专题04 圆的方程及圆的位置关系（14大考点知识串讲+热考题型+专题训练）（【含答案解析】）

专题04圆的方程及圆的位置关系知识点1圆的方程1、圆的标准方程（1）定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。（2）确定圆的基本要素是：圆心和半径（3）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为（4）几种特殊位置的圆的标准方程条件方程的标准形式圆心在原点圆过原点圆心在轴圆心在轴圆心在轴上且过原点圆心在轴上且过原点圆与轴相切圆与轴相切圆与两坐标轴都相切2、圆的一般方程（1）定义：当时，方程叫做圆的一般方程.其中为圆心，为半径.（2）圆的一般方程的形式特点：=1\*GB3①项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；=2\*GB3②不含项；=3\*GB3③（3）一般方程与标准方程关系：对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知：=1\*GB3①当时，方程只有实数解.它表示一个点.=2\*GB3②当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．=3\*GB3③当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.3、点和圆的位置关系圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆A上或点在圆A内或点在圆A外或4、轨迹与轨迹方程（1）轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.“轨迹”与“轨迹方程”有区别：=1\*GB3①“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；=2\*GB3②“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。2、坐标法求轨迹方程的步骤第一步建系：建立适当的平面直角坐标系；第二步设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标；第三步列式：列出关于的方程；第四步化简：把方程化为最简形式；第五步证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。知识点2直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系判断（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线与圆，圆心到直线的距离=1\*GB3①直线与圆相离无交点；=2\*GB3②直线与圆相切只有一个交点；=3\*GB3③直线与圆相交有两个交点.（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断：=1\*GB3①当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；=2\*GB3②当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；=3\*GB3③当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；2、直线与圆相交时的弦长求法：（1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；（3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长3、直线与圆相切时的切线问题（1）求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。=1\*GB3①若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；=2\*GB3②若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。（2）求过圆上一点的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程；若，则结课图形可直接写出切线方程；若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。法二：若不存在，验证是否成立；若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。（3）过圆外一点的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程；法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。知识点3圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系判断（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d与，的关系（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．消元，一元二次方程2、两圆的公切线（1）定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线；（2）两圆的位置关系与公切线的条数的关系位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线（3）两圆公切线方程的确定=1\*GB3①当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；=2\*GB3②当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。3、两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程；（2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程.考点1求圆的标准方程和一般方程【例1】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，圆心为，且经过坐标原点的圆的半径，所以所求圆的标准方程为.故选：D【变式1-1】（2023秋·吉林长春·高二校考期中）圆心在轴上，并且过点和的圆的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设圆心为，由可得，解得，所以，圆心为，圆的半径为，故所求圆的标准方程为.故选：D.【变式1-2】（2023秋·四川眉山·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆以为直径，所以圆心的坐标为，半径为，圆的标准方程为.故选：B.