2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.1.1-2.1.2位移速度和力向量的概念课时分层作业含解析北师大版必修4

PAGE1-课时分层作业(十三)从位移、速度、力到向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有()A.2个 B．3个C.4个 D．5个C[②③④⑤是向量．]2．若向量a与向量b不相等，则a与b肯定()A.不共线 B．长度不相等C.不都是单位向量 D．不都是零向量D[若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b肯定不都是零向量．]3．如图所示，▱ABCD中，相等的向量是()A.eq\o(AD,\s\up8(→))与eq\o(CB,\s\up8(→)) B．eq\o(OA,\s\up8(→))与eq\o(OC,\s\up8(→))C.eq\o(AC,\s\up8(→))与eq\o(BD,\s\up8(→)) D．eq\o(DO,\s\up8(→))与eq\o(OB,\s\up8(→))D[eq\o(DO,\s\up8(→))与eq\o(OB,\s\up8(→))方向相同且长度相等．]4．下列说法中正确的个数是()(1)单位向量都平行；(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；(4)有相同起点的两个非零向量不平行；(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．A.2 B．3C.4 D．5A[(1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．(3)正确．因为零向量与随意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．]5．设四边形ABCD中，有eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，且|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，则这个四边形是()A.正方形 B．矩形C.等腰梯形 D．菱形D[由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))可知四边形ABCD为平行四边形，又|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，该四边形为菱形．]二、填空题6．设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和－3，且eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))为单位向量，则点B对应的实数为________；点D对应的实数为________；|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝________.－7－4或－24[由题意知点C是线段AB的中点，所以点B对应的实数为－7.eq\o(CD,\s\up8(→))为单位向量，所以点D对应的实数为－4或－2，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝－3－(－7)＝4.]7.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．(1)eq\o(CH,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))eq\r(10)(2)eq\o(DG,\s\up8(→))，eq\o(HF,\s\up8(→))5eq\r(2)[(1)模相等的两个向量是eq\o(CH,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，|eq\o(CH,\s\up8(→))|＝|eq\o(AE,\s\up8(→))|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).(2)共线的向量是eq\o(DG,\s\up8(→))，eq\o(HF,\s\up8(→))，且|eq\o(DG,\s\up8(→))|＋|eq\o(HF,\s\up8(→))|＝2eq\r(2)＋3eq\r(2)＝5eq\r(2).]8．给出下列几种叙述：①两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，则ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的有________.(填序号)④[①错误．两个向量相等，它们的始点和终点都不肯定相同．②错误．若|a|＝|b|，则a与b方向未必相同，故a与b不肯定相等．③错误．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD不肯定是平行四边形．④正确．平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向线段eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→))方向相同，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)).⑤错误．若a∥b，b∥c，b＝0，则a与c不肯定平行．]三、解答题9．△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，试求下列问题：(1)写出与eq\o(EF,\s\up8(→))共线的向量；(2)写出与eq\o(EF,\s\up8(→))的模大小相等的向量；(3)写出与eq\o(EF,\s\up8(→))相等的向量．[解](1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因为D是BC的中点，所以与eq\o(EF,\s\up8(→))共线的向量有eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→)).(2)与eq\o(EF,\s\up8(→))模相等的向量有eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→)).(3)与eq\o(EF,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→)). 10.如图所示，四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，N，M分别是AD，BC上的点，且eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→)).求证：eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).[证明]∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴|eq\o(DA,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|，且DA∥CB.又∵eq\o(DA,\s\up8(→))与eq\o(CB,\s\up8(→))的方向相同，∴eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→)).同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(NA,\s\up8(→)).∵|eq\o(CB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DA,\s\up8(→))|，|eq\o(CM,\s\up8(→))|＝|eq\o(NA,\s\up8(→))|，∴|eq\o(MB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DN,\s\up8(→))|，又∵eq\o(DN,\s\up8(→))与eq\o(MB,\s\up8(→))的方向相同，∴eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).1．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是()A.①④ B．③C.①②③ D．②③B[a为任一非零向量，故|a|>0.]2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是()A.与eq\o(AB,\s\up8(→))相等的向量只有一个(不含eq\o(AB,\s\up8(→)))B.与eq\o(AB,\s\up8(→))的模相等的向量有9个(不含eq\o(AB,\s\up8(→)))C.eq\o(BD,\s\up8(→))的模恰为eq\o(DA,\s\up8(→))的模的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up8(→))与eq\o(DA,\s\up8(→))不共线D[由于eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，因此与eq\o(AB,\s\up8(→))相等的向量只有eq\o(DC,\s\up8(→))，而与eq\o(AB,\s\up8(→))的模相等的向量有eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→)).因此选项B正确，而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴|eq\o(DO,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(DA,\s\up8(→))|，故|eq\o(DB,\s\up8(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up8(→))|.因此选项C正确．由于eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))，因此eq\o(CB,\s\up8(→))与eq\o(DA,\s\up8(→))是共线的，故错误的选项是D.]3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|≠|eq\o(CD,\s\up8(→))|，则四边形ABCD的形态是________．梯形[∵eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|≠|eq\o(CD,\s\up8(→))|，∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形．]4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝________．2eq\r(3)[易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up8(→))|＝eq\r(3)，∴|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up8(→))|＝2eq\r(3).]5.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq\o(MN,\s\up8(→))|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．[解]由题可知，集合T中的元素实质上是S中随意两点连成的有向线段，共有20个，即eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\