机器人机构学基础 部分习题及答案（于靖军 ）

机器人机构老基砒

部分习题解答

第1章

绪论

1-1制作一个年表，记录工业机器人发展的主要事件。

略

1-2制作一个年表，记录并联机器人发展的主要事件。

略

1-3查阅文献，试回答连续体机器人与软体机器人有何区别。

答：连续体机器人是一种新型仿生机器人，它模仿自然界中象鼻、章鱼臂等动物器官的运动机理，自身不存

在运动关节,但能依靠连续柔性变形来实现运动和抓取操作。由于连续体机器人可在任意部位产生柔性变形,

所以具有很强的避障能力，能够更好地适应非结构环境、更牢靠地抓取各种不规则形状的物体。因此它是对

传统关节式机器人的补充,具有潜在的应用价值。

摘自：谢世鹏，倪风雷，王海荣,金明河.连续体机器人形状检测方法综述［J］.机械与电子,2015,(08):68-71.

软体机器人是机器人领域的一个热点，并被学术界视为一种最可能成为新一代机器人的发展方向，甚

至在工业领域的应用和对社会革命的影响都非常广泛。软体仿生机器人通常山软体材料制作，与环境交互

时，相比刚性机器人拥有更好的柔顺性和适应性。学者们正在进行相关的的研究，意在从根本上解决了机

械手与人和环境相互作用的问题，为解决复杂环境适应性差、灵活性差等提供了新的思路和方向。

摘自：褚凯梅，赵虎，冯凯，吴杰，朱银龙.软体仿生机器人研究现状口］.林业机械与木工设

备,2021,49(11):4-10+16.D0I:10.13279/j.cnki.fmwe.2021.0143.

查阅文献，试给出在机器人机构创新方面做出重要贡献的10个重要人物。

略

1-5查阅文献，试给出在机器人机构学理论方面做出重要贡献的10个重要人物.

略

1-6查阅文献，试给出目前能代表机器人水平的10个机器人产品。

略

1-7查阅文献，试给出目前能代表机器人机构学研究水平的10个实验室名称。

略

1-8”机器人三原则”由谁提出，具体内容如何表述？

答：该原则最早在阿西莫夫的《我，机器人》中提出，阿西莫夫为这本书新写了《引言》，而《引言》的小

标题就是《机器人学的三大法则》，把“机器人学三大法则”放在了最突出、最醒目的地位。而三大法则之

间的互相约束，为后世的创作有一•定的指导意义。

三大法则具体表述如下：

•机器人不能伤害人类，也不能在人类受到伤害时袖手旁观：

•机器人必须服从人类命令，除非这些命令与第一条原则相冲突：

•在不违背第一、.•条原则的前提下，机器人必须保护自己免受伤害。

第2章

数学知识

2-1证明所有经过坐标原点0的线矢量必然满足©=Q=代=0°

2-2计算经过点n(l,1,0)和点n(-1,1,2)的直线的Plucker坐标，并正则化该线矢量。

解.L-仆UZ)・c以叽G2,。，一

卷务「(邛”，―

故;:(T,0,专,冬与号)

2-3计算经过点r(l,|.0)且直线轴线的方向余弦为(-1,1,2)的直线Pliicker坐标，并正则化该线矢量。

『-八，‘一J-JT

，解.企划化7-前二卜了，£一

I二二点「”。)x1%主%二与空为

[戡不(与引引上孥,专)

2-4填空：补充空格的数值，使之表示一条直线(或线矢量)。

(1)(1,2,_;0,-1,-2)

(2)(2,0,2;0,_,0)

<3)(1,_,0;0,0,0)

(4)(1,_,0;0,0,1)

4解续欠量产+队(3关刈妙二0________

效I/5*0,2.0,0)

I1)—LLLA41/d/°J

…m。。/。山)

[M(。去0八0小

2-5确定以下两条直线之间公法线的长度与夹角。

(1)L,=(l,0,-l;0.1/s/2.0)*4=(0,0,1;〃,0,0)

1(2)L,=(-l,0.1;0,-l/>/2.C)»L,=(0,0,l;Z>,0,0)

2-6填空：补充空格的数值，使之表示一个满足特定节距的旋量。

(1)(1,0,0;_,0,0).h=l

(2)(1,0,0;1,_,0),h=\

(3)(l,O,O;l,_,O),u=io

(4)1,0,0),h=\

UJ「.Qj-L.o,。)

L

LMJI，。,。/I,QQ)

2-7证明旋量的节距是原点不变量。

2-8当旋量与其自身互为反旋量时称为自互易旋量(self-reciprocalscrew)。试证明自互易旋量有且只有线

矢量和偶量两种类型。

证明I4)痴性放量3若为目癌竭事阂生

一一$。4W)(5、D十(Y-Y)(Sx。_________

八)。八。

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［故物也"雁是自打瘫.

