2024年秋学期新和县二中高三数学上学期9月考试卷附答案解析

年秋学期新和县二中高三数学上学期9月考试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，6}，B＝{2，4，5}，则A∩（∁UB）＝（）A．{1，2} B．{2，6} C．{1，6} D．{1，2，6}2．（5分）点M的极坐标为，则点M的直角坐标为（）A． B． C． D．3．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x||x﹣1|≥2}，则A∩（∁RB）＝（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，3） C．（﹣2，3] D．（﹣1，2]4．（5分）已知命题p：负数的平方还是负数，命题q：三角形的两边之和小于第三边，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．￢p∧q D．￢p∧￢q5．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c6．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．f（x）＝x3+3x2 B．f（x）＝2x+2﹣x C．f（x）＝xsinx D．f（x）＝ln7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．f（﹣）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝08．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2，已知f（x）＝﹣1，则函数y＝3[f（x）]﹣2[f（﹣x）]的值域为（）A．{﹣3，0，2} B．{﹣1，2} C．{﹣3，0，﹣2} D．{﹣2，0，3}9．（5分）若函数f（x）＝alnx﹣ex有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e，+∞） B．（1，e） C．（1，+∞） D．（0，+∞）10．（5分）关于函数f（x）＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）的值域为[﹣1，2]；②f（x）在[0，]上单调递减；③f（x）的图象关于直线x＝对称；④f（x）的最小正周期为π．上述结论中，不正确命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（5分）若函数f（x）与g（x）＝xcosx﹣sinx的图象关于y轴对称，则函数f（x）的部分图象大致为（）A． B． C． D．12．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），ax＞x2+4成立”的否定为．14．（5分）在极坐标系中，有点，则A，B两点间的距离为．15．（5分）下列说法中，正确的是．①任取x∈R，均有3x＞2x；②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；③y＝（）﹣x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称．16．（5分）已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|y＝}（1）求（∁RA）∩B；（2）若集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，且C⊆A，求a的取值范围．18．（12分）f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．19．（12分）已知曲线C：f（x）＝x3﹣x．（1）试求曲线C在点（1，f（1））处的切线方程；（2）试求与直线y＝5x+3平行的曲线C的切线方程．20．（12分）函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的定义域；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+logax（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+loga2．（1）求实数a的值；（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．22．（12分）直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的线段长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，6}，B＝{2，4，5}，则A∩（∁UB）＝（）A．{1，2} B．{2，6} C．{1，6} D．{1，2，6}【分析】利用集合补集与交集的定义求解即可．【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，6}，B＝{2，4，5}，所以∁UB＝{1，3，6}，故A∩（∁UB）＝{1，6}．故选：C．2．（5分）点M的极坐标为，则点M的直角坐标为（）A． B． C． D．【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，可求出点的直角坐标．【解答】解：．，极坐标是，化为直角坐标是（﹣5，5），故选：B．3．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x||x﹣1|≥2}，则A∩（∁RB）＝（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，3） C．（﹣2，3] D．（﹣1，2]【分析】求解一元二次不等式化简A，求解绝对值的不等式化简B，再由补集与交集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，得﹣1≤x≤2，∴A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，由|x﹣1|≥2，得x﹣1≤﹣2或x﹣1≥2，解得x≤﹣1或x≥3．∴B＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，则∁RB＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩（∁RB）＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，2]．故选：D．4．（5分）已知命题p：负数的平方还是负数，命题q：三角形的两边之和小于第三边，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】先判断命题p和命题q的真假，然后利用复合命题真假的判断法则进行分析求解即可．