2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题03 不等式4题型分类-备2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

专题03不等式4题型分类1．不等式的性质（1）对称性：a>b⇔b<a．（2）传递性：a>b，b>c⇒a>c．（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc．（5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．2．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(a，b∈R)．3．基本不等式（1）基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)．（2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0．（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．（4）其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．4．几个重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．（2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．（3）ab≤(a，b∈R)．（4）eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．5．三个“二次”的关系判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根不等式的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R6．分式不等式与绝对值不等式（1）eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．（2）eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．（3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)．（一）不等式的性质1．常用结论（1）若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b)．（2）若a>b>0，m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)．（3）若b>a>0，m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m)．2．判断不等式的常用方法．（1）利用不等式的性质逐个验证．（2）利用特殊值法排除错误选项．（3）作差法．（4）构造函数，利用函数的单调性．题型1：不等式的性质1-1．（2024高三上·广东·期末）已知，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．1-2．（2024·全国）若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│1-3．（2024·山东）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A． B．C． D．（二）比较大小1．不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）．（3）分析法．（4）平方法．（5）分子（或分母）有理化．（6）利用函数的单调性．（7）寻找中间量或放缩法．（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．题型2：比较大小2-1．（2024·全国）已知，则（

）A． B． C． D．2-2．（2024高三·全国·课后作业）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；（2）设x，，比较与的大小.2-3．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）（1）试比较与的大小；（2）已知，，求证：．（三）基本不等式1．基本不等式（1）基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)．（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．2．几个重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．（2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．（3）ab≤(a，b∈R)．（4）eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．3．基本不等式求最值（1）前提：“一正”“二定”“三相等”．（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．题型3：基本不等式3-1．（2024高一下·广西柳州·期末）若，则的最小值为.3-2．（2024高三·河北·学业考试）若，，且，则的最大值为．3-3．（2024高三上·湖南娄底·期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为．3-4．（2024·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为.3-5．（2024高三上·江苏常州·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为.3-6．（2024·上海浦东新·二模）函数在区间上的最小值为．3-7．（2024·上海长宁·二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要米栅栏．（四）不等式的求解1．含参一元二次不等式的解法（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类．（2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．2．一元二次不等式恒成立问题（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．题型4：不等式的求解4-1．（2024·全国）已知集合则（

）A． B．C． D．4-2．（2024高一下·广东阳江·期末）不等式的解集为（

）A． B．C． D．4-3．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式．4-4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是.4-5．（2024高二下·吉林·期末）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是．4-6．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是．4-7．（2024高三上·北京·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是.一、单选题1．（2024高一上·吉林延边·期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（

）A． B．C． D．4．（2024高二上·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．66．（2024高三下·浙江·期中）设，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．（2024高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．8．（2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．9．（2024高一下·浙江湖州·开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为10．（2024高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．安徽省合肥一六八中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．12．（2024·北京海淀·模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（

）A．B．C．若关于x的不等式的解集为，则D．若关于x的不等式的解集为，且，则13．（2024高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－2 B．1 C．2 D．814．（2024·山东）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．15．（2024·全国）已知集合，则A． B．C． D．16．（2024·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．17．（2024·北京房山·二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（

）A． B．C． D．18．（2024·海南海口·模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12 B．25 C．27 D．3619．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．1820．（2024·湖南长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（

）A． B．C． D．21．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且，则ab的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．3222．（2024·河南安阳·三模）已知，则下列命题错误的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为4C．若，则的最大值为2D．若，则的最大值为23．（2024·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题24．（2024·重庆·模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．C． D．25．（2024·山东·二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．26．（2024高三上·山东泰安·期末）若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．27．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为28．（2024高三下·河北衡水·阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（

）A．10 B．11 C．12 D．2029．（2024高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．30．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（

）A． B．C． D．的最小值为131．（2024·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（

）A． B．C． D．32．（2024·全国）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．33．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足，则（

）A． B．C． D．34．（2024高三下·湖北·阶段练习）已知，且，则（

）A．的最小值为4 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为35．（2024·云南红河·一模）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．36．（2024·山西·一模）设，，，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为9 D．的最小值为37．（2024·山东）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A． B．C． D．38．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A． B．C．若，则 D．39．（2024高一上·浙江温州·期中）已知，且则下列结论一定正确的有（

）A． B．C．ab有最大值4 D．有最小值940．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若且，则，至少有一个大于2B．，C．若，，则D．的最小值为241．（2024·云南曲靖·模拟预测）若实数满足，则（

）A．且 B．的最大值为C．的最小值为7 D．三、填空题42．（2024高一·全国·单元测试）若,则将从小到大排列为.43．（2024高二·全国·单元测试）如果a>b，给出下列不等式：①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序号是．44．（2024高三上·上海普陀·期中）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是．45．（2024·浙江）已知实数、、满足，，则的最大值为.46．（2024·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如（填“＞”“＜”）．47．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.48．（2024高三上·天津南开·阶段练习）若，，且，则的最小值是．49．（2024·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为.50．（2024高三·全国·专题练习）若，则的最小值为51．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为．52．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，，则的最小值为.53．（2024高二下·浙江·期中）已知，，满足，则的最小值是．54．（2024·天津·一模）若，，，，则的最小值为．55．（2024高三上·浙江宁波·期中）已知，，，则取到最小值为．56．（2024·安徽蚌埠·二模）若直线过点，则的最小值为．57．（2024高三下·河北·阶段练习）已知，则的最小值为.58．（2024高一上·山东烟台·阶段练习）已知，，且，则的最小值为.59．（2024高三下·浙江·开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为．60．（2024·天津滨海新·模拟预测）已知，则的最大值是.61．（2024·上海金山·二模）若实数满足不等式，则的取值范围是.62．（2024高三·全国·课后作业）不等式的解集为．63．（2024高一下·湖北省直辖县级单位·期末）函数的定义域为．64．（2024高三·全国·课后作业）不等式的解集为．65．（2024高一上·上海松江·阶段练习）不等式的解集为．66．（2024·江西）不等式的的解集是67．（2024·上海崇明·二模）若不等式，则x的取值范围是．68．（2024·上海浦东新·三模）不等式的解集是．69．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知集合，则．70．（2024高一上·全国·专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为．71．（2024高一·全国·专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是.72．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为.73．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是．四、解答题74．（2024高三·江苏·专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：75．（2024高三下·河南·阶段练习）已知x，y，z为正数，证明：(1)若，则；(2)若，则．76．（2024·四川绵阳·二模）已知函数，若的解集为.(1)求实数，的值；(2)已知，均为正数，且满足，求证：.77．（2024高二下·江苏·期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