电子科大随机信号分析CH1概率论基础1

电子科大随机信号分析CH1概率论基础电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]2024/12/26

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与同学们共勉电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]22024/12/26课程基础：《概率论》、《信号与系统》后续课程：《通信原理》及从事统计信号处理研究课程性质：专业基础课成绩考核：平时作业＋期中考试＋期末考试

课程简介电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]32024/12/26

参考书：1.《随机信号分析》赵淑清郑薇编哈工大出版社2.《随机过程》毛用才等编著西安电子科技大学出版社欢迎访问《随机信号与系统》课程网站38/wlxt/listcourse.asp?courseid=01593.《随机过程导论》

答疑时间与地点：时间：地点：科B楼232

电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]42024/12/26概率论基础

第一章概率论基础随机过程的基础理论

第二章随机信号

第三章平稳性与功率谱密度

第四章各态历经性与随机实验随机过程的应用

第五章随机信号与线性系统

第六章带通随机信号

本书内容安排：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]52024/12/26第1章概率论基础本章将复习与总结概率论的基本知识也扩充一些新知识点，比如：1)利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数，2)随机变量的条件数学期望3)特征函数4)瑞利与莱斯分布电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]62024/12/261.1概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3随机变量的函数1.4数字特征与条件数学期望1.5特征函数电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]72024/12/261.1概率公理与随机变量1.1.1概率公理1.概率

确定性现象：在一定条件下必然发生（或必然不发生）的现象。

随机现象：在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]82024/12/26

随机试验（RandomExperiment）：

对随机现象做出的观察与科学实验。E随机实验的特点：a.不唯一性b.不确定性c.可重复性

样本点（SamplePoint）把随机实验E的每一个基本可能结果称为随机实验的样本点，记为ξ

。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]92024/12/26随机实验的全部样本点构成的集合，称为随机实验的样本空间，记为Ω

样本空间（SampleSpace

）

随机事件（Random

Event）实验E中满足一定条件的样本点的集合称为随机事件,是Ω的子集。记为

A,B

,…每个样本点称为基本事件，样本空间Ω是必然事件，Ø是不可能事件。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]102024/12/26随机事件域

F：由样本空间的全体子集构成。

随机事件域（Random

EventField）域：一些集合组成的集合叫域。投一枚硬币3次，观察正反面出现的情况事件A：出现正面两次事件B：至少出现正面一次电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]112024/12/26

概率事件是随机的。赋予事件一个出现可能性的度量值，称为概率（Probability）。常由相对频率（Relativefrequency）来计算，

概率空间：(Ω

，F，P)构成的三元总体空间称为概率空间。（n很大）试验中A出现的次数总试验次数电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]122024/12/26归一性：可加性：若事件A、B互斥,即，则，非负性：任取事件A，

概率公理：任何事件A的概率满足：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]132024/12/26

事件概率的基本性质电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]142024/12/26例1.1分析掷均匀硬币问题。解：H---正面，T---反面。因此，（1）样本空间：

（2）事件域：（3）由硬币的均匀特性可得，，而且，

，

电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]152024/12/26例：掷一枚均匀的骰子，观察出现点数的随机实验E样本空间事件域电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]162024/12/262.

条件概率乘法公式：条件事件：条件概率（Conditionalprobability），链式法则：

电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]172024/12/26

事件独立其中：m

为整数，常由实际问题的意义判断事件的独立性事件A与B独立（Independent）等价地定义为多个事件彼此独立，电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]182024/12/261.1.2随机变量RandomVariable（R.V.）（1）定义若定义在样本空间Ω上的单值实函数，将基本可能实验结果ξi与实数xi对应起来，有如下函数关系：

则称为随机实验E中的随机变量，简记为X。1.随机变量定义：X

的取值范围称为值域或状态空间

R.V.一般用大写字母X,Y,Z,

电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]192024/12/26（2）类型：连续RV(C.R.V.)

：X

的取值连续，对应无穷多个样本点离散RV(D.R.V.

)

:X

的取值离散，状态可能有限或无限状态混合RV(M.R.V.