【解答】解：命题p：负数的平方还是负数，比如x＝﹣1，但x2＝1，故命题p为假命题，命题q：三角形的两边之和小于第三边，根据三角形成立的条件可知，命题q为假命题，故p∧q为假命题，p∨q为假命题，￢p∧q为假命题，￢p∧￢q为真命题，故选：D．5．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】可得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵，，∴a＜c＜b．故选：C．6．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．f（x）＝x3+3x2 B．f（x）＝2x+2﹣x C．f（x）＝xsinx D．f（x）＝ln【分析】举例说明A不是奇函数，利用定义证明B，C为偶函数，D为奇函数．【解答】解：对于A，∵f（﹣1）＝2，f（1）＝4，f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数不是奇函数；对于B，函数定义域为R，f（﹣x）＝2﹣x+2﹣（﹣x）＝2x+2﹣x＝f（x），∴函数为偶函数；对于C，函数定义域为R，f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），∴函数为偶函数；对于D，由＞0，得﹣3＜x＜3，函数定义域为（﹣3，3），而f（﹣x）＝，∴函数为奇函数．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．f（﹣）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0【分析】根据f（x+2）为偶函数，可得f（x+4）＝f（﹣x），f（2x+1）为奇函数，可得f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1），即可判断选项．【解答】解：由题意，f（x+2）为偶函数，可得f（x+4）＝f（﹣x），f（2x+1）为奇函数，可得f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1），令F（x）＝f（2x+1）为奇函数，可得F（0）＝f（1）＝0，∴f（﹣1）＝﹣f（3）＝﹣f（1）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x+2），∴f（x+4）＝﹣f（x+2），易知f（x）的周期T＝4，其他选项的值不一定等于0．即f（﹣1）＝0，故选：B．8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2，已知f（x）＝﹣1，则函数y＝3[f（x）]﹣2[f（﹣x）]的值域为（）A．{﹣3，0，2} B．{﹣1，2} C．{﹣3，0，﹣2} D．{﹣2，0，3}【分析】先化简函数f（x）的解析式，分别求出f（x）和f（﹣x）的值域，可得函数y＝3[f（x）]﹣2[f（﹣x）]的值域．【解答】解：∵f（x）＝﹣1＝﹣1＝2﹣﹣1＝1﹣是R上的增函数，故f（x）的值域为（﹣1，1），故[f（x）]＝{﹣1，0}，3[f（x）]＝{﹣3，0}．由于f（﹣x）＝1﹣是R上的减函数，故f（﹣x）的值域为（﹣1，1），故[f（﹣x）]＝{﹣1，0}，2[f（﹣x）]＝{﹣2，0}，且当3[f（x）]＝﹣3时，2[f（﹣x）]＝0，∴函数y＝3[f（x）]﹣2[f（﹣x）]的值域为{﹣3，0，2}，故选：A．9．（5分）若函数f（x）＝alnx﹣ex有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e，+∞） B．（1，e） C．（1，+∞） D．（0，+∞）【分析】先求出导函数f'（x），再对a的值分情况讨论，利用数形结合的方法即可求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝alnx﹣ex，x∈（0，+∞），∴f'（x）＝，①当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值点，②当a＞0时，根据y＝与y＝ex的图象，如图所示：，设两个函数在第一象限的交点的横坐标为x0，当x∈（0，x0）时，，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（x0，+∞）上单调递减，所以当a＞0时，函数f（x）有一个极大值点，故选：D．10．（5分）关于函数f（x）＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）的值域为[﹣1，2]；②f（x）在[0，]上单调递减；③f（x）的图象关于直线x＝对称；④f（x）的最小正周期为π．上述结论中，不正确命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①化简得f（x）＝|cosx|+2|cos2x|﹣1，令t＝|cosx|（0≤t≤1），利用二次函数的性质可求得f（x）的值域，可判断①的正误；②由①知g（t）在[0，1]上单调递增，当x∈[0，]时，t＝|cosx|＝cosx单调递减，由复合函数的单调性可判断②的正误；③分析得f（﹣x）≠f（x），可判断③的正误；④利用余弦函数的性质可得f（π+x）＝f（x），再利用周期函数的定义可判断④的正误．【解答】解：①∵f（x）＝|cosx|+cos|2x|＝|cosx|+cos2x＝|cosx|+2|cos2x|﹣1，令t＝|cosx|（0≤t≤1），则f（x）＝|cosx|+2cos2x﹣1＝2t2+t﹣1，令g（t）＝2t2+t﹣1，其对称轴方程为t＝﹣，则g（t）在[0，1]上单调递增，∴g（t）∈[g（0），g（1）]＝[﹣1，2]，即f（x）的值域为[﹣1，2]，故①正确；②由①知g（t）在[0，1]上单调递增，当x∈[0，]时，t＝|cosx|＝cosx单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在[0，]上单调递减，故②正确；③因为f（﹣x）＝|cos（﹣x）|+cos|2（﹣x）|＝|sinx|+|cos2x|≠f（x），所以f（x）的图象不关于直线x＝对称，故③错误；④f（π+x）＝|cos（π+x）|+cos|2（π+x）|＝|cosx|+cos|2x|＝f（x），f（x）的最小正周期为π，故④正确，综上所述，上述结论中，不正确命题的个数有1个，故选：A．11．（5分）若函数f（x）与g（x）＝xcosx﹣sinx的图象关于y轴对称，则函数f（x）的部分图象大致为（）A． B． C． D．【分析】根据对称性求出函数f（x）的解析式，利用奇偶性，对称性以及单调性进行判断即可．【解答】解：g（x）＝xcosx﹣sinx的图象关于y轴对称的函数为y＝﹣xcos（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣xcosx+sinx，即f（x）＝﹣xcosx+sinx，则f（﹣x）＝xcos（﹣x）+sin（﹣x）＝xcosx﹣sinx＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称．