清单02 有理数及其运算（20个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）-25学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

清单02有理数及其运算（20个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。【清单02】有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种

【清单03】数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。【清单04】相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）【清单05】绝对值（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。

（3）代数符号意义：注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。【清单07】加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。【清单08】加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）【清单09】减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b【清单10】乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。【清单11】乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。【清单12】倒数（1）定义：乘积为1的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为±1.【清单13】除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。【清单01】乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0【清单01】混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。【清单01】科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×1053.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。【考点题型一】正负数

【典例1】微信钱包收入200元时在微信账单中显示为+200，那么支出50元将显示为（

）A．+50 B．−50 C．+200 D．−200【变式1-1】史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生产和生活中．在农业生产中，如果增产100kg记为+100kg，那么减产50kgA．−100kg B．+100kg C．−50kg【变式1-2】中国是最早采用正、负数来表示相反意义的量的国家．如果收入200元记作+200元，那么亏损120元记作（

）A．+120元 B．−80元 C．−120元 D．+80元【变式1-3】如果风车顺时针旋转66°，记作+66°，那么逆时针旋转78°，记作（

）A．−78° B．78° C．−12° D．12°【考点题型二】相反意义的量表示

【典例2】中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，若向东走20米记作+20米，那么向西走30米记作米．【变式2-1】如图，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是7：00时，东京时间为8：00．则当北京的时间为2024年1月28日9：00时，纽约的时间是．城市纽约巴黎东京芝加哥时差/时−13﹣7+1−14【变式2-2】如果−50元表示支出50元，那么+40元表示．【变式2-3】中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，如果盈利100元记作+100元，那么亏损10元可记作元．【考点题型三】有理数的概念辨析

【典例3】−3.782（

）A．是负数，不是分数 B．不是分数，是有理数C．是负数，也是分数 D．是分数，不是有理数【变式3-1】在−2，3.14，227，π，0.101001000……中，有理数的个数是（

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【变式3-2】下列各数：0，−5.11，3.151151115，227，7π中，有理数有【变式3-3】在“−1，−0.3，+116，0，−2.7”这五个数中，负有理数是【考点题型四】有理数的分类

【典例4】把下列各数填在相应的大括号里：5，14，−3，−312，0，2010，−35，6.2正数：{

⋯}；负数：{

⋯}；非负整数：{

⋯}；整数：{

⋯}；分数：{

⋯}；负分数：{

⋯}．【变式4-1】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．1，0.0708，−700，−3.88，0，3.14，−723，正有理数集合：{

…}，负整数集合：{

…}，正分数集合：{

…}，非负整数集合：{

…}．【变式4-2】将有理数−2.5,0,21整数：{

…}；负数：{

…}；正分数：{

…}【考点题型五】有理数的大小比较【典例5】a，b两数在数轴上的位置如图所示，将a,b,−a,−b用“<”连接，正确的是（A．−b<−a<a<b B．−b<a<−a<bC．a<b<−a<−b D．a<−b<−a<b【变式5-1】在0、1、−12、−2四个数中，最小的数是（A．−2 B．−12 C．0【变式5-2】在−−5，−0.8，0，|−6|A．−−5 B．−0.8 C．0 D．【变式5-3】比较大小：−2−(−6)；−123−65（填“>”“【考点题型六】数轴上两点之间的距离

【典例6】M点在数轴上表示−4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（

）A．−1 B．−7 C．−1或−7 D．−1或1【变式6-1】数轴上与原点距离是2的点有两个，它们表示的数是（

）A．−2和0 B．2和0C．−2和2 D．−1和1【变式6-2】数轴上点P表示的数为−3，与点P距离为4个单位长度的点表示的数为．【变式6-3】数轴上两个点之间的距离是5，其中一个点表示的数为3，则另一个点表示的数为．【考点题型七】数轴上的动点问题

【典例7】已知数轴上两点A，B对应的数分别为−1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P为AB的中点，则点P对应的数是．(2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值．(3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数．【变式7-1】如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足b−92+c−12

(1)a=____________；b=_____________；线段BC=____________；(2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值；(3)若线段AB和CD同时开始向右运动，且线段AB的速度小于线段CD的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足AM=CM，在点B和点D之间有一点N，始终满足BN=DN，此时线段MN为定值吗?若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．【变式7-2】如图，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的有理数为c，且c=−2，点C向左移动3个单位长度到达点A，向右移动5个单位长度到达点B．

(1)a=，b=；(2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数；(3)若点P从点A开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点Q从点B开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，点M从点C开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间t秒，则7QM−2PM的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【考点题型八】倒数的概念和相反数的概念

