2024-2025学年高中数学第三章概率单元质量评估二习题含解析北师大版必修3

第三章单元质量评估(二)eq\o(\s\up7(时间：120分钟满分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列事务：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．其中为随机事务的是(B)A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④解析：任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能不能组成直角三角形，故①为随机事务；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交、交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事务；若实数a，b都不为0，则a2＋b2肯定不等于0，故③为不行能事务；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于或等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事务．故选B.2．从一批产品(其中正品、次品都多于两件)中任取两件，视察正品件数和次品件数，下列事务是互斥事务的是(B)①恰有一件次品和恰有两件次品；②至少有一件次品和全是次品；③至少有一件正品和至少有一件次品；④至少有一件次品和全是正品．A．①②B．①④C．③④D．①③解析：因为从一批产品中任取两件，视察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于两件，所以恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，所以①④是互斥事务，故选B.3．某中学毕业生的去向有三种：回家待业、上高校和复读．现取一个样本调查，调查结果如图所示．若该校每个学生上高校的概率为eq\f(4,5)，则每个学生不复读的概率为(B)A.eq\f(21,25)B.eq\f(22,25)C.eq\f(23,25)D.eq\f(24,25)解析：每个学生上高校的概率为eq\f(4,5)，而该样本中上高校的人数为80，所以该样本容量为80÷eq\f(4,5)＝100，于是每个学生回家待业的概率为eq\f(8,100)＝eq\f(2,25)，所以每个学生不复读的概率为eq\f(4,5)＋eq\f(2,25)＝eq\f(22,25).4．不透亮袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为(B)A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,9)D.eq\f(1,4)解析：基本领件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，满意要求的基本领件有(1,4,5)，(2,3,5)，故所求概率为eq\f(1,5).故选B.5．先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则(B)A．P1＝P2<P3B．P1<P2<P3C．P1<P2＝P3D．P3＝P2<P1解析：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共36种，其中点数之和是12的有1种，故P1＝eq\f(1,36)；点数之和是11的有2种，故P2＝eq\f(2,36)；点数之和是10的有3种，故P3＝eq\f(3,36)，故P1<P2<P3，故选B.6．一只猴子随意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为(A)A.eq\f(9,100)B.eq\f(3,50)C.eq\f(3,100)D.eq\f(2,9)解析：随意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的全部结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种，故所求概率为eq\f(9,100).7．如图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)解析：用红、蓝两种颜色为三个图形涂色，则共有2×2×2＝8种不同的结果，设事务“三个图形颜色不全相同”为A，则eq\o(A,\s\up6(－))为“三个图形颜色全相同”，即事务eq\o(A,\s\up6(－))包含2个结果，故P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，所以P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).8．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事务Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事务Cn的概率最大，则n的全部可能值为(D)A．3B．4C．2和5D．3和4解析：明显C2：x＋y＝2，满意条件的点P(1,1)；C3：x＋y＝3，满意条件的点P(1,2)，P(2,1)；C4：x＋y＝4，满意条件的点P(1,3)，P(2,2)；C5：x＋y＝5，满意条件的点P(2,3)．所以n＝3,4时Cn的概率最大．9．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a，b，使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是(C)A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)解析：因为lg(3a)≥lg(4b)，所以3a≥4b.从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数字所包含的基本领件有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，符合条件3a≥4b的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6个，所以所求概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故选C.10．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(C)A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,12)C．1－eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,12)解析：P＝eq\f(正方形面积－圆锥底面积,正方形面积)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).11．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)解析：设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、Y，X、Y相互独立，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤X≤4,0≤Y≤4,|X－Y|≤2))，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|X－Y|≤2)＝eq\f(S正方形－2S△ABC,S正方形)＝eq\f(4×4－2×\f(1,2)×2×2,4×4)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).12．甲、乙两位同学各拿出6张嬉戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得全部12张嬉戏牌，并结束嬉戏．竞赛起先后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事务中断嬉戏，以后他们不想再接着这场嬉戏，下面对这12张嬉戏牌的分协作理的是(A)A．甲得9张，乙得3张B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张解析：由题意，骰子朝上的面的点数为奇数的概率为eq\f(1,2)，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，乙获胜的概率是eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).所以甲得到的嬉戏牌为12×eq\f(3,4)＝9(张)，乙得到的嬉戏牌为12×eq\f(1,4)＝3(张)，故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．