【变式1-3】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）若的三个顶点分别是，，，则的外接圆的标准方程为.【答案】【解析】设圆的方程为，因为的三个顶点分别是，，，所以，解得，所以圆的方程为，即.【变式1-4】（2023秋·四川遂宁·高二校考阶段练习）分别根据下列条件，求圆的方程：（1）过点，，且圆心在直线上；（2）过、、三点．【答案】（1）；（2）【解析】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，圆过点，，则有即，解得，可得圆心坐标为，圆的半径，所以圆的方程为.（2）设过、、三点的圆的方程为，则有，解得，故所求圆的方程为.考点2二元二次方程与圆的关系【例2】（2023秋·浙江·高二校考阶段练习）若，则方程表示的圆的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题意可知：，解之得，又，所以.故选：C【变式2-1】（2023秋·浙江台州·高二校考阶段练习）已知方程表示圆，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意得，，解得，故答案为：．【变式2-2】（2023秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题可知：，所以【变式2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若表示圆的一般方程，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为表示圆，所以，即，化简得，解得，故答案为：【变式2-4】（2023秋·广西河池·高二校联考阶段练习）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（）A．方程表示圆，且圆的半径为1时，B．当时，方程表示圆心为的圆C．当时，方程表示圆且圆的半径为D．当时，方程表示圆心为的圆【答案】ACD【解析】由题意，方程，可化为，若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径，中，当时，可得，所以正确；中，当时，此时半径为，所以错误；中，当时，表示的圆的半径为，所以正确；中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确；故选：ACD．考点3与圆有关的对称问题【例3】（2023秋·北京丰台·高二统考期中）已知圆关于直线对称，则实数（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】由题意可知，，且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去）或.故选：C【变式3-1】（2023秋·河北保定·高二校考阶段练习）若圆关于直线对称，则此圆的半径为．【答案】【解析】因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，得，得，所以，半径为．【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（）A．B．C．3D．9【答案】C【解析】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，则圆心坐标为（－，－1），半径为因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.故选：C．【变式3-3】（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）圆：关于直线对称的圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆：的圆心为，半径为2，设关于直线对称的对称点为，则，解得.关于直线对称的对称点为，圆：关于直线对称的圆的方程为.故选：D.【变式3-4】（2023秋·高二课时练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是【答案】【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，则线段的中点为，因为圆和圆关于直线对称，所以，所以直线的方程是，即.考点4与圆有关的轨迹问题【例4】（2023·全国·高二专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，即设，则，整理得故选：B．【变式4-1】（2022秋·内蒙古包头·高二统考期末）已知两点，.若动点M满足，则“”是“动点M的轨迹是圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】两点，，设，由，可得，整理得，当时，，故点为定点，不是圆，所以充分性不成立，当动点的轨迹是圆，则，故必要性成立，所以“”是“动点的轨迹是圆”的必要不充分条件.故选：B【变式4-2】（2023秋·高二课时练习）设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.【答案】(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和(点P在直线OM上的情况).【解析】设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，，从而.N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.直线方程为，由，得或，所以所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和(点P在直线OM上的情况).【变式4-3】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二校考阶段练习）已知的斜边为AB，且.求:（1）外接圆的一般方程;（2）直角边的中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，设圆心为，则，，故圆的方程为：即外接圆的一般方程为：.（2）设，由此解得：因为C为直角，所以代入解得：即配方得：，又因为三点不共线，所以综上：.【变式4-4】（2022·全国·高二专题练习）已知圆过三个点.（1）求圆的方程；（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设圆的方程为，因为圆过三个点，可得，解得，所以圆的方程为，即.（2）因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，联立方程组，解得或，所以点的轨迹方程为.考点5直线与圆的位置关系判断【例5】（2023秋·江苏南通·高二统考阶段练习）直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【答案】A【解析】圆的圆心，半径，又圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选：A【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【答案】C【解析】因为点在圆内，则，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离.