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2-9从射影几何的角度来看，偶量可看作是处于无穷远处的线矢量。试从极限的角度证明之。

2-10填空：补充空格的数值，使之表示一个单位旋量，并确定该旋量的节距和轴线坐标。

⑴(1/>/2,0,_;1,0,1)

⑵(3/55/2,4/572,_;0,-5/4,1)

故(H”心心4

雄微受口节距八：，£5

5由残，:JX上：O"7

却/迂川醍八二ss・R

的饭Y三结”卜凡。，

@(我0*,一；。,“9,〃

什M’川’I中，6m7A/，-/符A/；。

名iRV―)卡跖尔以・"〃夕

轴住r；bJ,:2力-2如加1

2-11试给出图2-12所示单位正方体中12条边所对应单位线矢量的旋量坐标表达，参考坐标系如图中所示。

2-12试给出单位正方体中12条边所对立单位偶量的旋量坐标表达，参考坐标系如图2-10所示。

2-13旋量系的互易性满足坐标系无关性(frameinvariant)。试证明：旋量系的互易积与坐标系的选择无关。

2-14旋量系的阶数满足坐标系无关性-frameinvariant)o试证明：旋量系的阶数与坐标系的选择无关。

第3章

福姿描述写就标扇一

一矢量p绕ZA轴旋转30。，然后绕小轴旋转45。，求按上述顺序旋转后得到的旋转矩阵。

答：

R=R（x,45）/?（z,30）

OO>/3

10

T~2

也

7-2]_

o2-2在0

22

72

一72

-2一

o2001

1.-

O.

V32

一.

2G

夜.

近-.

一

442.