从一副混合后的扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机抽取1张，事务A为“抽得红桃K”，事务B为“抽得的为黑桃”，则概率P(A＋B)＝eq\f(7,26).(结果用最简分数表示)解析：本题考查古典概型和互斥事务．∵事务A为“抽得红桃K”，∴事务A的概率P(A)＝eq\f(1,52).∵事务B为“抽得的为黑桃”，∴事务B的概率是P(B)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，∴由互斥事务的概率公式得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,26).14．在一次老师联欢会上，到会的女老师比男老师多12人，从这些老师中随机选择一人表演节目，若选到男老师的概率为eq\f(9,20)，则参与联欢会的老师共有120人．解析：设男老师为n人，则女老师为(n＋12)人，∴eq\f(n,2n＋12)＝eq\f(9,20).∴n＝54，∴参与联欢会的老师共有120人．15．将一枚质地匀称的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，其次次朝上一面的点数为b，则函数y＝ax2－2bx＋1在(－∞，2]上为减函数的概率是eq\f(1,4).解析：由题意可知，函数y＝ax2－2bx＋1在(－∞，2]上为减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(b,a)≥2.))当a取1时，b可取2,3,4,5,6；当a取2时，b可取4,5,6；当a取3时，b可取6，共9种．∵(a，b)的取值共36种状况，∴所求概率为P＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).16．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为eq\f(1,3).解析：连接AC交圆弧DE于点F，则点P在EF上时直线AP与线段BC有公共点．因为AB＝eq\r(3)，BC＝1，所以∠BAC＝30°.直线AP与线段BC有公共点的概率P＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)将一枚质地匀称的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，其次次出现的点数为y.(1)求事务“x＋y≤3”的概率；(2)求事务“|x－y|＝2”的概率．解：设(x，y)表示一个基本领件，则掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个基本领件．(1)用A表示事务“x＋y≤3”，则A包含的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本领件．所以P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，即事务“x＋y≤3”的概率为eq\f(1,12).(2)用B表示事务“|x－y|＝2”，则B包含的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)，共8个基本领件．则P(B)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9)，即事务“|x－y|＝2”的概率为eq\f(2,9).18.(本题满分12分)M公司从某高校招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成果如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成果在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．(1)求男生成果的中位数及女生成果的平均数；(2)假如用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？解：(1)男生共有14人，中间两个成果是175和176，因此男生成果的中位数是175.5.女生成果的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(168＋177＋178＋185＋186＋192,6)＝181.(2)用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).依据茎叶图，“甲部门”人选有8人，“乙部门”人选有12人．所以选中的“甲部门”的人选有8×eq\f(1,4)＝2(人)，“乙部门”的人选有12×eq\f(1,4)＝3(人)．记选中的“甲部门”的人选为A1，A2，选中的“乙部门”的人选为B，C，D.从这5人中选2人的全部可能状况为：(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种；其中至少有一人是“甲部门”人选的结果有7种．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是eq\f(7,10).19．(本题满分12分)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练竞赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A16得分15352128253618341726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10,20)[20,30)[30,40)人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出全部可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)466(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，全部可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事务B)的全部可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).20．(本题满分12分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满意条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0,－1≤m≤1,－1≤n≤1))，求函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、三象限的概率．解：(1)抽取的全部结果的基本领件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本领件，设使函数为增函数的事务为A，则A包含的基本领件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本领件．所以，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)m、n满意条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1))的区域如图所示．要使函数的图象过第一、二、三象限，则m>0，n>0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事务的概率为P＝eq\f(\f(1,2),\f(7,2))＝eq\f(1,7).21．(本题满分12分)某单位从一所学校招收某类特别人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调实力和逻辑思维实力的测试，其测试结果如下表：逻辑思维实力运动协调实力一般良好优秀一般221良好4b1优秀13a例如表中运动协调实力良好且逻辑思维实力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参与测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维实力优秀的学生的概率为eq\f(1,5).(1)求a，b的值；(2)从运动协调实力为优秀的学生中随意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维实力优秀的学生的概率．解：(1)由题意可知，逻辑思维实力优秀的学生共有(2＋a)人．设事务A：从20位学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维实力优秀的学生，则P(A)＝eq\f(2＋a,20)＝eq\f(1,5).解得a＝2.所以b＝4.(2)由题意可知，运动协调实力为优秀的学生共有6位，分别为M1，M2，M