【典例8】−2的相反数是（

）A．−12 B．12 C．【变式8-1】2024的倒数是（

）A．2024 B．−2024 C．12024 D．【变式8-2】−57的相反数是，倒数是【考点题型九】相反数的性质运用

【典例9】设a与b互为相反数，则−13【变式9-1】若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数，(a+b)d+d−c=．【变式9-2】已知a+4与2互为相反数，那么a=．【变式9-3】若m、n互为相反数，则|m−5+n|=．【考点题型十】绝对值定义、绝对值的性质

【典例10】若a，b互为相反数，m的绝对值为1，则m2022+a+b的值是（A．−1 B．0或−2 C．0或−1 D．1【变式10-1】−2024的绝对值是（）A．−12024 B．12024 C．2024【变式10-2】−2的绝对值是（

）A．−2 B．−12 C．2 【变式10-3】若m=6，则m的值是（

A．−6 B．6 C．16 D．−6【变式10-3】若x=7，则x=

【考点题型十一】化简绝对值

【典例11】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a+1−b−a的结果为（

A．2a−b+1 B．−b+1 C．−b−1 D．−2a−b−1【变式11-1】若ab≠0，那么aaA．−2 B．0 C．1 D．2【变式11-2】有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（

）A．m−n=m−nB．m−n=n−m C．n−m=n+m【变式11-3】已知x为有理数，则x+5+x−3的最小值是【考点题型十二】非负性的性质

【典例12】如果a+1+(b−2)2=0，则A．1 B．3 C．−1 D．−3【变式12-1】已知|3a−9|+4+b²=0，则a+b=【变式12-2】已知a−3+(4−b)2=0【变式12-3】已知a+22与b−3互为相反数，则a−b=【考点题型十三】有理数的加减运算【典例13】计算：(1)−4+(2)13

【变式13-1】将−3−(+6)−(−5)+(−2)写成省略加号的和的形式是（

）A．−3+6−5−2 B．−3−6+5−2C．−3−6−5−2 D．−3−6+5+2【变式13-2】已知x=3，y=2，且x<y，则x+y的值为【变式13-3】(−8)+10+2+(−1)【考点题型十四】有理数乘除法运算

【典例14】计算下列各题：(1)−24×−34+【变式14-1】计算：−1.5×【变式14-2】计算：(1)−12557÷(−5)；【考点题型十五】有理数的乘方

【典例15】下列各组数中，数值相等的是（

）A．23和32 B．(−2)2和−22 C．2和|−2|【变式15-1】在−−3，−32，−−3，−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式15-2】下面对有理数的大小关系判断错误的是（

）A．35<23 B．+−5<−【考点题型十六】有理数混合运算

【典例16】计算：(1)−23×25−6×25+18×25+25；(2)−【变式16-1】计算：(1)26−27×73−【变式16-2】计算：(1)−9÷3+12【变式16-3】计算：(1)16÷−23−22【变式16-4】计算：−13−−22+−28．(3)−22−9×−1【考点题型十七】算“24”点

【典例17】根据“二十四点”游戏的规则，用仅含有加、减、乘、除及括号的运算式（每个数字只能用一次），使12，−12，3，−1的运算结果等于24：（只要写出一个算式即可）【变式17-1】“24点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等24”．现在有四个有理数7，−2，3，−4，运用上述规则列出算式=24．【变式17-2】有一种“24点”游戏的规则：用4个整数进行有理数运算（可用括号和乘方）列出一个计算结果为24的算式，现有数2，﹣3，4，5，请列出“24点”的算式：（写出一个算式即可）．【变式17-3】小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．【考点题型十八】科学计数法

【典例18】2024年国庆档全国电影票房为21.04亿元，观影人次为5209万，国产影片票房为20.17亿元，占比为95.87%，其中数据20.17亿用科学记数法表示是（

A．20.17×108 B．2.017×109 C．【变式18-1】我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（）A．2.15×107 B．0.215×109 C．【变式18-2】2021年12月3日中老铁路全线开通运营，全长1035000米，将1035000米用科学记数法表示应为（

）A．10.35×105米 B．C．0.1035×107米 D．【变式18-3】2021年是中国共产党百年华诞，在中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，128000个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，数据128000用科学记数法表为．【考点题型十九】近似数的表示【典例19】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）C．0.5（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001）【变式19-1】用四舍五入法得到的近似数2.003万，精确到（

）A．千分位 B．万位 C．十位 D．百位【变式19-2】有理数5.555精确到百分位的近似数为．【变式19-3】对于近似数8.10×10−3，它有【考点题型二十】有理数实际应用

【典例20】某快递公司小哥骑三轮摩托车从公司A出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如下表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次−3+7−9+10+4−5−2(1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司A的哪个方向上？距离公司A多少千米？(2)在第几次记录时快递小哥距公司A地最远，计算说明理由．(3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，并且快递小哥工作结束后要回公司A交回三轮摩托车，那么快递小哥工作一天需要花汽油费多少元？【变式20-1】科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比