5.3.1.1函数的单调性与导数（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育5.3.1.1函数的单调性与导数要点导数与函数的单调性在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数【重点小结】(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．()【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则()A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的符号不确定【答案】B【解析】由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()【答案】D【解析】∵当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故选D.4．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】例如取f(x)＝x3(－1<x<1)，则f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件．题型一导函数与原函数图象间的关系【例1】(1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()【答案】(1)D【解析】(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故排除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故排除B，故选D.(2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是()【答案】(2)ABC【解析】(2)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC.【方法归纳】函数与导数图象间的关系判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)导数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f′(x)>0且越来越大f′(x)>0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f′(x)<0且越来越小绝对值越来越大f′(x)<0且越来越大绝对值越来越小【跟踪训练1】(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()【答案】(1)D【解析】(1)当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.故选D.(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()【答案】(2)D【解析】(2)当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满足，故选D.题型二用导数研究不含参数的函数单调性【例2】判断下列函数的单调性(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝eq\f(ex,x－2)(3)f(x)＝x3＋eq\f(3,x).【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)f′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(\r(2)x－1\r(2)x＋1,x)因为x>0，所以eq\r(2)x＋1>0令f′(x)>0，解得x>eq\f(\r(2),2)所以函数f(x)在(eq\f(\r(2),2)，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，解得0<x<eq\f(\r(2),2)，所以函数f(x)在(0，eq\f(\r(2),2))上单调递减．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)f′(x)＝eq\f(exx－2－ex,x－22)＝eq\f(exx－3,x－22)因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0令f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)所以函数f(x)在(－∞，2)和(2,3)上单调递减．(3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)f′(x)＝3x2－eq\f(3,x2)＝3(x2－eq\f(1,x2))令f′(x)>0，得x<－1或x>1，所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0得－1<x<1且x≠0，所以函数f(x)在(－1,0)和(0,1)上单调递减．【方法归纳】用导数判断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(4)写出结论．【跟踪训练2】(1)已知函数f(x)＝xlnx，x∈(0,5)，下列判断正确的是()A．在(0,5)上是增函数B．在(0,5)上是减函数C．在(0，eq\f(1,e))上是减函数，在(eq\f(1,e)，5)上是增函数D．在(0，eq\f(1,e))上是增函数，在(eq\f(1,e)，5)上是减函数【答案】(1)C【解析】(1)由f(x)＝xlnx，可得f′(x)＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1.由f′(x)>0且x∈(0,5)，可得eq\f(1,e)<x<5；由f′(x)<0，可得0<x<eq\f(1,e)，所以函数f(x)在(0，eq\f(1,e))上是减函数，在(eq\f(1,e)，5)上是增函数，故选C.(2)函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上单调________．(填“递增”、“递减”)．【答案】(2)递减【解析】(2)因为f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)所以f′(x)＝cosx－1<0.所以函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上单调递减．题型三用导数研究含参函数的单调性【例3】已知函数f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数f(x)的单调性．【解析】函数的定义域为(0，＋∞),f′(x)＝ax－(a＋1)＋eq\f(1,x)＝eq\f(ax2－a＋1x＋1,x)＝eq\f(ax－1x－1,x)，①当0<a<1时，eq\f(1,a)>1，∴x∈(0,1)和(eq\f(1,a)，＋∞)时，f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上单调递减；②当a＝1时，eq\f(1,a)＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当a>1时，0<eq\f(1,a)<1，∴x∈(0，eq\f(1,a))和(1，＋∞)时，f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1)))时，f′(x)<0，∴函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上单调递减，综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上单调递减．