)

:X的取值离散或连续Ωξ1·ξ2·ξi·X(·)x2xix1样本空间随机变量随机变量值域…电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]202024/12/26

2.

随机变量的概率分布函数(累积分布函数)

ProbabilityDistributionFunction

定义即，F(x)是R.V.X.落在区间上的概率。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]212024/12/26

性质1)

F(x)是x的单调递增函数,即2)

F(x)非负，且3),必然事件，不可能事件电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]222024/12/264)

区间概率特性

对于D.R.V.电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]232024/12/26对于C.R.V.X取某值的概率为0即C.R.V.

落在某区间的概率与区间的开闭无关5)

F(x)

连续性电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]242024/12/266)

D.R.V.的F(x)

用单位阶跃函数表示电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]252024/12/263.随机变量的概率密度函数

ProbabilityDensityFunction

定义电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]262024/12/26性质2）：非负性

1）：3）：归一性4）：5）：D.R.V.电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]272024/12/26例1.4均匀骰子实验：定义R.V.X的取值为解：

是离散型的，分布律描述最为方便：状态概率或者采用列表电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]282024/12/26分布与密度函数，或电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]292024/12/261.2多维随机变量与条件随机变量1.2.1多维随机变量(随机向量)各R.V.之间可能有一定的关系,也可能没有关系——即相互独立Ωξ1·ξ2·ξi·X1(·)X2(·)…XK(·)X1(ξ)多维映射X2(ξ)XK(ξ)…

…X1X2XK…电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]302024/12/261.

二维随机变量(X,Y)及其分布

联合概率分布函数：

联合概率密度函数：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]312024/12/26

性质：，且F(x,y)是x或y的单调增函数电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]322024/12/26令：，有电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]332024/12/26电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]342024/12/266)

边缘分布边缘分布函数：边缘概率密度：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]352024/12/262.n维随机变量及其分布设有n维随机变量

n维（联合）分布函数为:

n维（联合）密度函数为：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]362024/12/26

高维概率密度可通过积分降低维数，设已知n维随机变量的n维联合概率密度，，有当m<n电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]372024/12/26例1.5

某电子系统有部件A1和A2,状态：normal与false，随机变量X1和X2：求：(1)系统工作情况的样本空间和随机向量(X1,X2)的联合状态空间

(2)

A1和A2

独立时，计算(X1,X2)的概率密度函数电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]382024/12/26X1和X2的联合状态空间解:(1)系统状况的样本空间电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]392024/12/26A1和A2

独立时，取值概率：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]402024/12/26的概率密度函数

作业：1.91.11电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]412024/12/261.随机变量与多维随机变量的条件事件1.2.2条件随机变量如：点条件电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]422024/12/262.

条件随机变量的概率分布、密度函数类似概率的乘法规则电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]432024/12/261.2.3独立性R.V.X1,X2,…,Xn

相互独立：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]442024/12/26例1.8

二维R.V.

求:(1)；(2)讨论X与Y之间的独立性。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]452024/12/26解:(1)

(2)

X

与Y

独立的充要条件：高斯R.V.之间，互不相关和统计独立等价电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]462024/12/261.3随机变量的函数1.3.1一元函数一元函数的概率特性：函数形如或构成从样本空间到实数域的复合映射，导致新的随机变量。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]472024/12/26定理1.1:已知R.V.X

的,现有R.V.

。设X与Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即，若反函数的导数h´(Y)

也存在，则B为Y的值域对于连续型随机变量，则有:电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]482024/12/26证：当X与Y之间是单调增时电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]492024/12/26当X与Y之间是单调减时电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]502024/12/26例：随机信号X是均匀分布的，其概率密度函数为，若，试求Y的概率密度函数。解：反函数为,反函数的导数为1/a电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]512024/12/261.3.2二元函数二元函数：其概率特性：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]522024/12/26更一般地：设已知二维随机变量(X,Y)的f(x,y)，现有且反函数的二阶偏导存在，则设函数映射是单调的反函数存在雅可比行列式电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]532024/12/26例1.13

求Z=X+Y

的密度函数解：定义辅助变量U

=

Y,则积分可得：如果X与Y独立：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]542024/12/26例1.15

