2024高考数学一轮复习专练50抛物线含解析文新人教版

PAGE专练50抛物线命题范围：抛物线的定义、标准方程与简洁的几何性质[基础强化]一、选择题1．抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点到其准线的距离为()A．1B．2C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)2．[2024·全国卷Ⅲ]设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)3．动点M到点F(2,1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4B．4C．－2D．25．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A．4B．8C．16D．326．AB是抛物线x2＝y的焦点弦，且|AB|＝4，则AB的中点到x轴的距离为()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,2)D.eq\f(7,4)7．[2024·天津卷]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．3D．－39．[2024·湖南邵阳高三测试]若抛物线C：y2＝4x上一点M(a，b)到焦点F的距离为5，以M为圆心且过点F的圆与y轴交于A，B两点，则|AB|＝()A．4B．6C．2eq\r(10)D．8二、填空题10．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________．11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________.12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．[实力提升]13．[2024·吉大附中高三测试]抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右焦点重合，又P为两曲线的一个公共交点，且|PF|＝5，则双曲线的实轴长为()A．1B．2C.eq\r(7)－3D．614．[2024·湖南长沙高三测试]抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为()A.eq\f(71,12)＋eq\r(26)B．9＋eq\r(26)C．9＋eq\r(10)D.eq\f(83,12)＋eq\r(26)15．[2024·张家界高三测试]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为4eq\r(3)，则p＝________.16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则eq\f(|AF|,|BF|)＝________.专练50抛物线1．By＝eq\f(1,4)x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为eq\f(1,2)×4＝2.2．B由抛物线的对称性，不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y2＝2px))得D(2,2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，∵OD⊥OE，∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故选B.3．B∵F(2,1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．4．B∵eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点为(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，p＝4.5．B由抛物线的定义知，6＋eq\f(p,2)＝10，eq\f(p,2)＝4，p＝8，∴抛物线的焦点到准线的距离为p＝8.6．D如图为x2＝y的图象，F为其焦点，l为x2＝y的准线，由抛物线的定义知AA1＝AF，BB1＝BF，∴AA1＋BB1＝AF＋BF＝AB＝4，由图可知AB的中点到准线的距离为eq\f(AA1＋BB1,2)＝2，∴AB的中点到x轴的距离为2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).7．D本题考查双曲线的离心率，抛物线的焦点与准线方程，考查学生的运算求解实力，渗透了数学运算的核心素养．由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，又知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∵|AB|＝4|OF|＝4，不妨设A在B上方，∴A(－1,2)，又点A在直线y＝－eq\f(b,a)x上，∴2＝－eq\f(b,a)·(－1)，∴eq\f(b,a)＝2，∴双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).故选D.8．B当AB与x轴垂直时，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1×(－1)＝－eq\f(3,4)；当AB与x轴不垂直时，设l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,y2＝2x，))得k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(k2,4)＝0由韦达定理得x1＋x2＝eq\f(k2＋2,k2)，x1x2＝eq\f(1,4)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)))＝(1＋k2)x1x2－eq\f(1,2)k2(x1＋x2)＋eq\f(k2,4)＝－eq\f(3,4).9．B由于M到焦点的距离为5，故到准线x＝－1的距离也是5，故a＝4，代入抛物线得y2＝20，解得b＝±4，不妨设b＝4，故圆心为(4,4)，半径为5，圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25，令x＝0，解得y＝1,7，故|AB|＝7－1＝6.故选B.10．y2＝－8x或x2＝－y解析：由题可知，抛物线开口向下或向左，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，x2＝－2py(p>0)，将P(－2，－4)代入，分别得方程y2＝－8x或x2＝－y.11．8解析：|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.12．0或1解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，满意题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.13．B如图所示，F(2,0)，MT的方程为x＝－2，|PF|＝|PM|＝5，所以|PN|＝3，作FQ⊥PM，则|PQ|＝1，在Rt△PFQ中，|FQ|＝eq\r(|PF|2－|PQ|2)＝eq\r(25－1)＝2eq\r(6)，所以P(3,2eq\r(6))将P点坐标代入双曲线方程，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(24,b2)＝1，,c＝2，,c2＝a2＋b2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，,c＝2，))所以实轴2a＝2，所以选B.14．B令y＝1，得x＝eq\f(1,4)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x.消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.则xAxB＝1，所以xB＝eq\f(1,xA)＝4.|AB|＝xA＋xB＋p＝eq\f(25,4).将x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B(4，－4)．故|MB|＝eq\r(4－32＋－4－12)＝eq\r(26).故△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,4)))＋eq\r(26)＋eq\f(25,4)＝9＋eq\r(26).故选B.15．2解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故eq\f(\r(3),4)(2p)2＝4eq\r(3)，∴p＝2.故答案为2.16．3解