【变式训练】本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？【解析】a>0时，讨论同上；当a≤0时，ax－1<0，∴x∈(0,1)时，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和(eq\f(1,a)，＋∞)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上单调递减．【方法归纳】在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准：(1)按导函数是否有零点分大类；(2)在大类中再按导数零点的大小分小类；(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．【跟踪训练3】已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．【解析】函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex(ex－a)＋ex·ex－a2＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2))).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))时，f′(x)<0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))，＋∞))时，f′(x)>0.故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))，＋∞))上单调递增．【易错辨析】讨论函数单调性时忽略定义域致错【例4】已知函数f(x)＝eq\f(x,lnx)，判断函数f(x)的单调性．【解析】函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝eq\f(lnx－1,lnx2).由f′(x)＝0，可得x＝e.则当0<x<1或1<x<e时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x>e时，f′(x)>0，f(x)为增函数．一、单选题1．已知是定义在上的函数，那么“在上单调递减”是“存在，使得”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数的单调性和导数的关系即可判断充分条件成立，通过举反例可以证明必要条件不成立，由此即可得到结果.【解析】因为在上单调递减，所以在上恒成立，故存在，使得成立；反之，若，则，存在，使得，而在上既不是增函数也不是减函数；所以是定义在上的函数，那么“在上单调递减”是“存在，使得”的充分不必要条件.故选：A.2．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，容易判断在上恒成立，进而分离参数转化为最值问题，最后求出答案.【解析】由题意，在上恒成立，则在上恒成立，因为，所以.故选：B.3．设函数在上存在导数，对任意的有，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，可得在上单调递增，进而求解不等式即可.【解析】由题意，，构造函数，则，得在上单调递增，由，得，即，根据函数在上单调递增，可得，解得.所以的取值范围是故选：B4．函数的图象大致为（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先判断函数为偶函数，再根据导数判断出函数的单调性后可得正确的选项.【解析】的定义域为，而，故为偶函数，故排除AC，当时，，则，设，，则，故在上为增函数，而，故在上存在一个零点，且，当时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故选：D.5．函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，且，∴函数为单调递增的奇函数．于是，可以变为，即，∴，而，可知实数，故实数的取值范围为．故选：C.6．已知定义在上的可导函数，对任意的实数x，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，令，根据奇偶性的定义，可得为偶函数，利用导数可得的单调性，将题干条件化简可得，即，根据的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【解析】由，得，记，则有，即为偶函数，又当时，恒成立，所以在上单调递增，所以由，得，即，所以，即，解得，故选：D.7．下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在上单调递增的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和导函数，逐项分析各函数即可得出答案.【解析】选项A中，在上不恒非负，选项A错误；选项B中，，所以的图像不关于原点对称，选项B错误；选项C中，，即为奇函数，图像关于原点对称又，时，恒成立所以在上单调递增，选项C正确；选项D中，当时，在上为单调增函数在上为单调减函数，选项D错误.故选：C.8．已知函数若存在三个不相等的实数，，，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，求导后判断其在上单调递增，在上单调递减，从而做出图像分析交点情况可得出答案.【解析】解：当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数取得最大值1，由此可作出的图像.存在三个不相等的实数，，，使得等价于一条垂直于轴的直线，与的图像有三个不同的交点.当时，如图，最多有两个交点，不符合题意；当时，如图，存在三个交点，符合题意；当时，如图，最多有两个交点，不符合题意.所以的取值范围.故选：B二、多选题9．若，则下列结论一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】对选项A，利用作差法比较即可判断A错误，对选项B，首先构造，再根据的单调性即可判断B正确，对选项C，根据，，即可判断C正确，对选项D，利用特殊值即可判断D错误.【解析】因为，所以，即.对选项A，，因为，所以，即，故A错误.对选项B，设，，因为时，，所以为增函数，因为，所以，即，故B正确.对选项C，因为，所以，又因为，所以，故C正确.对选项D，因为，当，时，，故D错误.故选：BC10．如果函数在区间上是增函数，且在区间是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.则下列函数是区间上的“缓增函数”的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据题意依次判断选项中函数和在区间上的单调性即可得到答案.【解析】对选项A，在单调递增，设，，，，为增函数，故A错误；对选项B，在单调递增，设，，，，为增函数，故B错误；对选项C，在单调递增，设，，，，为减函数，故C正确；对选项D，在单调递增，设，，，，为减函数，故D正确.故选：CD11．已知函数，则下列有关的叙述正确的是（）A．在处的切线方程为 B．在上是单调递减函数C．是极大值点 D．在上的最小值为0【答案】ACD【分析】求出导函数，利用导数的几何意义可判断A；利用导数与函数单调性之间的关系可判断B；利用极大值点的定义可判断C；利用极值以端点值可判断D.【解析】，，A，，，所以函数在处的切线方程为，即，A正确；B，，当时，则，，，所以函数在上是单调递增函数，B错误；C，，当时，，；当时，，；所以函数在上单调递增；在上单调递减；所以是极大值点，C正确；D，由B、C可知，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；，.所以函数在上的最小值为0，D正确.故选：ACD第II卷（非选择题