复随机变量

，其实部与虚部独立，且，，讨论振幅R与相位Θ的概率特性。1.3.3瑞利与莱斯分布解：函数、反函数关系与雅可比行列式，，

电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]552024/12/26于是，边缘概率密度函数为：瑞利分布根据X与Y独立，有电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]562024/12/26均匀分布

结论：中，与独立。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]572024/12/260作业：1.160电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]582024/12/261.4数字特征与条件数学期望1.4.1R.V.X的数学期望（统计平均或集合平均）连续随机变量:离散随机变量:expectation,mean电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]592024/12/26基本性质：1）线性：2）若独立，则3）对于有，简洁书写形式：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]602024/12/261.4.2矩与联合矩k阶矩（Moment）与(k+r)阶联合矩（或混合矩）（Jointmoment）如下，

1)

绝对原点矩：

2)

原点矩：

3)

中心矩：

电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]612024/12/26

几个重要的矩(2)随机变量X的方差Variance

方差描述了R.V.偏离均值的程度(1)均方值连续随机变量:离散随机变量:电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]622024/12/26性质：协方差

随机变量的标准差:均方值电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]632024/12/26(3)相关矩relation记为：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]642024/12/26(4)

协方差矩Covariance记为：有：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]652024/12/26(5)

相关系数

的数值越大，随机变量和越相关，相关表示两个R.V.X

、Y

的线性关联程度

表示X和Y是线性相关的

表示X和Y是彼此无关的0<ρ≤1

，正相关－1≤ρ<0

，负相关电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]662024/12/26讨论：的关系三者都用于表示R.V.X

、Y

的关联程度包含均值、方差对关联程度的影响。包含离散程度对关联程度的影响消除了均值、方差对关联程度的影响，因而单纯地反映了R.V.X

、Y

的相关性电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]672024/12/261.4.3独立、无关、正交(1)无关或对于R.V.X,Y(2)

正交或不相关电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]682024/12/26独立无关正交任一随机变量均值为0正态分布除外(3)独立、无关、正交的关系

一般情况电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]692024/12/26高斯（正态）随机变量

无关独立零均值高斯（正态）随机变量独立正交无关作业：1.14电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]702024/12/261.4.4条件数学期望在一定条件下的数学期望，称为条件数学期望（或条件均值）。以二维为例，定义如下：对于离散型随机变量，是y的函数，及。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]712024/12/26如果该函数的自变量为R.V.Y,则E(X|Y)

是一个新的随机变量，进一步对它求平均有，全期望公式证明：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]722024/12/26基本性质：1)2)若独立，则3)或者电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]732024/12/26解：令顾客数为N，每人购买量为Xi

元（）

，Xi与N都是随机的，且彼此独立。则营业额为，于是例1.19

某小店平均每天有50名顾客，而每人平均购买10元的商品。问小店每天的平均营业额是多少？而，所以作业：1.24电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]742024/12/26定理1.2（切比雪夫不等式Chebyshevinequality）对任意,有1.4.5重要不等式例如，

而对于正态分布特例，实际上是99.74％。如果方差，则X集中在m一点上。因为对于任意小的ε，，即，。随机变量X=m

依概率1成立电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]752024/12/26定理1.3（柯西－许瓦兹不等式Cauchy-Schewarzinequality）设，，则E(XY)

存在，且实随机变量电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]762024/12/26随机变量的统计特性：概率特性矩特性特征函数（矩发生函数）1.5特征函数电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]772024/12/261.

基本概念定义1.2：

随机变量X的特征函数（Characteristicfunction）定义为

式中，为确定的实变量。1.5.1(一维)特征函数电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]782024/12/26

离散随机变量X

连续随机变量X电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]792024/12/26

特征函数与概率密度函数的关系（是一个特殊的变换对）可以通过傅立叶变换求特征函数与概率密度函数变换对定理1.5（唯一性定理）密度函数与特征函数相互唯一确定。

说明：特征函数必定存在，通常是复数，以另外一种方式全面地描述着随机变量的概率特性。电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]802024/12/26例1.21

求参数为的指数分布的特征函数。解：电子科大随机信号分析CH1概率论基础[1]8120