初三数学培优之数形结合

初三数学培优之数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题；2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例1】设>-vx2+2x+2+vx2—4x+13,则y的最小值为.（罗马尼亚竞赛试题）qQ+11+T-11+4-2}+G-3},解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼.yqQ+11+T-11+4-2}+G-3},于是问题转化为：在x轴上求一点C（x,0）,使它到两点A（-1,1）和B（2,3）的距离之和（即CA+CB）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x厘米，面积是x平方厘米，这样的直角三角形（ ）A.不存在 B.至多1个C.有4个 D.有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式,若此关系式无解,则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解,则可推知这样的直角三角形存在,且根据解的个数,可确定此直角三角形的个数．

【例3】如图，在△ABC中，/A=90。,ZB=2ZC,/B的平分线交AC于D,AE±BC于E,111DF±BC于F.DF±BC于F.求证：BD•DFAE•BFAE•BE（湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形,待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件,分别计算出各个线段,利用代数法证明．【例4】当a在什么范围内取值时，方程上2-5x|二a有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数y=k2-5x|与函数j=a（a三0）图象有且只有相异两个交点.作出函数图象，由图象可直观地得a的取值范围.【例5】设4ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC为正三角形. （江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC三边长分别为a,b,c,对应边上的高分别为h,h,h,△ABC的面积abc2S2S 2S2S h——,一厂，由题意得a+hab+hc+hbc=b+h=c+hb c,为S,则易得三个内接正方形边长分别为一-a+ha2S2S 2S 2S即a+——=b+——=c+——=L.则Ua,b,c适合方程x+——=L.abc x

X2+xy+—=25,3【例6】设正数X,y,z满足方程组一二+z2=9 ，求xy+2yz+3z的值.3z2+zx+X2=16（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练.不查表可求得tan150的值为 .3</3 一.如图，点A,C都在函数y=——（X>0）的图象上，点B,D都在X轴上，且使得^OAB,△xBCD都是等边三角形，则点D的坐标为. （全国初中数学联赛试题）.平面直角坐标系上有点P（—1,—2）和点Q（4,2）,取点R（1,m），当m=时，PR+RQ有最小值..若a>0,b<0,要使|X—a|+|x—b|=a—b成立，x的取值范围是 ..已知AB是半径为1的。O的弦，AB的长为方程X2+X—1=0的正根，则NAOB的度数是 . （太原市竞赛试题）.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与X轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,…顶点依次用A1 , A2 , A3 , 次为2,4,6,8,…A.(13,13) B．(—A.(13,13) B．(—13,—13)D.(—14,一14)第2题图C.(14,14)第6题图.在△ABC中，/C=900,AC=3,BC=4.在△ABD中，/A=90。,AD=12.点C和点D分居ABDEm两侧，过点D且平行于AC的直线交CB的延长线于E.如果=—,其中，m,n是互质的正整数，DBn那么m+那么m+n=( )A.25 B.128C.153D.243E.256(美国数学统一考试题)a a+b.设a,b,c分别是△ABC的三边的长，且了=--——，则它的内角NA，/B的关系是( )ba+b+cA.NBA.NB>2NAB.NB=2NA C.NBV2NAD.不确定9.如图,9.如图,S“fg=5a，S^acg=4a,S=7a，则S=(ABFG AAEG27A.五aB.28—27A.五aB.28—a11C.29—a11D.30—a11.满足两条直角边边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个.如图，关于X的二次函数y=X2-2mx-m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(x2>0>x1),与y轴交于C点，且NBAC=NBCO.(1)求这个二次函数的解析式；(2)以点D(、Q，0)为圆心。D,与y轴相切于点0,过=抛物线上一点E(x3,t)(t>0,x3<0)作x轴的平行线与。D交于F,G两点，与抛物线交于另一点H.问是否存在实数t，使得EF+GH=CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由. (武汉市中考题)

.已知正数a,b,c,A,B,C满足a+A=b+B=c+C=k.求证：aB十bC+cA<k2..如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG=2,GF=13,FC=1,HI=7,求DE.（美国数学邀请赛试题）第13题图.射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC.//QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，.3cm为半径的圆与^ABC的边相切（切点在边上）.请写出t可以取的一切值：（单位：秒）.第14题图.如图，已知D是^ABC边AC上的一点，AD：DC=2：1,ZC=450，/ADB=60。.求证：AB是^BCD的外接圆的切线.（全国初中数学联赛试题）AA第15题图.如图，在△ABC中，作