故选：C【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）（多选）直线与圆的交点个数不可能为（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABD【解析】圆的圆心，半径，则点到直线的距离，因此直线与圆相交，它们有两个公共点，ABD不可能.故选：ABD【变式5-3】（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线与圆的位置关系为.【答案】相交【解析】由得，因为可得解得，所以直线过定点，又因为，可得在圆内，所以直线与圆总相交.【变式5-4】（2023秋·江西南昌·高二校考阶段练习）（多选）下列直线中，与圆：相切的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】圆的圆心为，半径为，选项A：点到直线的距离，故直线与圆相切，故A正确；选项B：点到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确；选项C：点到直线的距离，故直线与圆不相切，故C不正确；选项D：点到直线的距离.故直线与圆相切，故D正确；故选：ABD.考点6由直线与圆位置关系求参【例6】（2023秋·云南曲靖·高二校考阶段练习）若直线与圆相切，则等于【答案】【解析】联立直线方程与圆的方程得：，解得，因为直线与圆相切，所以，解得.【变式6-1】（2023秋·重庆·高二校联考期中）（多选）若过点的直线l与圆有公共点，则直线l的斜率可为（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，与无公共点，舍去，当直线l的斜率存在时，设过点的直线l的方程为，则圆的圆心到直线l的距离，解得.故选：BD.【变式6-2】（2023秋·天津·高二校考阶段练习）已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线可化为：，所以直线过定点，且斜率为.曲线可化为：，即该曲线为以为圆心，为半径的圆的右半部分，由图可知：当直线与圆相切于点时斜率的值最大，此时，解之得，解之得，由图分析可得.当直线与圆相交于点时斜率的值最小.，故选：D【变式6-3】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】曲线表示圆在x轴的上半部分，当直线与圆相切时，，解得，当点在直线上时，，可得,所以实数取值范围为.故选：A【变式6-4】（2023秋·浙江舟山·高二校考阶段练习）若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为2，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，所以，半径，过圆心作直线的垂线交圆分别于A、B两点，易知，当圆心C到的距离时可得，此时圆上恰有三个不同的点到直线l：的距离为2，满足题意，如图所示，可知到的距离为：.故选：A考点7求圆的切线方程【例7】（2023秋·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）过点作圆：的切线，切线的方程为．【答案】【解析】因为点在圆上，所以过点的切线与垂直，又因为，故切线的斜率，所以切线的方程为，即．【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的切线，则切线的方程为.【答案】【解析】圆的圆心，∵，则点在圆上，即点为切点，则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率，故切线的方程，即.故答案为：.【变式7-2】（2023秋·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程．【答案】或【解析】由已知圆心为，半径.，又，所以点在圆外，当直线斜率不存在时，直线的方程为.此时，圆心到直线的距离，所以直线是圆的切线；当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，整理可得，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以切线方程为：即，综上所述所求的切线方程为：或.【变式7-3】（2023秋·河北衡水·高二校考期中）在平面直角坐标系中，点，圆.（1）求的取值范围，并求出圆心坐标；（2）若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程.【答案】（1）的取值范围，圆心坐标为；（2），或.【解析】（1）由，因为该方程表示圆，所以有，因此的取值范围，圆心坐标为；（2）若圆的半径为1，则有，当过的切线不存在斜率时，方程为，此时，该方程无实根，不符合题意，当过的切线存在斜率时，设为，方程为，若圆的半径为1，则有，或，即，或，所以切线的方程为，或.【变式7-4】（2023秋·贵州·高二贵校联考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过点和．（1）求圆的标准方程；（2）若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因为圆的圆心在直线上，设，由可得，解得，可知圆心，半径，所以圆的标准方程为.（2）取圆关于x轴的对称的圆，即圆心，半径，可知直线与圆相切，若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意；所以直线的斜率存在，设为，则，即，则，整理得，解得或，所以直线的方程为或.考点8与切线长有关的问题【例8】（2023秋·天津·高二校考阶段练习）已知圆被直线截得的弦长为，若过点作圆的切线，则切线长为.【答案】【解析】圆，即，圆心，半径，圆心到直线的距离为，则，解得，到圆心的距离为，故切线长为.【变式8-1】（2022秋·江苏泰州·高二统考阶段练习）点在圆：上，，，则最小时，.【答案】4【解析】如图，由题意圆：的圆心，半径，当直线与圆相切时，即为切点时，最小，此时与轴平行，，.故答案为：4.【变式8-2】（2023秋·湖北荆州·高二校考阶段练习）已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】由题可知圆的圆心为，半径为，设，则，有，得，当时，.故选：C.【变式8-3】（2023秋·广东·高二校联考阶段练习）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为.【答案】/【解析】由圆知圆心，半径，因为与圆相切于点，所以，所以，所以越小，越小，当时，最小，因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6，此时，，，故的周长的最小值为.