2024-2025学年高中数学第二章函数章末复习提升课学案新人教B版必修1

PAGEPAGE1章末复习提升课1．函数的单调性(1)奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．(2)在公共区域上：增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数，减函数－增函数＝减函数．2．函数的奇偶性(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满意：奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．3．函数零点、方程的根、函数图象与x轴的交点之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔y＝f(x)有零点．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(1)当Δ＝b2－4ac>0时，有两个零点，即eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)．(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，有一个零点，即－eq\f(b,2a)．(3)当Δ＝b2－4ac<0时，无零点．1．关注新元的范围用换元法求函数解析式时要留意新元的范围，一般把函数定义域写出来．2．单调性定义应用时的两个关注点(1)利用定义证明函数单调性时，在给定区间内所取的两个自变量的值应是该定义区间内的随意两个值，不能用特殊值代替．(2)利用单调性定义推断函数单调性时切忌“循环论证”，即利用所要证明的结论作为论证问题的依据．3．推断函数奇偶性的关注点一般不化简函数解析式，若要化简时要留意化简前后的等价性．4．函数零点的三个留意点(1)函数的零点是一个实数，不是一个点．(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的，反映在图象上就是函数图象与x轴有无交点．(3)方程有几个解，则其对应的函数就有几个零点．若函数y＝f(x)有零点，则零点肯定在其定义域内．求函数的定义域、值域和解析式(1)求定义域主要题型有：①已知函数表达式求定义域；②已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域或由f(g(x))的定义域求f(x)的定义域；③实际问题函数的定义域；④依据定义域求参数的值或范围．(2)求函数值域的主要方法有：①配方法；②换元法；③单调性法；④数形结合法；⑤判别式法．(3)求解析式的常用方法主要有：①换元法；②待定系数法．(1)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，则f(x)＝________．(2)函数y＝6x－eq\r(1－2x)的值域是________．【解析】(1)f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，①由于f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，对①以－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝2x2＋2x＋1，即f(x)－g(x)＝2x2＋2x＋1，②由①②解得f(x)＝2x2＋1．(2)因为函数y＝6x－eq\r(1－2x)在其定义域eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上是递增的，且x趋近于－∞时，y趋近于－∞，故其值域为(－∞，3]．【答案】(1)2x2＋1(2)(－∞，3]函数的图象及其应用(1)作函数的图象常用描点法或变换法．(平移、伸缩、对称三种变换)(2)应用：①通过函数的图象能够驾驭函数重要的性质，如单调性、奇偶性等，反之，驾驭好函数的性质，有助于图象的正确画出．②数形结合解决有关函数问题．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x∈[0，2]，,\f(4,x)，x∈（2，4].))(1)在下图中画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．【解】(1)函数f(x)的大致图象如图所示．(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为[2，4]．函数的性质及其应用(1)单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行探讨，从而达到化繁为简的目的，特殊是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用非常广泛．(2)奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的对称性，可缩小问题探讨的范围，常能使求解的问题避开困难的探讨．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)<0的解集为()A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)【解析】因为f(x)为奇函数，eq\f(f（x）－f（－x）,x)<0，即eq\f(f（x）,x)<0，因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，所以当x>1时，f(x)<0．因为奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0．综上使eq\f(f（x）,x)<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】C1．函数y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是()A．[2，＋∞) B．[0，2]C．[0，4] D．(－∞，2]解析：选B．由－x2＋4x≥0，得0≤x≤4，令u＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，所以u∈[0，4]，所以y∈[0，2]．2．已知奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间[－7，－3]上()A．是增函数且最小值为－5B．是增函数且最大值为－5C．是减函数且最小值为－5D．是减函数且最大值为－5解析：选B．作出符合题意的函数f(x)的图象，如图所示，由图象易知选B．3．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：由已知得，1≤x≤3，所以2≤x＋1≤4．所以f(x)的定义域为[2，4]．答案：[2，4]4．已知函数f(x)对随意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0．求证：函数f(x)是R上的减函数．证明：令x＝y＝0，可得f(0)＝0，令y＝－x，可得f(－x)＝－f