2021-2022学年安徽省合肥五十中东校九年级(上)期中数学试卷-(解析版)

2021-2022学年安徽省合肥五十中东校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向左平移4个单位，再向上平移1个单位所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣4 B．y＝﹣2（x+4）2﹣2 C．y＝﹣2x2+4 D．y＝﹣2x2+42．把二次函数y＝x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（）A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+13．对于二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．当x＝2时，y有最小值是3 C．对称轴是x＝2 D．顶点坐标是（﹣2，3）4．下列四组线段中，成比例线段的有（）A．1m、2m、3m、6dm B．2m、4m、9m、18cm C．1m、m、m、m D．1m、2m、3m、4m5．对于函数y＝（k＜0），下列说法错误的是（）A．它的图象分布在二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小6．在比例尺为1：2000000的地图上，相距5cm的两地，它们的实际距离为（）A．10km B．100km C．500km D．1000km7．若点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y28．已知在同一直角坐标系中二次函数y＝mx2+nx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣n的图象可能是（）A． B． C． D．9．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A． B． C． D．10．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为．12．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝（x＞0）、y＝（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k的值为．13．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为．14．已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．则该二次函数的对称轴是；当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知xyz≠0且，求k的值．16．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数图象的对称轴；（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．（1）求S与x之间的函数表达式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4，求AB的长．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）请你再写出两对相似三角形．20．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为，抛物线的顶点坐标为，可求这条抛物线的解析式为．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当取y＝﹣2时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为，解决了这个问题．六、（本题满分12分）21．如图，在直角坐标系中，点A（3，a）和点B是一次函数y＝x﹣2和反比例函数y＝图象的交点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．（2）利用图象，直接写出当x﹣2＞时x的取值范围．（3）C为线段AB上一点，且横坐标为正，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，当△BCD的面积最大时，则C点的坐标为．七、（本题满分12分）22．已知抛物线y1＝ax2+bx+c的顶点A是直线y2＝2x与y3＝﹣2x+4的交点，且经过直线y3＝﹣2x+4与y轴的交点B．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）写出当y1＞y3时x的取值范围．八、（本题满分14分）23．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的取值范围．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向左平移4个单位，再向上平移1个单位所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣4 B．y＝﹣2（x+4）2﹣2 C．y＝﹣2x2+4 D．y＝﹣2x2+4【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减解答．解：将抛物线y＝﹣2x2﹣3向左平移4个单位，再向上平移1个单位所得新抛物线的表达式为y＝﹣2（x+4）2﹣3+1，即y＝﹣2（x+4）2﹣2．故选：B．2．把二次函数y＝x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（）A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1【分析】利用配方法整理即可得解．解：y＝x2+4x﹣3＝x2+4x+4﹣7＝（x+2）2﹣7，故选：A．3．对于二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．当x＝2时，y有最小值是3 C．对称轴是x＝2 D．顶点坐标是（﹣2，3）【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．解：由y＝﹣（x+2）2+3得，开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），当x＝﹣2时，y有最大值是3，故选项A、B、C错误，选项D正确；故选：D．4．下列四组线段中，成比例线段的有（）A．1m、2m、3m、6dm B．2m、4m、9m、18cm C．1m、m、m、m D．1m、2m、3m、4m【分析】如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案．解：A、1×0.6≠2×3，故选项不符合题意；B、2×0.18≠4×9，故选项不符合题意；C、1×＝，故选项符合题意；D、1×4≠2×3，故选项不符合题意．故选：C．5．对于函数y＝（k＜0），下列说法错误的是（）A．它的图象分布在二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小【分析】根据反比例函y＝的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象既是轴对称图形又是中心对称图形进行判断即可．解：A、它的图象分布在二、四象限，说法正确，不符合题意；B、它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，不符合题意；C、当x＞0时，y的值随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；D、当x＜0时，y的值随x的增大而减大，说法错误，符合题意；故选：D．6．在比例尺为1：2000000的地图上，相距5cm的两地，它们的实际距离为（）A．10km B．100km C．500km D．1000km【分析】根据图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把cm换算成km即可．解：5÷＝10000000（cm），10000000cm＝100km．故选：B．7．若点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．解：∵反比例函数y＝中k＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵﹣3＜﹣1＜0，∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，∴y2＜y1＜0，∵3＞0，∴点C（3，y3）位于第一象限，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故选：B．8．已知在同一直角坐标系中二次函数y＝mx2+nx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣n的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出m＜0、n＞0、a＞0，由此即可得出＜0，﹣n＜0，即可得出一次函数y＝x﹣n的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．解：∵二次函数开口向下，∴m＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，n＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴a＞0，∴＜0，﹣n＜0，∴一次函数y＝x﹣n的图象经过二三四象限．故选：B．9．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵，∴＝，∴＝．故选：C．10．若无论x为何值，多项式mx2﹣2x﹣2的值恒为负，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＜﹣ C．﹣＜m＜0 D．0＜m＜【分析】设y＝mx2﹣2x﹣2，函数值恒为负，则抛物线开口向下，且抛物线与x轴没有交点，得出关于m的不等式组，求解即可得出m的取值范围．解：设y＝mx2﹣2x﹣2，∵函数值恒为负，∴，解得：m＜，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为0＜y≤3．