高等电磁波理论 课件 第5、6章 导波与谐振、电磁散射

第五章导波与谐振

5.1均匀波导理论浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》12波导器件如何求解与分析波导模式？微波同轴线光纤集成光波导3均匀波导理论zxyε,μΩΓ任意截面形状的均匀波导沿z

方向传播的电磁波：kz

：z

方向的传播常数代入麦克斯韦方程色散关系分离纵向场和横向场4均匀波导理论（2）zxyε,μΩΓ任意截面形状的均匀波导两边叉乘右边代入整理Et类似地横向场可由纵向场求得色散关系5均匀波导理论（3）zxyε,μΩΓ任意截面形状的均匀波导两边取旋度矢量运算均匀填充波导Ez

模和Hz

模独立存在TMmodes:Ez≠0,Hz=0TEmodes:Ez

=0,Hz

≠0

模式求解方程6均匀填充金属壁波导zxyε,μΩΓ均匀填充亥姆霍兹方程PEC壁TM模式求解TE模式求解传播常数行波截止衰减截止频率相速度群速度7TEM模式zxyε,μΩΓ均匀填充PEC壁Ez=0,Hz=0均匀填充金属壁波导是否存在TEM模式？ΩΓ磁荷不存在磁场线闭合任意形状截面麦克斯韦方程积分形式≠0Ez≠00z方向电场不能为0闭合路径积分不为0均匀填充金属壁波导不支持TEM模式8金属矩形波导xyzε,μabTE模式（Ez=0）分离变量法通解代入边界条件得到kx、ky导波条件代入求得横向E、H场9金属矩形波导（2）xyzε,μabTEmn

模式场分布（Ez=0）导波条件：xy平面驻波分布z向平面波传输TE00

模不存在10金属矩形波导（3）xyzε,μabTMmn

模式场分布（Hz=0）导波条件：xy平面驻波分布z向平面波传输TM00,TM0n,TMm0模不存在类似地，得到11部分填充波导xyze2,m2abe1,m1h波导截面填充不同的介质模式求解方程留下z

分量等式与空间坐标有关无法利用舍去出现混合模式TEz

模和

TMz

模仅少量特殊情况可分离一般情况下为混合模式（同时含Ez和Hz）Ez与Hz

模的耦合是由填充材料的空间非均匀带来

在截止频率（kt=0），混合模式退化为TEz

和TMz

模式非均匀填充金属壁波导第五章导波与谐振

5.2模式正交性浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》1213格林定理高斯定理代入利用矢量恒等式第一标量格林定理第二标量格林定理交换a、b

顺序第一矢量格林定理类似地，利用高斯定理和变量替换第二矢量格林定理14zxyε,μΩΓ任意截面形状的均匀波导00当考虑i、j两个TM模式第二标量格林定理（二维形式）代入模式正交性15zxyε,μΩΓ任意截面形状的均匀波导考虑i、j两个TM模式代入第一标量格林定理（二维）（前一页结论）模式正交性（2）16模式正交性（3）TM

模式正交（Hz=0）TE

模式正交（Ez=0）TM、TE

模式相互正交横向场可由纵向场求得潜在原理：格林定理中，等式右侧边界处模场趋于0，从而左侧模场重叠积分也为017波导界面模式分析波导2波导1不连续界面（z=0）如何用模式正交性分析传输效率？两边依次乘以波导

第i个模式并计算重叠积分波导1模式波导2模式前向后向得到映射关系求解矩阵可得各系数各模式的传输系数18xyzε,μabTMmn

模式场分布（Hz=0）TM00,TM0n,TMm0模不存在金属矩形波导模场图（TM）导波条件：模式正交关系TM11TM22TM12TM13TM14TM31TM41TM2119金属矩形波导模场图（TE）xyzε,μabTEmn

模式场分布（Ez=0）导波条件：TE00

模不存在模式正交关系TE10TE01TE11TE12TE13TE21TE31TE22第五章导波与谐振

5.3波导中的场激励浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》2021波导中的源波导里施加任意电流源，如何分析激发的导波模式？22面电流激励波导中激励一个面电流：（沿+z方向传播的总场）（沿-z方向传播的总场）z=0其中，第i

个波导模式：（+z方向）（-z方向）待解未知数：ai,bi23面电流激励（2）在面电流所在位置运用边界条件：z=0模式正交性两边点乘两边积分模式正交性（归一化常数）24体电流激励波导中激励任意体电流z=z1z=z2总场表达式：待求系数函数其中，第i