排除A，当x＝1时，f（1）＝﹣cos1+sin1＞0，排除D，f′（x）＝cosx﹣（cosx﹣sinx）＝sinx，当0＜x＜π时，f′（x）＞0此时函数为增函数，排除C，故选：B．12．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣53）＝，两边取对数有﹣0.23（t*﹣53）＝﹣ln19，解得t*≈66，故选：C．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），ax＞x2+4成立”的否定为∀x∈（0，+∞），ax≤x2+4．【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到答案．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题，可得命题“∃x∈（0，+∞），ax＞x2+4成立”的否定为∀x∈（0，+∞），ax≤x2+4．故答案为：∀x∈（0，+∞），ax≤x2+4．14．（5分）在极坐标系中，有点，则A，B两点间的距离为．【分析】首先把极坐标转换为直角坐标，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果．【解答】解：点，根据转换为直角坐标为，N（），所以|MN|＝．故答案为：．15．（5分）下列说法中，正确的是④⑤．①任取x∈R，均有3x＞2x；②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；③y＝（）﹣x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称．【分析】①，举例说明，如3﹣1＜2﹣1，可判断①；②，举例说明，如（0.1）3＜（0.1）2，可判断②；③，利用指数函数的单调性可判断y＝（）﹣x是减函数；④，由y＝2|x|≥1可判断④；⑤，利用指数函数的性质，可判断⑤．【解答】解：对于①，任取x∈R，均有3x＞2x，错误，如3﹣1＜2﹣1，故①错误；对于②，当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；错误，如（0.1）3＜（0.1）2，故②错误；对于③，y＝（）﹣x＝是减函数，故③错误；对于④，y＝2|x|的≤20＝1，即y的最小值为1，故④正确；对于⑤，在同一坐标系中，y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，显然正确．故答案为：④⑤．16．（5分）已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于1．【分析】由f（x+1）＝f（x﹣1）可判断f（x）的周期为2，再由偶函数性质可化为f），代入已知表达式求出即可．【解答】解：由f（x+1）＝f（x﹣1），得f（x+2）＝f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，又f（x）为偶函数，∴＝f（﹣log35）＝f（log35）＝＝＝，故答案为：1．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|y＝}（1）求（∁RA）∩B；（2）若集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，且C⊆A，求a的取值范围．【分析】（1）求解集合B，根据集合的基本运算即可求求（∁RA）∩B．（2）根据C⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，∴∁RA＝{x|﹣2≥x或x≥0}，集合B＝{x|y＝}＝{x|x≥﹣1}故得（∁RA）∩B＝{x|﹣2≥x或x≥0}∩{x|x≥﹣1}＝{x|x≥0}．（2）集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，∵C⊆A当集合C＝∅时，满足题意，此时2a+1≤a，解得：a≤﹣1．当集合C≠∅时，要题意成立，需要满足，解得：综上，可得实数a的取值范围是．18．（12分）f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．【分析】（1）判断函数奇偶性时，先判断定义域是否关于原点对称，再根据定义若f（﹣x）＝f（x），则函数为偶函数，若f（﹣x）＝﹣f（x），则函数为奇函数；（2）用定义证明函数的单调性分四步：设自变量x1，x2∈D，x1＜x2﹣﹣作差f（x1）﹣f（x2）﹣﹣与0比较大小﹣﹣做判断．若f（x1）＜f（x2），则f（x）在D上为增函数；若f（x1）＞f（x2），则f（x）在D上为减函数．【解答】解：（1）函数f（x）是奇函数．∵函数的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．（12分）已知曲线C：f（x）＝x3﹣x．（1）试求曲线C在点（1，f（1））处的切线方程；（2）试求与直线y＝5x+3平行的曲线C的切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）利用切线的平行线，求出切点坐标，然后求解切线方程．【解答】（10分）解：（1）∵f（x）＝x3﹣x，∴f（1）＝0，求导数得f'（x）＝3x2﹣1，∴切线的斜率为k＝f'（1）＝2，∴所求切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．（2）设与直线y＝5x+3平行的切线的切点为（x0，y0），则切线的斜率为，解得，代入曲线方程f（x）＝x3﹣x得切点为或，∴所求切线方程为或，即或．20．（12分）函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的定义域；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可得，3﹣2x＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域（2）假设存在满足条件的a，由a＞0且a≠1可知函数t＝3﹣ax为单调递减的函数，则由复合函数的单调性可知，y＝logat在定义域上单调递增，且t＝3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立，f（1）＝1，从而可求a的范围【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝log2（3﹣2x）∴3﹣2x＞0解得即函数f（x）的定义域（﹣）（2）假设存在满足条件的a，∵a＞0且a≠1，令t＝3﹣ax，则t＝3﹣ax为单调递减的函数由复合函数的单调性可知，y＝logat在定义域上单调递增，且t＝3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立∴a＞1且由题可得f（1）＝1，3﹣2a