浙江省A9协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省A9协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线l：3x+y﹣3＝0的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率,故倾斜角满足,又,故.故选：C.2.向量，，若，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由可得，因此可得，解得.故选：B3.若点在圆内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，，解得.故选：D.4.若直线与直线垂直，则的值是（）A.2 B.0 C.0或2 D.2或-2【答案】C【解析】直线与直线垂直则，解得或.故选；C.5.已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点，由题意可知：，所以，所以，因为线段的中点在轴上，所以由中点坐标公式可知：，所以，代入椭圆方程得：，所以点，则，，所以.故选：A.6.已知平面上两定点，则满足（常数且）的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在中,，，则面积的最大值是（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】在平面直角坐标系中，不妨设因为得化简得，易知，该圆圆心，三点共线，该圆半径，所以面积最大值是.故选：D7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，设则由，可得，解得，即，又在椭圆上，故，即，故，即离心率.故选：B8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（）A. B. C. D.12,1【答案】A【解析】作与，作与，直线的方程为，故又可得，，，,从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.空间向量与垂直B.已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为C.已知向量，，，若可作为一组基底，则可取1D.若和分别是直线和直线方向向量，则两直线所成夹角为【答案】BC【解析】对于A，由向量与，得，不垂直，A错误；对于B，向量，，在方向上的投影向量，其模为，B正确；对于C，当时，，假定共面，即存在有序数对使得，则，于是，此方程无解，因此不共面，即当时，可作为一组基底，C正确；对于D，由，而，解得，直线所成夹角为，D错误.故选：BC10.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A.过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B.存在点，使得的长度为4C.椭圆上存在4个不同的点，使得D.内切圆半径的最大值为【答案】ACD【解析】对A，由题意，则，故，解得，故椭圆，则过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确；对B，根据椭圆性质可得，即，故，即不存在点，使得的长度为4，故B错误；对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点，易得该圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确；对D，的周长为，设的内切圆半径为，则，故当最大时最大，此时为上下顶点，，则，解得，故D正确.故选：ACD11.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（）A.曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）B.曲线夹在直线和直线之间C.曲线所围成区域面积是所围成区域面积的9倍D.曲线上任意两点距离都不超过【答案】ABC【解析】A选项，，，有，，，有，，时，有，，时，，画出图形，如下：经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确；B选项，曲线，当，，有，即，当，，有，即，当，，有，即，当，，有，即，画出图形，如下：其中，，故，则，故曲线由四个弓形组成，弓形的弓高为，是夹在直线和直线之间，故B正确.C选项，由A选项知，表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，其中正方形边长为，半圆半径为，故其面积为，同理，曲线也可以分解一个正方形和四个半圆，其中正方形边长为，半圆半径为，其面积为，所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍，C正确；D选项，当，，有，即，当，，有，即，当，，有，即，当，，有，即，画出图形，如下：连接两圆心并延长，分别与两圆交于，则，D错误.故选：ABC第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线经过的定点坐标为__________.【答案】【解析】，即，则，解得，则其经过定点.故答案为：.13.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为__________.【答案】【解析】因为，所以，则，故答案为：14.若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是__________.【答案】【解析】，当且仅当，等号成立，令，即，代入椭圆方程得，由，解得，，则（可验证等号可取），故的最小值是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知的顶点在直线上运动，点为，点为.（1）求直线的方程；（2）的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由.解：（1）由，得，由点斜式方程，化简得.（2）的面积为定值，由于，故，又点在直线上运动，故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离，，，.16.在平面直角坐标系中，已知圆及点和（1）若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径；（2）已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围.解：（1）圆化为，故，解得，所以圆心为，直线的方程为，圆心到直线距离为，由垂径定理得，解得.（2）点在以为直径的圆上，由于点和，故此圆方程为，从而圆与圆有两个交点，其中圆心距，只需满足，得，即，解得17.如图，，，且，平面平面，四边形为正方形.（1）求证：.（2）若点在线段上，且点到平面距离为，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）如图，连接，，，，又，，又平面平面，且交线为，平面，且平面,，而四边形为正方形，则，且，平面，平面，平面，.（2），平面平面，且交线为，平面，平面，平面，故平面平面，从而点到平面的距离为点到直线的距离，且为，又点在线段上，且点到平面距离为，故点为线段的三等分点（靠近点）.如图，取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.又，，设平面的法向量，则，不妨令，可得，，，设平面的法向量n=x2,则，不妨令，可得，故平面的法向量设平面与平面所成角为，，由图可知平面与平面所成角锐角，所以平面与平面所成角的余弦值为.18.已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，当直线的斜率为0时，.（1）求椭圆的方程；（2）若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；（3）求四边形的面积的最小值.解：（1）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴，，，即，在上，所以，解得：，，所以椭圆方程为；（2）由（1）F1-1,0，F2则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值2当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值3，所以的取值范围为（3）（i）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得，必有，设，，则，，；因为与相交于点，且的斜率为，所以.四边形的面积当时，上式取等号.（ii）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积6.综上，四边形的面积的最小值为.19.在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量.有四个平面，，，（1）若平面与平面互相垂直，求实数的值；（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；（3）若四个平面，，，围成的四面体的外接球体