浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.下列直线中，倾斜角最大的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，显然直线的倾斜角最大.故选：C2.已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（）A B.C. D.【答案】A【解析】设设点D的坐标为，由题意得，因为四边形是平行四边形，所以，所以，解得，故选：A3.如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行六面体中，E为BC的中点，所以.故选：B4.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.5.若直线与直线互相垂直，则的最小值为（）A. B.3 C.5 D.【答案】C【解析】因为直线与直线互相垂直，所以，化简得，所以，当且仅当时取“=”，所以的最小值为5，故选：C6.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】如图，令，由，得，又，则，即，又由，得，，故选：D.7.已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设双曲线的半焦距为，则，解得：，且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线为，因为圆的圆心为，半径，可知圆关于轴对称，不妨取渐近线为，即，则圆心到渐近线的距离，可得：.又因为圆与双曲线的一条渐近线相交弦长为，由题意可得：，解得：.综上可得：的取值范围是.故选：B8.已知曲线，则下列结论中错误的是（）A.曲线与直线无公共点B.曲线关于直线对称C.曲线与圆有三个公共点D.曲线上的点到直线的最大距离是【答案】D【解析】当时，曲线方程为，表示圆的一部分，当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分，当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分，其图象如图所示：A.因为是等轴双曲线的渐近线，曲线与直线无公共点，故正确；B.将方程中的互换后方程不变，所以曲线关于直线对称，故正确；C.圆的圆心为，又，即当时，曲线与圆相切，所以有三个公共点，故正确；D.作与直线平行的直线与曲线切于点上的点到直线的最大距离是，故错误；故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.的最大值2 D.为钝角，则【答案】AB【解析】A.若，则，解得，故正确；B.当或时，不平行，所以时，有，解得，故正确；C.，无最大值，故错误；D.若钝角，则，且，不反向共线，解得且，故错误；故选：AB10.如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.的最小值为C.若是的中点，则到平面的距离为D.若直线与所成角的余弦值为，则【答案】ABC【解析】A.因为平面，且平面，所以平面平面，故正确；B.因为，且为定值，所以，故正确；C.因为平面平面，且到平面，所以到平面的距离即为到直线的距离，又，，解得，故正确；D.当时，，则，故错误；故选：ABC11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．已知在平面直角坐标系中，到两定点距离之积为常数的点的轨迹是双纽线．若是曲线上一点，则下列结论正确的是（）A.曲线上有且仅有1个点满足B.曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为D.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3【答案】ACD【解析】设Px,y，则，化简得，将代入可得，所以曲线，对于A，若点满足，则在垂直平分线上，则，设，则，解得，故只有原点满足，故A正确；对于B，令，解得或，即曲线经过，结合图象，得，令，得，令，得，因此，结合图象曲线只能经过3个整点，故B错误；对于C，直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，所以，整理得无非零实数解，，解得，故C正确；对于D，可得，所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故D正确.故选：ACD.非选择题部分12.点到直线的距离最大值是____________．【答案】【解析】由题意得，直线过定点，则，如图所示，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大值，且最大值为.故答案为：.13.如图,在三棱锥中,已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为___________（用向量来表示）.【答案】【解析】由题意，在三棱锥中，已知平面，,∵面，∴，在中，，，∴,，∴向量在向量上的投影向量为：，故答案为：.14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．【答案】【解析】双曲线的渐近线为，设直线交双曲线及其渐近线分别于，及，，如图，由，得，由，得,线段，绕轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，它是一个圆环，其内径，外径，此圆环面积为因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，旋转体的高为，而底面圆半径为，高为的圆柱垂直于轴的任意一截面面积都为，由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为，高为的圆柱的体积为.故答案为：.四、解答题：本题共5神墙小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线，直线l过点且与垂直.（1）求直线l的方程；（2）设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程.解：（1）由题意可得的斜率为，可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得，即直线；（2）联立直线l和方程，解得；联立直线l和方程，解得；如下图所示：设过三点A，B，O的圆的方程为，将三点坐标代入可得，解得，可得圆的方程为（或）.16.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱上动点（不与、重合），平面与棱交于点．（1）求证：；（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）∵，且平面，平面，∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；（2）连结，取中点，连结，在菱形中，°，∴△是等边三角形，又∵为中点，∴，，同理，又∵，∴，∴，又，∴，故两两垂直，以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，∴，∴，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，故，又∵，设与平面所成角为，∴，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点．（1）求双曲线C的方程；（2）证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．解：（1）因为双曲线的实轴长为6，所以，因为双曲线的离心率为，所以，解得，由，得，则C的方程为．（2）设，，因为直线过定点B-2,0，显然直线l不垂直于轴，则设直线，联立方程组，消去x得，由，得，则，，因为A为双曲线C的左顶点，所以，直线AE的斜率，直线AF的斜率，所以，即直线AE与AF的斜率之积为定值．18.如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，,，M是棱PC上的点,且，.（1）求证：平面PAD；（2）设二面角的大小为，若，求的值.解：（1）因为，，所以，，在中，，，由余弦定理得，，所以，即，，取的中点，连结，因为是等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面PAD，所以平面，又因为平面，所以.又因为，，平面，所以平面.（2）取的中点N，连结，则，所以，以为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，,又，设平面MBD的一个法向量为n=x,y,z则即，当时，平面平面，不合题意；当时，令，得平面的法向量为，易知平面的一个法向量为，由于平面与平面所成角的余弦值为，故有，解得或.19.已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．解：（1）由题意得椭圆方程为，所以，设，则，二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，所以时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆“圆椭圆”；（2）因为椭