【变式8-4】（2023·全国·高二专题练习）过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时，.【答案】【解析】由题意可得，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，当取最小值时，则取得最小值，，此时，又为锐角，所以，所以，即当取最小值时，.考点9切点弦及其方程应用【例9】（2022秋·河南许昌·高二校考阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则．【答案】【解析】依题意，连结，记为的交点，因为与圆相切，所以，，，是的中点，因为，，所以，又，所以在中，，，故在中，，所以.【变式9-1】（2022秋·广西梧州·高二校考阶段练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线被圆截得弦的长度为．【答案】【解析】根据题意，设圆的圆心为，则，圆的半径为1，则，，则，解可得：，故答案为：【变式9-2】（2023秋·湖南长沙·高二校考阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为．【答案】【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为.故答案为：【变式9-3】（2023秋·全国·高二专题练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）A．B．3C．D．2【答案】A【解析】如下图所示，易知且垂直平分，所以，且，由勾股定理可得，所以，即取最小值时，取得最小值；易知为圆心到直线的距离，即，所以.故选：A【变式9-4】（2023·江苏·高二专题练习）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，连接，，根据题意，设为直线上的一点，则，由于为圆的切线，则有，，则点、在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为,，半径，则其方程为，变形可得，联立可得直线AB：，又由，则有AB：，变形可得，则有，解可得，故直线恒过定点.故选：B.考点10求直线与圆的的弦长【例10】（2023秋·云南红河·高二校考阶段练习）直线被圆所截得的弦长为.【答案】【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，所以所求弦长为.故答案为：【变式10-1】（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是．【答案】【解析】因为圆：，所以化为标准方程为：，所以圆心.又圆的弦被点平分，故，而直线斜率不存在，所以，由于过点，故直线的方程为：.【变式10-2】（2023秋·高二课前预习）（多选）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（）A．圆的圆心为B．圆被轴截得的弦长为8C．圆的半径为5D．圆被轴截得的弦长为6【答案】ABCD【解析】由圆的一般方程为，则圆，故圆心为，半径为，则AC正确；令，得或，弦长为6，故D正确；令，得或，弦长为8，故B正确.故选：ABCD.【变式10-3】（2023秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知动直线与圆.则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线变形为．令解得如图所示，故动直线恒过定点．而，设圆心到直线的距离为，则弦长为，故当最大时，弦长最小，而当垂直直线时，此时最大为，故弦长最小．最小值为．故选：C【变式10-4】（2023秋·安徽淮南·高二校考阶段练习）圆，过点作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圆，得圆心，半径，因为，所以点在圆内，所以经过点的直径是最长的弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦，如图所示，因为，所以由垂径定理得，所以四边形的面积为，故选：C考点11圆与圆的位置关系判断【例11】（2023秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．内含【答案】B【解析】由圆方程，得圆心为，半径，由圆方程，得圆心为，半径，则两圆的圆心距为，所以圆与圆外切，故选：B．【变式11-1】（2023秋·全国·高二专题练习）圆与圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【答案】C【解析】两圆化为标准形式，可得与圆，可知半径，，于是，而，故两圆相交，故选：.【变式11-2】（2023秋·高二课时练习）设圆，圆，则圆，的位置（）A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】D【解析】圆，化为，圆心为，半径为；圆，化为，圆心为，半径为；两圆心距离为：，，圆与外离，故选：D.【变式11-3】（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）已知圆，圆，其中，那么这两个圆的位罝关系不可能为（）A．外离B．外切C．内含D．内切【答案】C【解析】因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，，，又因为，所以，所以，即，故两圆的位置关系不可能为内含.故选：C.【变式11-4】（2023秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）（多选）下列圆中与圆：相切的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】变形为，圆心为，半径为，A选项，的圆心为，半径为3，故，由于，且，所以圆与不相切，A错误；B选项，的圆心为，半径为3，故，由于，故圆与外切，B正确；C选项，的圆心为，半径为5，故，由于，故圆与内切，C正确；D选项，的圆心为，半径为7，故，由于，故圆与内切，D正确；故选：BCD考点12由圆与圆的位置关系求参【例12】（2023秋·福建三明·高二校考阶段练习）（多选）圆与圆外切，则的值为（）A．B．C．2D．5【答案】AC【解析】圆的圆心为，半径长为3，圆的圆心为，半径长为2．依题意，即，解得或．故选：AC【变式12-1】（2023秋·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知圆，圆，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数.【答案】或0【解析】∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时，可得，当两圆外切时，可得，∴或0.故答案为：或0【变式12-2】（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知圆：上总存在两个点到原点的距离均为，则的取值范围是.