个波导模式：（+z方向）（-z方向）25体电流激励（2）z=z1z=z2系数函数需满足边界条件朝右向传播的模式场应为0朝左向传播的模式场应为026互易定理体电流激励（3）在区域[z1,z2]内运用互易定理令右侧源产生的左向波体电流

Jimp的辐射波z=z1z=z227体电流激励（4）z=z1z=z2金属壁切向电场为0剩余2个面积分左侧截面右侧截面模式正交性0仅留下i=j

的模式积分28体电流激励（5）z=z1z=z2得到右向传播模场系数类似地，令左侧源产生的右向波体电流

Jimp的辐射波得到左向传播模场系数29思考z=z1z=z2z=0取体电流激励面电流激励检验是否相同？第五章导波与谐振

5.4谐振腔与微扰法浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》3031封闭波导矩形波导两端封闭，能否构成谐振腔？xyzε,μabTEmn

模式TMmn

模式xy平面驻波xyzabcz

两端封闭32矩形谐振腔xyzabc金属矩形谐振腔TEz

模式（+z方向传播）（-z方向传播）前向+后向叠加z方向边界条件要求：谐振模式谐振条件33矩形谐振腔（2）xyzabc金属矩形谐振腔TMz

模式（+z方向传播）（-z方向传播）前向+后向叠加谐振条件谐振模式z方向边界条件要求：34材料微扰材料微扰原谐振腔新谐振腔如何分析材料微扰下的谐振模式变化？35原谐振腔新谐振腔两式相减材料微扰（2）36原谐振腔新谐振腔两边体积分，运用高斯定理边界条件要求面积分为0介电常数增加谐振频率降低材料微扰（3）37形状微扰形状微扰原谐振腔新谐振腔运用边界条件0跟材料微扰类似的推导方法，可以得到0强磁场地方凹陷谐振频率会提高38精益求精原谐振腔微小扰动材料微扰形状微扰影响全局（谐振频率）“中国天眼”500米口径球面射电望远镜精益求精毫米级精度言治骨角者，既切之而复磋之；治玉石者，既琢之而复磨之，治之已精，而益求其精也。-南宋·朱熹《论语集注》第六章电磁散射

6.1柱面波函数浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》3940柱形结构柱形结构，如何分析电磁波问题？光纤同轴线谐振腔41柱坐标系yxzρϕ坐标变换关系直角→柱柱→直角矩阵形式42yxzρϕ柱坐标波动方程亥姆霍兹矢量波动方程亥姆霍兹标量波动方程代入柱坐标的拉普拉斯算符柱坐标标量波动方程43yxzρϕ柱坐标波动方程的解柱坐标标量波动方程分离变量法两边除以与变量z

无关必须为常数44柱坐标波动方程的解（2）与变量z

无关必须为常数其中乘以ρ2三条待解常系数微分方程45三条待解常系数微分方程第一类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数（也记作Nm(kρρ)）通解形式（z方向平面波）（

ϕ

方向平面波）柱坐标波动方程的解（3）46贝塞尔函数第一类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数（也记作Nm(kρρ)）贝塞尔方程解驻波形式47汉克尔函数实部虚部驻波向外行波向内行波复数第六章电磁散射

6.2柱体散射浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》4849柱体散射问题柱体的散射如何计算？柱体入射波散射50波变换yxρϕ考虑一个x方向传播的平面波分解为柱面波叠加乘以对ϕ

积分平面波的柱面波叠加形式51金属柱散射yxρϕ入射电场激发柱面感应电流散射电场第一类Hankel函数：向外行波边界条件各阶散射系数散射电场TM模式52金属柱散射（2）yxρϕTM模式yxρϕTE模式53金属柱散射（3）yxρϕ入射磁场激发柱面感应电流散射场第一类Hankel函数：向外行波外部总磁场TE模式

Eϕ

分量外部电场代入麦克斯韦方程54金属柱散射（4）yxρϕTE模式外部电场边界条件各阶散射系数散射磁场55散射宽度yxρϕ散射宽度（Scatteringwidth）仅与角度ϕ

和波数k

有关单位：m对数坐标下，通常对单位长度或波长进行归一化单位：dBm单位：dB56介质柱散射yxρϕ入射电场激发柱面感应电流散射电场TM模式内部电场代入麦克斯韦方程外部磁场内部磁场57介质柱散射（2）yxρϕ边界条件TM模式各阶散射系数（外部）各阶散射系数（内部）58思考yxρϕ多层介质柱体的散射如何计算？第六章电磁散射

