中[x]代表不超过实数x的最大整数.

33．【1989高中数学联赛（第01试）】(1)若loga2<1，则a的取值范围是 (2)已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l'⊥l，则l'与l的交点坐标为 .(3)设函数f0(x)=|x|，f1(x)=f0(x)−1，f2(x)=f1(x)−2，则函数y=f(4)一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身构成等比数列，则该数为 .(5)如果从数1，2，…，14中，按由小到大的顺序取出a1,a2,a3，使同时满足a2(6)当s和t取遍所有实数时，则(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2所能达到的最小值是 .【答案】答案见解析【解析】(1)0<a<1或a>2(2)由已知l'的斜率为12，则l'的方程是y=解方程组2x+ly=10x−2y=−10(3)依次作出函数y=f0(x),y=(4)设该数为x，则其整数部分为[x]，小数部分为x－[x]，由已知得x=(x−[x])=[x]其中[x]>0,0<x−[x]<1，解得x=1+由0<x−[x]<1知0<5−12即[x]=1,x=1+(5)设S={1,2,⋯,14}，S'T=a1,T'=aa1'=a1易证f是T和T'之间的一个一一对应，所以所求的取法种数，恰好等于从S′中任意取出三个不同数的所有不同的种数，共120种.引申这里用到的是化归思想，即把问题转化成我们熟知的，已经解决了的简单问题.对于本问题，如果仅要求a1<a做替换b1=a1,b2=a化归是一种很重要的数学思想方法.它的本质就是把不熟悉的问题转化成已经熟悉，已经解决的问题.化归就是化简.(6)考虑直线x=s+5y=s和椭圆弧x=3|如图所示，则原式表示直线上任意一点与椭圆弧上任意一点之间的距离的平方，显然点A到直线的垂直距离最短，即点(3，0)到直线的距离的平方最小，为2.

34．【1987高中数学联赛（第01试）】已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么x+1y+x2+1【答案】−2【解析】由集合相等知，两个集合的元素相同.这样，M中必有一个元素为0，又由对数的定义知xy≠0，故x，y不为零，所以lg(xy)=0,xy=1，M={x,1,0},N=再由集合相等知x=|x|1=1x但当x=1时，将与同一个集合中元素的相异性矛盾，故只有x=－1，从而y=－1.于是x2k+1+1故所求代数式的值为－2.引申利用的是集合相等的基本定义：M=N⇔M的元素可以和N建立一个一一相等的关系.这里我们是局部的看两个集合相等.有时我们则利用集合相等考虑集合的整体性质.比如，如果a1,a则必有a1+a2+⋯+an=1+2+⋯+n，a1a2⋯an=1⋅2⋅⋯⋅n等关系.

35．【1985高中数学联赛（第01试）】对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其a，b，c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4并且有一个非零实数d【答案】4【解析】因对任一实数x，有x∗d=ax+bd+cdx=x 所以0∗d=bd=0.因为d≠0，所以b=0，于是，由1∗2=a+2b+2c=32∗3=2a+3b+6c=4则a+2c=32a+6c=4，所以a=5又由1∗d=a+bd+cd=1，所以得d=4.

优质模拟题强化训练

1．设f(x)=|x+1|+|x|−|x−2|，则f(f(x))+1=0有________个不同的解.【答案】3【解析】因为f(x)=|x+1|+|x|−|x−2|={由f(f(x))+1=0得到f(x)=−2，或f(x)=0.由f(x)=−2，得一个解x=−1；由f(x)=0得两个解x=−3，x=13，共3个解.

2．设a、b为不相等的实数.若二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(a)=f(b)【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得a+b⇒f(2)=4+2a+b=4.故答案为：4

3．已知定义在R上的奇函数f(x)，它的图象关于直线x=2对称．当0<x≤2时，f(x)=x+1，则f(−100)+f(−101)=______．【答案】2【解析】由f(x)为奇函数，且其图象关于直线x=2对称，知f(−x)=−f(x)，且f(2−x)=f(2+x)，所以f(x+4)=f(−x)=−f(x)，f(x+8)=−f(x+4)=f(x)．f(x)是以8为周期的周期函数．又f(3)=f(1)=2，f(4)=f(0)=0，所以f(−100)+f(−101)=f(4)+f(3)=0+2=2．

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2，当时x>0时，f(x)是增函数，且对任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)．则函数f(x)在区间[−3,−2]上的最大值是______．【答案】−4【解析】因为f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，所以，f(x)在(−∞,0)上也是增函数．于是，f(−3)≤f(x)≤f(−2)．又f(2)=f(1)+f(1)=4，则f(−2)=−f(2)=−4．故函数f(x)在[−3,−2]上的最大值为−4．故答案为：−4

5．设函数f(x)=1−4x2x【答案】(2,3)【解析】因为f(−x)=1−4−xf(x)=1−4x2x所以函数f(x)是R上的减函数，（减函数+减函数=减函数）.由f(1−x2)+f(5x−7)<0，得f(5x−7)<f(x2−1)，所以5x−7>故答案为：(2,3)

6．若x、y∈R，且2x=18【答案】0或2【解析】若x=0或y=0，则必有x=y=0.从而，x+y=0.若x≠0且y≠0，对2x=18则y=log故x+y=log综上x+y=0或2.

7．若x∈(−∞,−1]，不等式(m−m2)4x【答案】−2＜m＜3【解析】由已知不等式，得m−m设t=(因为x∈(−∞,−1]，则t≥2.于是，有−2由m−m2＞−6，解得−2＜m＜3.

