高数1-7章总复习

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高等数学期末复习2第一章函数与极限

⑴理解极限的概念

⑵理解无穷小量，无穷大量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；

⑶掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的常用方法；

⑷理解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，会判断函数在某点的连续性；

⑸了解函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别函数间断点的类型；

⑹了解“初等函数在定义区间内连续”的结论，知道闭区间上的连续函数的几个性质。3第二章导数与微分

⑴理解导数与微分概念，了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系；

⑵熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则；

⑶掌握复合函数的求导法则；

⑷掌握隐函数的求导法则、由参数方程确定的函数的求导法则，对数求导数的方法；

⑸知道一阶微分形式的不变性；

⑹了解高阶导数概念，掌握求函数的二阶导数的方法,会求高阶导数。4第三章微分中值定理与导数的应用

⑴了解罗尔定理、拉格朗日中值定理何柯西中值的条件和结论，会用他们证明一些结论；

⑵掌握洛比塔法则，能用它求未定式的极限；

⑶掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；

⑷掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点；

⑸会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线和斜渐近线；

⑹掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法。5第四章不定积分

⑴理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系；

⑵掌握积分基本公式和直接积分法；

⑶掌握第一换元积分法和分部积分法；

⑷掌握第二换元积分法。6第五章定积分

⑴理解定积分的概念，了解定积分的性质；

⑵掌握积分上限函数，牛顿莱布尼公式；

⑶掌握定积分的换元积分法和分部积分法；7第六章定积分的应用

（1）掌握直角坐标系下平面图形的面积的求法（2）了解极坐标下平面图形的面积的求法（3）掌握旋转体体积的求法（4）会求平面曲线的弧长8第七章微分方程

（1）掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法

（2）会解齐次方程，和三种可降阶的微分方程（3）理解二阶线性微分方程解的结构（4）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法（5）会求自由项形如:

的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.

9左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质无穷小两者的关系无穷大10含用极限运算类型1.常规型:2.特殊型:分段点处极限:A0型:有界变量与无穷小量之积分解因式消零因子用最高次或“最大”项除分子分母等价无穷小洛必达法则洛必达法则洛必达法则)(lim0xfx+®=-®)(lim0xfx11函数连续概念点连续特殊：左连续右连续区间连续在区间上每一点都连续的函数初等函数连续性基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间上连续函数性质最大值和最小值定理有界性定理零点定理介值定理MBCAmab12导数的概念导数的定义几何意义可导与连续的关系函数可导一定连续，但连续不一定可导.01高阶导数的定义13导数的运算求导法则和、差、积、商的求导法则反函数的导数复合函数的求导法则初等函数的求导基本初等函数或常数的导数特殊求导方法隐函数求导直接对方程两边求导.对数求导法方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.参数方程所确定的函数的导数方法:14微分可微的条件微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.微分的几何意义微分形式的不变性15Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理重要理论---中值定理16方法导数在求极限中的应用---洛比达法则17最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减应用导数研究讨论函数性质及作图形18函数的性质单调性单调性的判别法单调区间的求法函数极值函数极值的定义函数极值的求法函数最值最值存在判别法函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法,()19典型例题重要理论中值定理导数在求极限中的应用--洛比达法则应用导数研究讨论函数性质及作图形等式.不等式的证明方程解的判定或证明求极限讨论函数性质及作图形不等式的证明技巧—造辅助函数20不定积分的概念与性质不定积分的概念原函数或原函数存在定理连续函数一定有原函数.不定积分的定义基本积分表不定积分的性质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）21不定积分计算方法及类型直接积分法被积函数进行恒等变形，使用基本积分表计算不定积分的方法换元积分法第一类换元法第二类换元法分部积分法分部积分公式特殊类型函数的积分法有理函数的积分将有理函数化为部分分式之和的积分.三角函数有理式的积分简单无理函数的积分解决方法作代换去掉根号.万能置换公式三角代换、倒代换、根式代换（凑微分法）22定积分

一、概念、性质、几何意义

二、计算：

牛顿—莱布尼兹公式：

换元积分公式：

分部积分公式：

23三、利用定积分换元法证明积分等式四、关于积分上限函数的问题

设

，则24特殊形式的定积分计算1.对称区间上的积分考察被积函数是否为奇偶函数,注意用奇偶函数的“特性”处理.2.分段函数的积分认清积分限是被积函数定义域的哪个区间的端点,然后按段积分求和.253.被积函数带有绝对值符号的积分在作积分运算之前设法去掉绝对值.(注意符号!)4.被积函数中含有“积分上限的函数”的积分用分部积分法做,将积分上限的函数取作u.26定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形27极坐标情形28(2)体积xyo29平行截面面积为已知的立体的体积30基本概念一阶方程

类型1.可分离变量2.齐次方程3.线性方程4.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法微分方程主要内容311、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．32通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．33(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换34(3)一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法35非齐次微分方程的通解为（常数变易法）(4)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.36解法需经过变量代换化为线性微分方程．373、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点

型接连积分n次，得通解．

型解法代入原方程,得38特点

型解法代入原方程,得４、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:39（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:4041５、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.42特征方程为43６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法

待定系数法.4445典型问题解答1.填空题

(1)设

则

．解：

设

则

得

故46(2)函数

的定义域是

．解：

对函数的第一项，

要求

且即且

对函数的第二项，要求

即

取公共部分，得函数定义域为

47

2.判断函数在x=0处是否连续.解在x=0处不连续.

483.若函数在处连续，求k的值.解根据函数在一点连续定义，当时，即时，函数在x=0处连续.494.求解506.求

解518.求

解5211.解用洛必达法则5312.解这是型不定式,分析应用洛必达法则5413.解原极限=5515.设，求.解56解5717.设，求.解58解两边取对数得：两边求导得：5919.设函数,其中可导，求.解求这种抽象函数的导数，只要分清函数的复合层次即可.6020.设，求.将x=0代入原方程，得y=e解原方程两端对x求导，得61解626322.解6423.求函数的单调区间和极值.解的定义域为当,故函数单调减少，在处取得极小值当，故函数单调增加.6524.求函数在区间[-1，2]上的最大值和最小值解令y＇=0，得驻点函数在[-1，2]上的最大值为,最小值为.6625.解定义域单调区间为6726.设有一根长为L的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，若设圆形面积为，正方形面积为，试证明当为最小时，解铁丝分成x,L-x两段，不失一般性，令第一段围成圆形，于是68令，得唯一驻点于是知驻点为极小值点,由于实际问题存在最小值，也为最小值点，故69零点问题证：首先证明至少有三个根计算表明根据介值定理因此方程至少有三个根70用反证法

然后证明最多三个根根据洛尔定理矛盾！综上所述，方程恰好有三个实根7128.证727329.求解7430.求解7531.求解7632.求解7733.设，求.解于是78解79解出现方程式80奇偶xxxxxxd122222345ò-+---+xxxxd122222