2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用应用案巩固提升新人教B版选修2-2

PAGEPAGE11.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用[A基础达标]1．已知函数f(x)＝x3，若f′(x0)＝6，则x0＝()A．eq\r(2) B．－eq\r(2)C．±eq\r(2) D．±1解析：选C.因为f′(x)＝3x2，所以f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＝6，解得x0＝±eq\r(2).2．下列结论中不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，则y′＝eq\f(1,2)xeq\s\up6(\f(1,2))解析：选D.当y＝xeq\s\up6(\f(1,2))时，y′＝(xeq\s\up6(\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A．eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)解析：选D.因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2，所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1，0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为eq\f(e2,2).4．过曲线y＝eq\f(1,x)上一点P的切线的斜率为－4，则P的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))解析：选B.因为y′＝－eq\f(1,x2)，令－eq\f(1,x2)＝－4，得x＝±eq\f(1,2)，P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，故选B.5．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.eq\f(1,n) B.eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1) D．1解析：选B.由题意得xn＝eq\f(n,n＋1)，则x1·x2·…·xn＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)，故选B.6．质点的运动方程是s＝eq\f(1,t4)(其中s的单位是m，t的单位是s)．则质点在t＝3s时的速度是________．解析：因为s＝t－4，所以s′＝－4t－5，所以质点在t＝3s时的速度是(－4)×eq\f(1,35)＝－eq\f(4,243)(m/s)．答案：－eq\f(4,243)m/s7．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．解析：设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.设g(x)＝eq\f(1,x)(x>0)，则g′(x)＝－eq\f(1,x2).由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.所以P(1，1)．答案：(1，1)8．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝________．解析：由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次类推可得，f2017(x)＝f1(x)＝cosx.答案：cosx9．已知P、Q两点为抛物线x2＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4，－2，过P、Q两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点A，求A点的坐标．解：因为点P、Q的横坐标分别为4，－2，且点P、Q都在抛物线上，所以可得P(4，8)，Q(－2，2)；因为y′＝x，所以kPA＝4，kQA＝－2，联立直线PA、QA的直线方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－8＝4（x－4），,y－2＝－2（x＋2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－4，))即点A的坐标为(1，－4)．10．求与曲线y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．解：因为y＝eq\r(3,x2)，所以y′＝(eq\r(3,x2))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(x\s\up6(\f(2,3)))))′＝eq\f(2,3)x－eq\s\up6(\f(1,3)).所以f′(8)＝eq\f(2,3)×8－eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(1,3)，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为eq\f(1,3).所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.[B实力提升]11．曲线y＝lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为()A．1 B．eC．－1 D.eq\f(1,e)解析：选D.设M(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝eq\f(1,x)，所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)，所以切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)．由题意得0－lnx0＝eq\f(1,x0)(0－x0)＝－1，即lnx0＝1，所以x0＝e.所以k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e).故选D.12．若曲线y＝x－eq\s\up6(\f(1,2))在点(a，a－eq\s\up6(\f(1,2)))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________．解析：因为y＝x－eq\s\up6(\f(1,2))，所以y′＝－eq\f(1,2)x－eq\s\up6(\f(3,2))，所以曲线在点(a，a－eq\s\up6(\f(1,2)))处的切线斜率k＝－eq\f(1,2)a－eq\s\up6(\f(3,2))，所以切线方程为y－a－eq\s\up6(\f(1,2))＝－eq\f(1,2)a－eq\s\up6(\f(3,2))(x－a)．令x＝0得y＝eq\f(3,2)a－eq\s\up6(\f(1,2))；令y＝0得x＝3a.因为该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\f(9,4)aeq\s\up6(\f(1,2))＝18，所以a＝64.答案：6413．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．解：因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，所以所求切线的方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．因为切线过原点，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.14．(选做题)已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明理由．解：不存在．由于y1＝sinx，y2＝cosx，设两条曲线的一个公共点