《直线与平面垂直》第1课时同步学案

高中数学精选资源3/3《直线与平面垂直》第1课时课时同步学案问题情境导入下图为北京第一高楼，高528m的北京中信大厦，又名中国尊，被评为“中国当代十大建筑”之一，拥有8项世界之最大楼与地面的位置关系是什么呢？新课自主学习自学导引1.一般地，如果直线l与平面内的_____直线都垂直，那么称直线l与平面垂直，记作_____.直线l称为平面的_____，平面称为直线l的_____，它们唯一的公共点称为_____.2.直线与平面垂直的性质定理：________________.3.如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是_________________.4.平面的一条斜线与它在平面上的所成的_____叫作这条直线与这个平面所成的角.答案1.任何一条垂线垂面垂足2.垂直于同一个平面的两条直线平行3.这条直线到这个平面的距离4.投影锐角预习测评直线平面，直线，则l与m不可能（）A.平行B.相交C.异面D.垂直2.已知直线a，b，平面，且，下列条件中能推出的是（）A.B.C.D.b与相交3.两条平行直线在平面内的投影可能是：①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点.上述四个结论中，可能成立的个数为（）A.1B.2C.3D.44.三棱锥PABC中，平面ABC，，则直线PB与平面ABC所成角的大小为_____.答案1.答案：A解析：由直线与平面垂直的定义可知，，l与m可能相交或异面，但不可能平行.2.答案：C解析：由直线与平面垂直的性质定理可知，当，时，.3.答案：C解析：只有②不可能成立.4.答案：解析：因为平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB，所以即为直线PB与平面ABC所成的角，在中，，所以，即直线PB与平面ABC所成的角为.新知合作探究探究点1直线与平面垂直的定义及性质定理知识详解1.直线与平面垂直的定义.文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面垂直，记作直线l称为平面的垂线，平面称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足注意：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.2.直线与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言垂直于同一个平面的两条直线平行[特别提示]直线与平面垂直的定义可以作为性质使用，由“线面垂直”推出“线线垂直”，即若一条直线与一个平面垂直，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直；性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的一种联系，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行.典例探究例1下列命题中正确的个数是（）A.如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则B.如果直线l与平面内的一条直线垂直，则C.如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线D.如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直解析对于A，无数条直线平行时，不一定成立；对于B，由直线与平面垂直的定义知垂直于一条直线无法判断线面垂直”；对于C，如果直线l不垂直于，则内存在与l垂直的直线.答案D变式训练1如果直线l与平面不垂直，那么在平面内（）A.不存在与l垂直的直线B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条与l垂直的直线D.任意一条都与l垂直答案C点拨若，显然在内存在无数条直线与l垂直；若，过l作平面，则，因为在内存在无数条直线与垂直，从而在内存在无数条直线与l垂直；若l与斜交，设交点为A，在l上任取一点P，过P作，垂足为Q，在内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA（即l）垂直.特别提示对于直线与平面垂直的定义，要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内.例2直线a和b在正方体的两个不同平面内，使成立的条件是_____.（只填序号）①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.解析①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为基本事实4的应用.答案①②③变式训练2在正方体中,直线(与直线不重合)平面,则有（）A.B.C.与异面D.与相交答案B点拨因为平面平面, 所以.探究点2直线与平面所成的角知识详解斜线：一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线.斜足：斜线与平面的交点.斜线在平面内的投影：过斜线上斜足以外的一点向平面作垂线，过垂足和斜足的直线称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.直线与平面所成的角的取值范围是.求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的投影—垂足的位置.典例探究例3在正方体中,分别是的中点,则直线与平面所成的角的正切值为_____.解析如图,平面,平面,则即为与平面所成的角,同时.又分别为的中点,为等腰直角三角形，.所以,直线与平面所成的角的正切值为1.答案1方法归纳求直线与平面所成的角一般有三个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：在证明的基础上计算得出结果.变式训练3如图,在四棱锥中,底面,且底面是平行四边形,若,,求与底面所成的角的余弦值.答案由底面可知,即为与底面所成的角.又,所以是等边三角形,所以.在中,,所以,即与底面所成的角的余弦值为.易错易混解读例已知平面外两点A，B到平面的距离分别为1和2，A，B两点在平面内的投影之间的距离为，求直线AB和平面a所成的角错解如图所示：过点分别向平面作垂线,垂足分别为,设与平面相交于点为在平面上的投影,则点共线,∴或为与平面所成的角.则,由题意可知,.所以直线.所以直线与平面所成的角为.错因分析解答本题时只考虑了A，B在平面同一侧的情况，没有考虑A，B在平面两侧的情况，导致出现漏解.正解(1)当点在平面的同侧时,由错解知直线与平面所成的角为;(2)当点位于平面的两侧时,如图,过点分别向平面作垂线,垂足分别为,设与平面相交于点,则三点共线,为在平面上的投影,或为与平面所成的角.在,在中,.由题意可知,..,与平面所成的角为.综合=1\*GB3①=2\*GB3②可知,直线与平面所成的角为或.纠错心得已知平面外两点到平面的距离分别为1和2，首先想到A,B两点与平面的位置关系，可分点位于平中的同倒和点位于平面的两倒两种情况分别求解.课堂快速检测1.已知直线平面,直线,则（）A.B.C.l,异面D.相交而不垂直 2.已知平面和直线,则内至少有一条直线与（）A.异面B.相交C.平行D.垂直3.若斜线段是它在平面内的投影长的2倍,则所在直线与所成的角为（）A.B.C.或D.或4.如图,棱长为的正方体中,为中点,直线与平面所成的角的正切值为（）A.B.C.D.5.线段在平面的一侧,到平面的距离分别为3利5,则的中点到的距离为_____.6.点为所在平面外一点,平面,垂足为,若,则点是的_____.答案1.答案：A解析：根据直线与平面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直于该平面内的任意一条直线，因此.2.答案：D解析：若直线，内至少有一条直线与l垂直；若l与相交，内至少有一条直线与l垂直；若，内至少有一条直桟与垂直.3答案：A解析：如图，，垂足为C，，则BC是AB在平面内的投影，所以是直线与平面所成的角.因为线段AB的长等于它在平面内的投影