2024-2025学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义演练含解析新人教A版选修1-2

PAGE3-第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义[A级基础巩固]一、选择题1．下列不等式正确的是()A．3i＞2i B．|2＋3i|＞|1－4i|C．|2－i|＞2 D．i＞－i解析：两个虚数不能比较大小，则A、D错误．又|2＋3i|＝eq\r(13)＜|1－4i|＝eq\r(17)，B不正确．易知|2－i|＝eq\r(5)＞2，成立．答案：C2．当eq\f(2,3)<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)．由eq\f(2,3)<m<1，得3m－2>0，m－1<0.所以点Z位于第四象限．答案：D3．设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中正确的是()A．z在复平面内对应的点在第一象限B．z肯定不是纯虚数C．z在复平面内对应的点在实轴上方D．z肯定是实数解析：2m2＋2m－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(3,2)，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1＞0，则z在复平面内对应的点肯定在实轴上方．答案：C4．在复平面内，O为原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数为()A．－2－i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2i解析：因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数为－2＋i.答案：B5．已知复数z对应的向量为eq\o(OZ,\s\up12(→))(O为坐标原点)，eq\o(OZ,\s\up12(→))与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为()A．1＋eq\r(3)i B．2C．(－1，eq\r(3)) D．－1＋eq\r(3)i解析：因为|eq\o(OZ,\s\up12(→))|＝|z|＝2，且eq\o(OZ,\s\up12(→))与实轴正方向夹角为120°.设z＝x＋vi(x，v∈R)，则x＝|z|·cos120°＝2cos120°＝－1，y＝|z|sin120°＝eq\r(3).所以复数z＝－1＋eq\r(3)i.答案：D二、填空题6．(2024·全国卷Ⅰ改编)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝________．解析：由(1＋i)x＝1＋yi，x，y∈R，得x＝1，且y＝1.所以|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2eq\r(m)i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．解析：因为z＝(m－3)＋2eq\r(m)i表示的点在直线y＝x上，所以m－3＝2eq\r(m)，解得m＝9.答案：98．复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________．解析：在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是钝角得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0且B，A，C不共线，由(－3，－4)·(c－3，2c－10)<0解得c>eq\f(49,11)，其中当c＝9时，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(6，8)＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，三点共线，故c≠9.答案：c>eq\f(49,11)且c≠9三、解答题9．设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z对应的点位于复平面内的其次象限．解：(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－6＝0，,m2＋2m－14>0，))解得m＝3(m＝－2舍去)．故当m＝3时，z是实数．(2)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（m2＋2m－14）<0，,m2－m－6>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<m2＋2m－14<1，,m2－m－6>0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－14>0，,m2＋2m－15<0，,m2－m－6>0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<－1－\r(15)或m>－1＋\r(15)，,－5<m<3，,m<－2或m>3.))解得－5<m<－1－eq\r(15).故当－5<m<－1－eq\r(15)时，z对应的点位于复平面内的其次象限．10．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－eq\f(1,2)＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．解：因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－eq\f(1,2)＋mi(m∈R),所以a＝(－3，0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，m)).又a，b的夹角为60°，所以cos60°＝eq\f(（－3，0）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，m)),\r(（－3）2＋02)·\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋m2))，则eq\f(1,2)＝eq\f(\f(3,2),3\r(\f(1,4)＋m2))，解得m＝±eq\f(\r(3),2).因此实数m的值为±eq\f(\r(3),2).B级实力提升1．已知复数z满意|z|2－2|z|－3＝0，则复数z的对应点的轨迹为()A．一个圆 B．线段C．两点 D．两个圆解析：因为|z|2－2|z|－3＝0，所以(|z|－3)(|z|＋1)＝0，则|z|＝3，因此复数z对应点的轨迹是一个圆．答案：A2．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．解析：因为点Z位于第三象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－6<0，,4－k2<0，))所以2<k<eq\r(6)或－eq\r(6)<k<－2.答案：(－eq\r(6)，－2)∪(2，eq\r(6))3．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋log2(m－2)i为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，求|z|.解：由纯虚