专题03 直线的相关概念及应用（12大考点知识串讲+热考题型+专题训练）

专题03直线的相关概念及应用知识点1直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的倾斜角（1）定义当直线与相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。（2）倾斜角的范围：。当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合.2、直线的斜率（1）定义倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．（2）特殊情况：=1\*GB3①当直线与轴平行或重合时，，；=2\*GB3②直线与轴垂直时，，不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在.3、直线的倾斜角与斜率之间的关系图示倾斜角（范围）斜率（范围）不存在直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，在和内分别与倾斜角变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．4、斜率公式：已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.知识点2两条直线的平行与垂直1、直线平行的条件类型斜率存在斜率不存在条件对应关系两直线斜率都不存在图示【注意】1、公式成立的前提条件是：①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.2、直线垂直的条件对应关系与的斜率都存在，分别为，则与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是图示【注意】1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.知识点3直线的方程1、直线的五种方程形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距，斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点，斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面内所有直线都适用2、直线的一般式方程与其他形式方程的互化3、一般式直线方程的平行与垂直（1）平行与垂直的充要条件：已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0）若若（2）一般式方程下平行和垂直的直线的设法平行：与直线垂直的直线方程可设为垂直：与直线垂直的直线方程可设为知识点4直线的交点坐标与距离公式1、两条直线的交点（1）点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点直线点在直线上直线与的交点是方程组的解是（2）直线的交点与方程的解求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。2、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．知识点5直线的距离公式1、两点间的距离公式（1）距离公式：平面内两点，间的距离公式为：.【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：（2）三种特殊距离：=1\*GB3①原点到任意一点的距离为；=2\*GB3②当平行于轴时，；=3\*GB3③当平行于轴时，.2、点到直线的距离（1）定义：点到直线的垂线段的长度.（2）距离公式：点到直线的距离.【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离；（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0.3、两条平行线间的距离（1）定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长。（2）距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等。（3）两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。知识点6直线中的对称问题1、点关于点的对称问题（1）实质：该点是两对称点连线段的中点（2）方法：利用中点坐标公式平面内点关于对称点坐标为，平面内点，关于点对称2、直线关于点的对称问题（1）实质：两直线平行（2）法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）3、点关于直线的对称问题（1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线（2）=1\*GB3①当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则=2\*GB3②当直线斜率不存在时：点关于的对称点为4、直线关于直线的对称问题（1）当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点第三步：利用两点式写出方程（2）当与l平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。考点1计算直线的倾斜角与斜率【例1】（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）直线经过两点，则的斜率为（）A．B．C．D．【变式1-1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知，若直线过点，则的倾斜角为（）A．B．C．D．【变式1-2】（2022秋·山东淄博·高二校联考阶段练习）直线经过两点，，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（）A．B．C．D．【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为．【变式1-4】（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【变式1-5】（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（）A．B．∪C．D．考点2由斜率解决三点共线问题【例2】（2023秋·高二课时练习）判断下列三点是否在同一条直线上：（1），，；（2），，.【变式2-1】（2023秋·广西南宁·高二校考开学考试）已知，，三点在同一条直线上，则实数m的值为．【变式2-2】（2023秋·高二课时练习）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值．【变式2-3】（2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习）已知，，若在线段上，则的最小值为（）A．B．C．D．考点3直线与线段有公共点问题【例3】（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（）A．B．C．或D．【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2022秋·重庆·高二校考期中）直线经过点和以，为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2023秋·山西晋城·高二校考阶段练习）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A．或B．或C．D．【变式3-4】（2023秋·高二课时练习）直线过点，且与以，为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围.考点4求直线的方程【例4】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（）A．B．C．D．【变式4-1】（2023秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）过点且在轴上的截距为3的直线方程是．（请写出一般式方程）【变式4-2】（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）（多选）直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）A．B．C．D．【变式4-3】（2023秋·湖北恩施·高二巴东一中校考阶段练习）已知三角形的三个顶点为，，，求：（1）BC所在直线的方程；（2）BC边上的中垂线的方程.