&

-

V-2X/-6—

442

3-2物体坐标系｛即最初与惯性坐标系团｝重合，将坐标系｛阴绕Z8轴旋转30。，再绕新坐标系的总轴旋转

45。，求按上述顺序旋转后得到的旋转矩阵。

答：

cos（30）00

；R=sin（30）cos（45）-sin（45）

0sin（45）cos（45）

\

（43_V2四

一

cos（30）-sin（30）cos（45）sin（30卜in（45）,244

y/6_

=sin（30）cos（30）cos（45）-cos（30）sin（45）V46

2~

（）（）V2

sin45cos45,一

0也也2

HT

3-3在什么条件下，两个旋转矩阵可以交换顺序？

答：一般情况对于既有原点平移和姿态改变的变换是不满足交换律的，只有在特殊情况下如：绕同一

坐标轴进行连续旋转偏移，或者其中一个矩阵是单位矩阵时，旋转矩阵可以交换。

3-4如果旋转角度足够小，任意两个旋转矩阵是否可以交换？

答：可以，角度足够小时，结果与转动顺序无关。

3-5假设一个刚体内嵌有两个单位矢量，试证明，无论刚体如何旋转，两个矢隹的夹角保持不变。

答：设两向量为P,4,令旋转轴为z轴建立坐标系8,已知'P(a，"c)夕(d,ej),已知

坐标轴旋转角度为。，则

cos。一sin。0

sin。cos。0

00

此时“，夕夹角为

ad+be+cf

JY+ZZ+M++于z

A坐标系下八〃坐标为

cos6-sin。0acos。一bsin。

sin。cos。0asinO+bcosO

00

同理，,坐标为

dcos。一esin6

dsinO+ecos。

〃.q

adcos20+besin20+adsin20+becos2O+cf

J(acose-Dsind)'+(asine+Dcos，)'+c’+cos。一esind)'+(dsin6+ecosC)'十『

ad+be+cf

\la2+b2+c2+yjd2+e2+f2

由单位向量可知，单位向量点乘，结果为两向量p，q夹角余弦值，所以两矢量的夹角保持不变。

3-6证明任何旋转矩阵行列式的值恒等于1。

证：由题意，假设有两个坐标系A和B及其中的6个相互正交的单位向量月，以，之,莅,生,与，则由

定义可得

考虑到｛3｝系坐标轴的三个单位向量都满足相互正交、且模长为1,由此可以导出

/T\

A

:"R=$'（$5ZB）=IM

IvJ

两边同时取行列式可得

da（：R）=l

得证（姿态矩阵的行列式等于对应旋转矩阵的行列式值）

3-7证明KR-i和/?都是反对称矩阵°

证：以/?一尸一丫角为例

:R=（M居第

（鳄也

[dtdt=（@：x君以优x2；）=C恭R

根据欧拉旋转定理，假设绕左轴转过△0,当Aa足够小时，角度与旋转顺序无关，因此可矢量合成

\a=\axr+bay、,+baz一

d\a二-「

=coxx+a）yy+gz

则

0-co.叼

co.0一4

50

为反对称矩阵

则显然

:R：R"=Q；：R：R-=Q；

为反时称矩阵。而对于BR-IBR

:RT止fR-0：R=W。：:R

由其对称性可知其乘枳为反对称矩阵，也可计算验证得到。

3-8求解姿态矩阵A的特性：

（1）求解姿态矩阵R的特征值，并求与特征值为1对应的特征向量：

<2）令姿态矩阵4），试证明de1（K）=6Tyx/0；

R=«r2

（3）证明姿态矩阵R满足R〃=（周〃]

答：（1）使用z—y—z欧拉角表示旋转矩阵

c^cOaf/-s(f>si//-c(!)cOsi//-Me”岫夕

R=s(t)cOc\i/+一secOsW+s(j)s9

-sOcij/sOsi//c6

cfjfcOcif/-sfffsi//-a-c^cOsif/-s(/>cy/岫夕

|R-M=s(t)cOci//+一+cOw-as(f)sO

-sOcy/sOsy/cO-a

=(c(!)cGcif/-一〃)[(一s(t)c9s“+c0c〃-a^cO-a)-s6s〃s°s。]

一(一c0c6s»-s^cif/)^st/fcOcy/+c°s—)(c。-4)一(r及忆淞例]

+珈6[(,恸°。3+s6s--(-s°c6s-+c0w-s6c")]

=(c0c9c少-s(/)sy/-〃)(一c26sos材+c(/>cOci//-acO+acOs(/)si//-ac^cw+a2-s20si//s(ff^

+(c(/)cOsi{/+Me材)[。eWe犷+c(j>cGsi//+c〃//。)

+(岫6)[c0cy/si/fs0si(/+c(ffs0s2y/-纱㈤淞内。+c(j)c2\//s0\=0

观察上式为关于特征值。的3次方程，可以在复平面求出3个解析解。将其表示成关于3个转角的数学

通式太过复杂，实际问题中可以代入实际角度进行数值计算。

考虑其特征值1，利用R的性质

RRT=NR=I

.\det(/?)=det(/?-')=1

det(7?-/)

=det[(/?-7)r]

=det(/?f-7)

=det(/?-'-/)

=det

=det(/?',)det(Z-/?)

=det(/-/?)

=(-l)3det(/?-/)

=-det(/?-/)

/.det(7?-/)=0

所以R•定有特征值1,其对应特征向量同样可以在实际问题中通过数值计算求出

/

小%5

r

R二八222弓2

W3

del(R)=々以

4七")=(%rn

证毕

(3)略

3-9己知一刚体的齐次变换矩阵

'同2-1/202、

1/2G/204

r=

0010

1000L

试求解该变换的逆变换

答：

/、

TT

厂1_R-RtP

04x4

其中

1

20

6

R

2一0

001

因此可知

1

22

-1V3

T~2

00

解得

V31

2-o

2-

73

-212-O

oo

1

OO

O

3-10证明平面齐次变换矩阵(planarhomogenoustransformationmatrix)满足

>

'cosa-sina-xpcosa+»sina

D=sinacosayQ-ypsina-ypcosa

、001>

答：假设点P经过平移变换得到点8,点8经过旋转变换得到坐标系｛。｝

%=RPp+PBORG

其中

(cosa-sina

R=

\Sinacosa

/\z

xocosa-sma&-xpcosa+%sina、

=PQ—RPP=Q-.