【分析】求得x＝2时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到y的取值范围．解：∵反比例函数中，k＝6＞0，∴图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，∵当x＝2时，y＝3，∴当x≥2时，0＜y≤3．故答案：0＜y≤3．12．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝（x＞0）、y＝（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k的值为﹣1．【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到•|3|+•|k|＝2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．解：连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，∴S△ACB＝S△OCB，而S△OCB＝•|3|+•|k|，∴•|3|+•|k|＝2，而k＜0，∴k＝﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为．【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到＝，由于AD＝CD，则＝，然后利用EH∥AD，根据平行线分线段成比例定理得的值．解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，∵EH∥CD，∴＝，∵BE＝3EC，∴＝＝，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，∴＝，∵EH∥AD，∴＝＝．故答案为．14．已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．则该二次函数的对称轴是直线x＝a；当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为2或﹣6.5．【分析】把函数解析式化成顶点式即可求得对称轴，然后利用分类讨论的数学方法可以求得a的值．解：∵y＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，∴该二次函数的对称轴是直线x＝a，∵当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，∴当a＞4时，x＝4取得最小值，则﹣12＝（4﹣a）2﹣a2，解得，a＝3.5（舍去），当﹣1≤a≤4时，x＝a取得最小值，则﹣12＝（a﹣a）2﹣a2，解得，a＝2，当a＜﹣1时，x＝﹣1取得最小值，则﹣12＝（﹣1﹣a）2﹣a2，解得，a＝﹣6.5，故答案为：直线x＝a，2或﹣6.5．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知xyz≠0且，求k的值．【分析】分①当x+y+z≠0时，利用等比性质解答，②当x+y+z＝0时，用一个字母表示出另两个字母的和，然后求解即可．解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵＝＝＝k，∴k＝＝2，②当x+y+z＝0时，x+y＝﹣z，z+x＝﹣y，y+z＝﹣x，所以，k＝﹣1，综上所述，k＝2或﹣1．16．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数图象的对称轴；（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值．【分析】（1）由x＝﹣求得对称轴；（2）将对称轴的x值代入函数解析式求得函数的最小值，然后求出a的值；解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2．（2）当x＝2时，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2，∵最小值是7，∴3a﹣2＝7，解得：a＝3．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．（1）求S与x之间的函数表达式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．【分析】（1）根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式；（2）由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．解：（1）∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m．则S＝AB•BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x．即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．（2）由题意可知，，解得6≤x≤13．由（1）知，S＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196．∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为195m2．18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4，求AB的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．解：∵FE∥CD，∴＝，即＝，解得，AC＝，∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得，AB＝．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）请你再写出两对相似三角形．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）根据相似三角形的判定解决问题即可．【解答】（1）证明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM．∴△DMG∽△DBM，同法可证：△EMF∽△EAM．20．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为（12，0），抛物线的顶点坐标为（6，8），可求这条抛物线的解析式为y＝﹣x2+．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y＝﹣x2．当取y＝﹣2时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为6米，解决了这个问题．【分析】方法一：根据已知条件得到B（12，0），顶点（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，把B点的坐标代入解方程即可得到结论；方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（6，﹣8）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求y＝﹣2时x的值从而求出水面宽．解：方法一：A（0，0），B（12，0），顶点（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，把B点的坐标代入得，a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣6）2+8＝﹣x2+，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+．故答案为：（12，0）；（6，8）y＝﹣x2+x；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2，解得：x＝±3，即可求出此时拱桥内的水面宽度为6米．故答案为：y＝﹣x2；6米．六、（本题满分12分）21．如图，在直角坐标系中，点A（3，a）和点B是一次函数y＝x﹣2和反比例函数y＝图象的交点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．（2）利用图象，直接写出当x﹣2＞时x的取值范围．（3）C为线段AB上一点，且横坐标为正，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，当△BCD的面积最大时，则C点的坐标为（1，﹣1）．【分析】（1）由一次函数y＝x﹣2求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标；（2）根据图象即可求得；（3）设C（x，x﹣2）（x＞0），则D（x，），求得CD＝﹣x+2，由三角形面积公式可得S△BCD＝x•（﹣x+2）＝﹣（x﹣1）2+2，所以当x＝1时，△BCD的面积最大，此时，C的坐标为（1，﹣1）．解：（1）把A（3，a）代入y＝x﹣2可得，a＝1，即A（3，1），∴1＝，解得m＝3，∴反比例函数表达式为y＝，解，得或，∴B（﹣1，﹣3）；（2）由图象可得，当x﹣2＞时，﹣1＜x＜0或x＞3；（3）设C（x，x﹣2）（x＞0），则D（x，），∴CD＝﹣x+2，∴S△BCD＝x•（﹣x+2）＝﹣（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，△BCD的面积最大，此时，C的坐标为（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．七、（本题满分12分）22．已知抛物线y1＝ax2+bx+c的顶点A是直线y2＝2x与y3＝﹣2x+4的交点，且经过直线y3＝﹣2x+4与y轴的交点B．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）写出当y1＞y3时x的取值范围．【分析】（1）y2＝2x与y3＝﹣2x+4联立，组成方程组，解方程组即可求得；（2）根据待定系数法即可求得；（3）根据二次函数的性质，结合A、B的坐标即可求得．解：（1）解得，∴A（1，2）；（2）在直线y3＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，代入B（0，4）得，