【答案】【解析】依题意，到原点的距离均为的点的轨迹方程为圆，所以原问题可转化为圆与圆：有两个交点，又因为圆的圆心为，半径；圆的圆心，半径；所以可得，即，又，所以解得；即实数的取值范围是.【变式12-3】（2023秋·湖南·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆上任意一点关于原点的对称点都不在圆上，则的取值范围为．【答案】【解析】圆关于原点的对称圆为，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，，由已知得，圆与无公共点，所以或，所以或，解得或，又，所以．故答案为：.【变式12-4】（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设A的坐标为，PA的中点坐标为，则有：，解得：，又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点，所以，解得：，解得：，故选：B.考点13两圆的公共弦问题【例13】（2023秋·福建龙岩·高二校考阶段练习）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】联立，相减可得，故选:C【变式13-1】（2023·全国·高二专题练习）圆与圆相交于两点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由圆与圆，将两圆方程相减整理得直线的方程：，又，即，圆心为，半径为，所以到直线的距离为，所以.故选：B.【变式13-2】（2023秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则．【答案】【解析】因为圆与圆交于A，B两点，则两圆方程相减可得，即直线方程为，又因为直线AB的倾斜角为，则斜率，又因为，即，则，所以直线方程为，圆心到直线的距离为，所以.【变式13-3】（2023秋·辽宁大连·高二校考阶段练习）已知圆与圆得公共弦所在直线恒过定点，而且点在直线上，则的最小值是.【答案】2【解析】圆与圆相减，得公共弦所在直线为，故令且，解得，所以，将代入得，由于所以，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，故答案为：2【变式13-4】（2023秋·福建龙岩·高二校考阶段练习）已知圆，圆的圆心在直线上，且经过，两点.（1）求圆的方程.（2）求经过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设圆的方程为：，其圆心坐标为，依题意，，解得，所以圆的方程为:.（2）圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，即圆与圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：，直线的方程为，即，过圆与圆的交点的圆中面积最小的圆即是以圆与圆的公共弦为直径的圆，由，得所求圆的圆心为，又圆心到公共弦所在直线的距离为，因此所求圆的半径，所以所求圆的方程为.考点14两圆的公切线问题【例14】（2023·江苏·高二专题练习）圆与圆的公切线的条数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】圆的圆心坐标为，半径为5；圆的圆心坐标为，半径为3，所以两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条.故选：B.【变式14-1】（2023秋·陕西西安·高二校考阶段练习）若圆与圆恰有3条公切线，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为与恰有3条公切线，所以与外切，由、且半径分别为2、1，则，解得.故选：A【变式14-2】（2023·全国·高二专题练习）若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，所以，半径，由，所以，半径为，因为圆与圆恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，于是有，而，所以m的取值范围为，故选：A【变式14-3】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）圆与圆的公切线方程为．【答案】【解析】圆，即，得，所以故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，由得所以切点为，故公切线方程为．【变式14-4】（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）（多选）圆M：，圆N：，则两圆的一条公切线方程为（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由，则圆心为，半径为；由，则圆心为，半径为；所以，即两圆外离，故共有4条公切线，又关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线，与平行的两条公切线，如下图示，设过原点的公切线为，则，可得或，所以公切线为或，A对，B错；设与平行的公切线为，且与公切线距离都为1，则，即，所以公切线为，C对，D错.故选：AC1．（2023秋·河北石家庄·高二校考阶段练习）圆心为且过点的圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的半径为，所以圆的标准方程为.故选：A2．（2023秋·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意设圆心坐标为，因为圆与直线相切，则，且，解得，即圆心为，半径为，所以圆C的方程为，即．故选：D．3．（2023秋·河北·高二统考阶段练习）已知点在圆C：外，则实数a的取值范围为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由题意得，解得或.故选：C4．（2022秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）方程表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】D【解析】易得圆心，圆心在直线上，所以该圆关于直线对称.故选：D5．（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）为圆上任意一点，且点．则的最大值为（）A．5B．9C．8D．7【答案】D【解析】圆变形为，其圆心为，半径为，则的最大值为.故选：D6．（2023秋·福建龙岩·高二校考阶段练习）已知圆与圆相交，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆，即的圆心，半径3，，即的圆心，半径，圆心距等于，由两圆相交，得，即，解得.所以a的取值范围.故选：D.7．（2023秋·河南信阳·高二校考阶段练习）（多选）判断下列命题正确的是（）A．方程表示圆心为，半径为的圆B．若表示圆的一般方程，则的取值范围是C．已知直线和直线垂直，则实数