浙江省嘉兴市六校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省嘉兴市六校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.故选：C.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：C.3.设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由命题p为真命题，得，解得，显然，所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知幂函数的图象过点，则等于（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】因为幂函数的图象过点，所以，即，则，解得.故选：D.5.已知，，且，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.9【答案】A【解析】，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5.故选：A.6.若函数有且只有一个零点，则实数的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由题函数定义域为R，关于原点对称，又由于故为上的偶函数，由于只有一个零点，因此，故，解得.故选：D.7.甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员.甲说：“冠军是李亮或张正”；乙说：“冠军是林帅或张正”；丙说：“林帅和李亮都不是冠军”；丁说：“陈奇是冠军”．结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（）A.林帅 B.李亮 C.陈奇 D.张正【答案】C【解析】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误；对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误；对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确；对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误.故选：C.8.已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断【答案】B【解析】由题可知：函数是幂函数，则或，又对任意的且，满足，所以函数为(0，+∞)的增函数，故，所以，又，所以为单调递增的奇函数，由，则，所以，则.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知，且，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于选项A：由不等式的基本性质“若，则”可知，选项A正确；对于选项B：可取，则有，此时，所以选项B错误；对于选项C：因为函数在上单调增加，且，所以，故选项C正确；对于选项D：因为，所以，又因为，所以，所以选项D正确.故选：ACD.10.在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上（含端点），则下列命题正确的是（）A.长的最小值为B.三棱锥的体积为定值C.有且仅有一条直线与垂直D.当点、为线段中点时，则为等腰三角形【答案】ABD【解析】对于A，由点所在线段分别在两个平行平面、上，且为异面直线，其间距最小值为异面直线的距离，即两个平面间的距离，即长的最小值为，A对；对于B，由，其中表示到平面的距离，显然为定值，而的中，底与边上的高均为定值，由此可知面积为定值，综合上述，四面体的体积为定值，B对；对于C，点在平面上的射影的轨迹为线段，平面，平面，所以，则的一个充要条件，当射影位于线段上的任意位置时，过作的垂线，所得垂足记为，则，根据以上垂直关系可知，，、平面，所以平面，平面，从而.于是这样的直线不唯一，C错；对于D，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系，当、分别为、的中点时，则、、，所以，，同理可得，，此时，为等腰三角形，D对.故选：ABD.11.已知函数，若，恒成立，则（）A.函数是奇函数 B.函数是增函数C.，是真命题 D.m可以为0【答案】ABC【解析】函数的定义域为R，对于A，，，函数是奇函数，A正确；对于B，函数R上单调递增，则函数在R上单调递减，而在R上单调递增，因此函数在R上单调递增，函数是增函数，B正确；对于C，，，因此，，是真命题，C正确；对于D，由选项C知，，解得，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数在上是减函数，则的值为___________．【答案】【解析】是幂函数，所以，解得或，当时，，在上递减，符合题意；当时，，在上递增，不符合题意，舍去.综上所述，的值为.13.计算：________．【答案】1【解析】.14.如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于_______．【答案】【解析】设，显然是的中点，因为平面，到的距离为4，所以到的距离分别为2，而到的距离为2，因此，即，设平面，所以，因为四边形是正方形，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，平面平面，，所以，在平面的射影，与共线，显然，如图所示：由，，由（负值舍去），四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，．（1）判断是否为集合中的元素，并说明理由；（2）若全集，求，．解：（1）不是集合中的元素，理由如下：由可得，解得或，所以，或，因此，.（2）且，所以，或，又因，故.16.设奇函数，（为自然对数的底数，）.（1）求的定义域和；（2），求函数的值域.【答案】（1），定义域为解：（1）因为，令，可得，可知的定义域为；因为是奇函数，则，解得，可得，则，即，可知是奇函数.综上所述：.（2）由（1）可知，令，则，因为在上单调递减，当时，；当时，；可知，即，且在定义域内为增函数，则，所以的值域为.17.已知函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.解：（1），即，即，当时，原不等式解得；当时，原不等式无解；当时，原不等式解得；综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（2），即，即，，，由题意可知只需即可，令，则当且仅当即时，等号成立.，18.已知是定义在上的函数，且，.（1）求函数的解析式；（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明；（3）求函数在上的值域.解：（1）因为，，所以，得，所以.（2）的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数.（3）设，则.因为，所以，所以，即，所以在上单调递增.又，所以函数在上的值域为.19.对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.（1）写出整数4的所有“正整数分拆”；（2）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值；（3）对所有的正整数，证明:；并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)解：（1）整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.（2）当为偶数时，时，最大为；当为奇数时，时，最大为；综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.（3）当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，设是