【变式4-4】（2023秋·河北保定·高二校联考阶段练习）已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求直线的方程.考点5根据方程判断直线的图象【例5】（2022·全国·高二专题练习）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（）A．B．C．D．【变式5-1】（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）若直线经过第一、二、三象限，则（）A．，B．，C．，D．，【变式5-2】（2023秋·江苏连云港·高二校考开学考试）如果，，那么直线不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式5-3】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）如果，那么直线不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式5-4】（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（）A．B．C．D．【变式5-5】（2022秋·四川凉山·高二校考阶段练习）已知直线经过第一、二、四三个象限，则（）A．若，则，B．若，则，C．若，则，D．若，则，考点6直线与坐标围成面积问题【例6】（2023秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为．【变式6-1】（2023秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023秋·辽宁丹东·高二校考阶段练习）已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（）A．B．C．D．【变式6-3】（2022秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：（1）直线的斜率为；（2）直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为.【变式6-4】（2022秋·天津宁河·高二校考阶段练习）设直线l的方程为（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.（3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.考点7两条直线平行及应用【例7】（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）（多选）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A．若，则它们的斜率相等B．若与的斜率相等，则C．若，则它们的倾斜角相等D．若与的倾斜角相等，则【变式7-1】（2022秋·天津·高二校考阶段练习）若直线与直线平行，则a＝（）A．B．或0C．0D．-2【变式7-2】（2022秋·河南驻马店·高二校考阶段练习）下列直线与直线x-y-1=0平行的是（）A．x+y-1=0B．x-y+1=0C．ax-ay-a=0（a≠0）D．x-y+1=0或ax-ay-a=0（a≠0）【变式7-3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（）A．B．C．或D．【变式7-4】（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）若直线过点且与平行，则直线的一般方程为.考点8两条直线垂直及应用【例8】（2023秋·宁夏·高二校考阶段练习）（多选）下列直线中，与垂直的是（）A．B．C．D．【变式8-1】（2022秋·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（）A．B．C．D．【变式8-2】（2022秋·福建莆田·高二校考期中）若两直线与互相垂直，则实数的值为（）A．B．3C．D．【变式8-3】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（）A．B．C．D．【变式8-4】（2023秋·四川乐山·高二校考阶段练习）经过点，且与直线垂直的直线的方程是.考点9两条直线相交问题【例9】（2022秋·天津滨海新·高二校考阶段练习）直线，直线，则与的交点坐标为（）A．B．C．D．【变式9-1】（2022秋·江西赣州·高二校考阶段练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（）A．或B．C．D．【变式9-2】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【变式9-3】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（）A．或B．或C．或D．且【变式9-4】（2023·全国·高二专题练习）若关于、的方程组无解，则实数【变式9-5】（2023·全国·高二专题练习）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是.考点10三条直线相交问题【例10】（2022秋·天津·高二校考阶段练习）直线和交于一点，则m的值为.【变式10-1】（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）（多选）若三条直线，，交于一点，则a的值为（）A．B．3C．1D．2【变式10-2】（2022秋·山东聊城·高二校考阶段练习）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（）A．B．1C．D．【变式10-3】（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知a为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则a的值为．【变式10-4】（2023秋·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知三条直线不能构成三角形，则实数的取值可以是（）A．B．C．D．2【变式10-5】（2023·全国·高二专题练习）已知三条直线，，.（1）若直线，，交于一点，求实数的值；（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.考点11直线中的距离问题【例11】（2023秋·宁夏·高二校考阶段练习）已知点，且两点的距离为5，则（）A．0B．8C．0或8D．4【变式11-1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）当直线与原点的距离最大时，实数（）A．3B．4C．5D．6【变式11-2】（2023·河北沧州·高二校考阶段练习）若，求的面积为（）A．28B．14C．56D．20【变式11-3】（2022秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A．1B．C．3D．4【变式11-4】（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）（多选）已知点P在直线上，且点P到直线的距离为，则m的值可能是（）A．B．10C．5D．0考点12直线中的对称问题【例12】（2023·全国·高二专题练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（）A．B．C．D．【变式12-1】（2023秋·山西大同·高二校考阶段练习）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（）A．B．C．D．2【变式12-2】（2022秋·全国·高二期中）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（）A．B．0C．D．【变式12-3】（2023·全国·高二专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【变式12-4】（2022·高二课时练习）已知直线，点．（1）求点关于直线的对称点；（2）求直线，关于点的对称直线的方程．【变式12-5】（2023秋·高二课时练习）已知点的坐标为，直线的方程为，求：（1）点关于直线的对称点的坐标；（2）直线关于点的对称直线的方程．1．（2022秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）若直线过两点，则直线的一般式方程是（）A．B．C．D．3．（2023秋·河北沧州·高二校考阶段练习）两条平行直线：与：之间的距离是（）A．0B．C．1D．4．（2023·全国·高二专题练习）直线不过第二象限，则的取值范围为（）A．B．C．D．5．（2023秋·河南开封·高二校联考阶段练习）过点且平行于直线的直