(刈IosinacosayQ-xpsina-ypcosa,

则

'cosa一sin。x-xcosa+%sina'

'R^BORG_Qp

D=sinacosay-xsina-ycosa

01)QpP

<001>

3-11已知刚体绕z轴方向的轴线旋转30。，且轴线经过点(1,1,09，求物体坐标系｛8｝相对惯性坐标系｛川的

位形。

答：设惯性坐标系为A系，固联在刚体上的坐标系为B系，定义两个中间坐标系A'和8’,它们的

姿态分别与4、3系相同，它们的原点在(110)7，令A'系与A系固联，8'系与8系固联，则

0

22

cos30-sin30O')

sin30cos300g0

22

00

001

八匕以G=010),

则

3叫

［立_10

222

x/3i-G

0

222

0010

t0001)

此即为所求齐次变换矩阵。

3-12已知刚体绕x轴方向的轴线旋转30。，且轴线经过点(1,0,1),求物体坐标系｛3｝相对惯性坐标系仍｝

的齐次变换矩阵。

答：设惯性坐标系为A系，固联在刚体上的坐标系为8系，定义两个中间坐标系A,和3‘，它们的

姿态分别与力、8系相同，它们的原点在(1,0,1)「，令4,系与A系固联，5,系与B系固联，则

100

00、

抬=0cos30-sin30=0

~T~2

sin30cos30)

1x/3

0

2T

0

PA'ORG=(1炉

则

1000

x/3

0

2~22

.£

01---

222

0001

7

此即为所求齐次变换矩阵。

3-13已知一机㈱人末端T具中心点为次,求：经过机器人的一般运动变换（旋转R“、和平移）以后点

p的表达，并写出其逆变换矩阵表达。

答：已知旋转矩阵氏3,3和平移矩%03x1，则该变换的齐次变换矩阵为

T=I0

则运动变换后的点P表达式为

%P3xlp

P=TR=I01J°

逆变换的旋转矩阵

R=R'

M

逆变换的平移矩阵

P=-跖产一双3P3x1

故逆变换的齐次变换矩阵为

%

Ioi

3-14当前工业机器人领域经常要定义4种坐标系：惯性坐标系｛4｝、末端或工具坐标系｛7｝、图像坐标系｛C｝

和工件坐标系｛W｝,如图3-51所示。

图3-51工业机器人

(1)基于图中所给尺寸，试确定〃和次：

004、

(2)若7%0io。，试求7。

才

0010

、（）00"

rl00-P,0100、

0101c_1000

cT—

答：⑴，T=，7

0010WH1—00-12

W001?’000"

roio-1

A100-3

⑵"=

r00-12

(0001

3-15试证明三次绕固定坐标轴X-Y-Z旋转的最终姿态与以相反顺序三次绕运动坐标轴旋转的最终姿

态相同，即％（a,尸，/）=&、,（",a）。

答：绕固定轴（绝对变换，连续左乘），先X轴转a,再丫轴转夕，最后绕Z轴转7的旋转,

其旋转矩阵

cos6cos，sinasinpcosy-cosasinycosasin°cosy+sinasiny

R=R7\y)RY(a)Rx(a)cos/7sin/sinasin夕siny+cosacosycosasin夕siny-sinacosy

-sinpsinacos/cosacos/

绕自身轴（相对变换，连续右乘）

cos/-sin/0'|cos40sin/7-100

R=蹬醴皤=&。）4（夕）&（a）=sin/cos/00100cosa-sina

001J［一sin尸0cos夕0sinacosa

cospcos/sinasin/ycos/-cosasin/cosasinpcos/+sinasin/

cos夕sinysinasin夕siny+cosacosycosasinsin/—sinacosy

-sin/7sinacosycosacosy

可以看到二者是等价的。

3-16在描述空间刚体姿态的各种方法中，欧拉角描述被称为是一种局部参数的描述方法。以Z-X-Z欧拉角

为例，试证明当6=0时，姿态矩阵奇异。

答：注：题目有误，若按％七,（。0〃）旋转，当0=0时，姿态矩阵不可能奇异，故推测应为证

明6=0时，姿态矩阵奇异。

证明过程如下：

（1）当。=0时.