6.3分层介质散射浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》5960多层平板散射问题分层平板介质的散射如何计算？J、M介质1介质2介质3海底、大气层、地表等辐射源61谱系格林函数自由空间格林函数辐射问题的格林函数求解方程傅里叶变换形式自由空间谱系格林函数代入方程求解62谱系格林函数（2）yxzρϕ转化为柱坐标系利用贝塞尔函数索末菲恒等式(Sommerfeldidentity)球面波分解为一系列z方向传播的平面波63电偶极子辐射场变换xz垂直电偶极子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlanez

方向的电偶极子辐射场代入场-源关系取z

分量64xz垂直电偶极子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane电偶极子辐射场变换（2）z

分量辐射场代入索末菲恒等式平面波叠加横向场可由纵向场得到65xz垂直电偶极子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane电偶极子分层介质散射入射场（偶极子辐射场）反射场第l

层介质的场前向波后向波待求系数（2M+1）66xz垂直电偶极子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane电偶极子分层介质散射（2）待求系数（2M+1）边界条件：切向EH连续递归关系67xz垂直电偶极子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane思考递归关系各系数与多层平板透反射系数是否有关？第六章电磁散射

6.4周期表面反射浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》6869周期粗糙表面的散射周期表面的散射如何计算？入射波散射波周期粗糙表面（超表面、光栅等）70Floquet定理令Q(x)是一个实数或复数分段连续函数，且具有最小周期π那么差分方程有两个连续可微解特征方程：特征值：①如果ρ1

和ρ2

是两个不同的根其中p1(x)和p2(x)以π

为周期Floquet定理方程①有两个线性无关的解波动方程的解包含L为周期函数傅里叶级数展开波动方程K(x)=k2(x)具有最小周期L71周期波纹金属表面入射波反射波Floquet

模式（一系列等频圆）xzwpd周期金属表面H周期区域1区域2k

surfaceskxkznn=-1n=1倏逝波72周期波纹金属表面（2）凹槽内的场分解为波导模式叠加xzwpd周期金属表面H周期区域1区域2x

方向驻波z方向驻波峰值点：x=±w/2峰值点：z=-d73周期波纹金属表面（3）取垂直入射的情况（kx=0），各区域总场74周期波纹金属表面（4）待求系数Rn，Gm利用模式正交性求解边界条件：切向磁场连续（atz=0）①边界条件：切向电场为0（atw/2<|x|<p/2，z=0）③边界条件：切向电场连续（at–w/2<x<w/2，z=0）②75周期波纹金属表面（5）两边乘以在–w/2<x<w/2

范围内积分第①条边界条件等式右侧模式正交性，重叠积分为076周期波纹金属表面（6）两边乘以在–p/2<x<p/2范围内积分左侧模式正交性，重叠积分为0第②条边界条件等式77周期波纹金属表面（6）可求得数学表达式和值待求系数Rn，Gm矩阵求解78周期波纹金属表面（7）当kw<<1时（深亚波长凹槽）反射相位随凹槽深度的变化PMCPEC79思考存在透射的周期金属结构如何计算散射？透射型周期金属结构H区域1区域2区域3第六章电磁散射

6.5

球面波函数浙江大学信息与电子工程学院《高等电磁波理论》8081球体球体的电磁波散射如何分析？灰尘、水滴、球形物体、纳米颗粒等82球坐标系直角→球球

→直角矩阵形式yxzrsinθϕrθ83柱坐标波动方程亥姆霍兹矢量波动方程亥姆霍兹标量波动方程代入球坐标的拉普拉斯算符球坐标标量波动方程yxzrsinθϕrθ84球坐标波动方程的解yxzrsinθϕrθ球坐标标量波动方程分离变量法不含ϕ必须为常数不含ϕ含ϕ85球坐标波动方程的解（2）仅含r三条待解常系数微分方程仅含θ三条待解常系数微分方程86通解形式球坐标波动方程的解（3）关联勒让德多项式球贝塞尔函数87球贝塞尔函数第一类球贝塞尔函数第二类球贝塞尔函数（也记作nm(kr)）贝塞尔方程的解88球汉克尔函数实部虚部驻波向外球面波向内球面波复数89关联勒让德多项式第一类关联勒让德多项式第二类关联勒让德多项式勒让德微分方程解勒让德多项式90勒让德多项式级数形式前几个勒让德多项式第六章电磁散射

6.6球体散射浙江