8．若定义在R上的奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，且当0<x≤1时，xn=pn+q(p≠0)，则方程f(x)=−【答案】30【解析】由函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，以及f(x)为奇函数知f(x+2)=f(−x)=−f(x).因此，f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x)是周期函数，4是它的一个周期.由f(x)是定义在R上的奇函数知f(0)=0.于是，方程f(x)=−13+f(0)结合图像可知，f(x)=−13在(0,1)、(1,2)内各有一个实根，且这两根之和为2；f(x)=−13在(4,5)、(5,6)内各有一个实根，且这两根之和为10；f(x)=−13故原方程在区间(0,10)内有六个不同的实根，其和为30.

9．若关于x的方程2xx−ax=1有三个不同的实数解，则实数a【答案】a<−2【解析】由已知得y=2x−a与y=1xx≠0的图像恰有三个交点，考虑极端情形，y=2x−a与y=1−xx<0相切，知a<−22.

10【答案】10【解析】原方程变形为11+令1+log则1t+t于是，方程的两根分别为19、1故a+b=1081.

11．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意的x、y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)−f(y)−x+2.则f(x)=【答案】x+1【解析】对于任意的x、y∈R有f(xy+1)=f(x)f(y)−f(y)−x+2⇒f(xy+1)=f(y)f(x)−f(x)−y+2.故f(x)f(y)−f(y)−x+2=f(y)f(x)−f(x)−y+2，即f(x)+y=f(y)+x.令y=0，得f(x)=x+1.

12．函数f(x)=(1+x+1−x−3)(1−x2+1)【答案】3−【解析】设t=1+x+1−x，则t≥0且tf(x)=(t−3)⋅t22令g'(t)=0得t=2，g(2)=2−3，g（2所以M=g(t)所以Mm故答案为：3−22．

13．设f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，对任意x>0有f(x)>−4x,f(f(x)+【答案】7【解析】由题意知存在x0>0使f(x0)=3.又因f(x)是(0，+∞)上的单调函数，所以这样的x0>0是唯一的，再由f(f(x0)+解得x0=4或x0=−1(舍).所以故答案为：72．

14．已知函数f(x)=-x2+x+m+2，若关于x的不等式f(x)≥|x|的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为____________【答案】[-2,-1)【解析】f(x)⩾|x|⇔2−|x|⩾x令g(x)=2−|x|，h(x)=x在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知，整数解为x=0，故{f(0)⩾0−0−m解得-2≤m<-1.故答案为：[-2,-1)．

15．函数f(x)=2x−x2【答案】[0,【解析】解法一：f(x)=1−设x−1=sinα(−π由−π2⩽α⩽所以f(x)的值域为[0,2解法二：f'因为0<x<1+22时，f'(x)>0；1+22<x<2所以f(x)在区间[0,1+22]上为增函数，在区间所以f(x)的值域为[0,2故答案为：[0,2+1]．

16．已知f(x)=x3+ax2【答案】4【解析】解法一：由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知f(x+2)=(x+2)3所以{a+6=04a+2b+10=0，解得所以f（1）=1+a+b+2=1-6+7+2=4解法二：由f(x)的图象关于点(2，0)对称，知对任意x∈R，f(2+x)+f(2−x)=0.于是，对任意x∈R，(2+x)3即(2a+12)x2所以{2a+12=08a+4b+20=0，解得所以f（1）=1+a+b+2=1-6+7+2=4解法三：依题意，有f(x)=(x-2)3+m(x-2).利用f(0)=-8-2m=2，得m=-5.于是，f(x)=(x-2)3-5(x-2)，f（1）=-1-(-5)=4.故答案为：4．

17．设函数y=(1+x+1−x+2)(1−【答案】2+【解析】令u=1+x则u'=11+x−11−x由u(x)单调递减，求得u∈[2则y=u2所以当u=2时，原函数取得最小值2+故答案为：2+2.

18．已知(2x+4x【答案】2【解析】注意到，(2x+⇒2x+当x=1y时，而f(x)=2x+4x2从而，x+y≥y+1当x=y=1时，上式等号成立.

19．已知a为正实数，且f(x)=1a−1ax【答案】(−【解析】由f(x)为奇函数可知1a−1ax+1由此得f(x)的值域为(−12，12).

20．已知函数f(x)=a+x−bx的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z)，其中常数【答案】−1【解析】因为2019α=2020，所以1<a<2，0<b<1，故函数f(x)在R上为增函数.又f(0)=a−1>0,f(−1)=a−1−1故由零点定理可知，函数f(x)在区间(-1，0)上有唯一的零点，则n的值是−1.故答案为：−1．专题04三角函数与解三角形1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则sinAA．(0,+∞) B．0,5+12 C．5−1【答案】C【解析】设a，b，c的公比为q，则b=aq,c=aq而sin=sin因此，只需求q的取值范围，因为a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必须且只需a+b>c且b+c>a，即有不等式组a+aq>aq即q2−q−1<0q2从而5−1因此所求的取值范围是5−1故选C．

2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a，b，c使得af(x)+bf(x－c)=1对任意实数x恒成立，则bcosA．−12 B．12 C．−1 【答案】C【解析】令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x−c)=2，于是取a=b=12,c=π，则对任意的x∈R由此得bcos故选C．更一般地，由题设可得f(x)=13sin(x+φ)+1其中0<φ<π2，且于是可化为13a即13a所以13(a+b由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有a+bcos若b=0，则由式①知a=0，显然不满足式③.故b≠0.所以，由式②知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπk∈Z.当c=2kπ时，cosC=1，则式①，③矛盾.故c=