6（0）&（6）,W）

’100、<10（cw-si//0、

=0100cO--SG\s\f/ci//0

\001/\0sOc0z001

'0/7-SI//0、

=cOsi//cOcif/-sO

[s9swsOci/f皿

可以求出。和^的确定解，故姿态矩阵无奇异状态。

（2）当6=0时

必，厂（。招,〃）=凡（力凡,（0）凡心）

7放0、rl00、/W-si//0、

=C©0010sy/ci//0

\001z\001/X001z

'c/cw-S0S”-s0、

=sew+c（/>si//-s^sy/+c（j）cy/0

<°0ij

7（。+-）一S（0+〃）0、

=S0+夕）C（0+”）0

<001,

这是只能求出。与”的和，故姿态矩阵奇异。

3-17在欧拉角的定义中，连续旋转总是基于正交（坐标）轴来进行的，这种限制是否是必须的？

答：不是的，是为了方便计算，因为正交轴里各轴互不干涉。

3-18已知姿态矩阵

'同27/20、

R=6/43/4-1/2

1/475/4商2

/

求与之等效的z-x-z欧拉角。

答：由姿态矩阵

使10、

22

R=

V4-2

4~4~~

得

Z-Y-Z欧拉角：(sinOwO),两组解

2

fn2

0-Atan2+

a4'2

0：30

0=，夕£(0,7)=<。-90

W=120

W=Atan273J

4'4

0=Atan21

<9=-30

（/f=Atanli—,O

,。£（-肛0）=<0=90

V/=-60

（431]

W-Atan24q

Z-Y-X欧拉角：(cos/9^0),两组解

2

0=Atanl,1+

4'4

6>=-14.48

[V30

0=Atanl,。«0,4）=<0=26.57

”二26.57

代=As〃2庠

0=Atan2_1_㈤

4,2

0=—165.5

^=Atan2-,。£（-乃,0）=«=-153.4

.=-153.4

…2呼，一

3-19已知姿态矩阵

100、

R=0J3/2-1/2

&1/26/2,

求与之等效的R-P-Y角。

答：因为

0=卜勺，)=Atan2(0,J1+0)=00g

所以存在两组解。

1）第一组解

6=0

<(/>=Atan2[r2i+/;,)=Ar«z?2(0,1)=0

W=432（々,覆）二=30

2）第二组解

=4〃〃2(0,-VT73)=-180

肢二4〃九2(_0],_?；])=Atan2(0,-l)=-180

/1⑸

I//=Atan[-r^-r^=Atan—,----=-150

3-20已知姿态矩阵

求与之对应的等效轴•角及相应的欧拉参数。

答：直接代入

£。=5，1+41+々+金

可得其欧拉参数为:

1111

4=5,与=5'*2=5*3=一耳

因此该姿态矩阵的单位四元数为:

再将姿态矩阵代入式（4.133）和式（4.135）中，可得等效轴-角为:

3-21T&T（Tilt&Torsion）是加拿大学者Benev提出的一种描述刚体姿态的方法，它实质上是一种修正的

Z-KZ欧拉角。如果某类机构在运动过程中始终满足Torsion角为零，该机构称为零扭角机构（zero-

lorsionmechanism）。试通过查阅文献，找出3~5种零扭角机构的例子。

答：略

3-22试证明相似变换

&（。）=旦（0）&=R下3。一。）

答：已知姿态矩阵为正交矩阵，有

则可以得到

‘cos-“-sin一40、’cos。sin。0、

用（一。）=sin-°cos一00=一sin°cos^0

、001,【。o"

所以

叫晨或a—。）=凡（。）4（。）凡（一。）=R人力R、,（mR?S）

等式右边得证

由于

cOs帆0-S0C。gsG

仇7)=cOs（/）c（l）-5放刖cOs'^+c1^s（/）s0

-S0C(/f-sOs(!)C0

/

转换为等效转轴和转角为

,J2cos。

^=cosT'1+=cos-0-------

22

一2sin0sin。r-sin。、

2cos0sinecos©

2sin0

0<°>

即存在旦(e)使得等式左边得证.

综上

凡⑹=R阳R、S)WS)=

证毕

3-23若姿态矩阵

4%0、

R=Rl#22l\i

能用只具有两个参数的欧拉角来描述，即

'c0-S00、

R=sdc。cOc。-s。

c放)

试确定这两个欧拉角的取值范围？

答