吉林省延边朝鲜族自治州2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

吉林省延边朝鲜族自治州2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五六总分评分一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．第19届亚运会将于2023年9月在浙江省杭州市举办，下列与杭州亚运会有关的图案中，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．抛掷硬币时，正面朝上 B．太阳从东方升起C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．负数大于正数3．抛物线y=−2(A．(−2，5) B．(2，5) C．4．一元二次方程x2A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定5．在同一平面内，已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA的长度可以等于（）A．6 B．5 C．3 D．06．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（）A．2m B．2.25m C．2.二、填空题（每小题3分，共24分）7．点(3，−28．10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．9．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排15场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请x支球队参加比赛，则可列方程为.10．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10(m/s)的速度竖直上抛，那么物体经过x(s)离地面的高度（单位：m）为10x−4.9x11．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=25°，则∠OCB的度数为°.12．若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如表所示，则当自变量x=2时，函数yx−3−2−101y−5034313．将二次函数y=x2+114．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE=4，则S四边形ABCD=​​三、解答题（每小题5分，共20分）15．解方程：x(x−2)+x−2=0．16．两年前生产1吨甲种药品的成本是6400元.随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3600元.求甲种药品成本的年平均下降率．17．如图，在⊙O中，AB=求证∠AOB=∠BOC=∠COA.18．布袋中有红、黄、蓝三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色.用列表或画树状图的方法求摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率.四、解答题（每小题7分，共28分）19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．20．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB，桥的跨度（弧所对的弦长）AB=30m，设AB所在圆的圆心为O，OB，OC为半径，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m．（1）直接写出AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．21．某水果公司新进了10000千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中：柑橘总质量（n/千克）损坏柑橘质量（m/千克）柑橘损坏的频率（mn505010010015015020019025024030030a35035040039b45044050051c（1）写出a=▲b=▲c=▲（精确到0.（2）估计这批柑橘的损坏概率为▲（精确到0.（3）该水果公司以2元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到0.22．如图，将含30°角的直角三角板ABC放入半圆O中，∠ACB=90°，A，B，C三点恰好在半圆O上，延长AB到点E，作直线CE，使得∠BCE=∠BAC=30°·（1）求证：EC是半圆O的切线.（2）若AB=8，求阴影部分的面积.五、解答题（每小题8分，共16分）23．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？24．已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．（1）如图1，若AB=3，点A，E，P恰好在一条直线上时，求EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，求证：BF=EF；（3）若AB=3，设BP=2，求QF的长．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=6cm.动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点C运动（动点P不与点A、C重合），过点P作PQ⊥AC，交AB于点Q，将线段PQ绕点Q逆时针方向旋转90°得到线段QM，连接PM.设△PQM与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2），动点P运动的时间为t（（1）当点M落在边BC上时，求t的值.（2）求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.（3）在动点P的整个运动过程中，直接写出S的最大值.26．如图，抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1，−1)、B(3，3)（1）求该抛物线的解析式．（2）当−1<m<3时，过点D作DE∥y轴，交直线AB于E点，求线段DE的最大值．（3）当m≠3时，若抛物线在点D，点B之间部分（包括点D，点B两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差为3时，求m的值．（4）设抛物线y=ax2+bx−3与线段AB围成的封闭图形记作图形P，点C为直线AB上的一个动点（点C不与点A重合），设点C的横坐标为n，以AC为边向下作正方形ACMN，当M、N两点中只有一个点在图形P

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；

B不是中心对称图形，不符合题意；

c不是中心对称图形，不符合题意；

D不是中心对称图形，不符合题意；

故答案为：A

【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重叠的图形为中心对称图形.2．【答案】B【解析】【解答】解：A：抛掷硬币时，可以正面朝上，也可以是反面朝上，是随机事件，不符合题意；

B：太阳从东方升起为必然事件，符合题意；

C：经过红绿灯路口，可以是红灯，也可以是绿灯或黄灯，是随机事件，不符合题意；

D：负数大于正数是不可能事件，不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念即可求出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：由于抛物线y=-2（x-2）2-5故答案为：（2，-5）.【分析】根据抛物线顶点式：y=a（x-h）2+k4．【答案】C【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝-2，c＝-5，∴b2-4ac＝（-2）2-4×1×（-5）＝24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：C．

【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。5．【答案】A【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点A在⊙O外

∴OA>5

故答案为：A

【分析】根据点与圆的位置关系即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：设抛物线的关系式为：y=ax-b2+c

由题意可得：顶点坐标为（1，3）

∴b=1，c=3

∵（3，0）在抛物线上，则0=ax-12+3，解得：x=-34

∴抛物线的关系式为：y=-37．【答案】（-3，2）【解析】【解答】解：由题意可得：

点(3，−2)关于原点对称的点的坐标为（-3，2）8．【答案】1【解析】【解答】解：从中任意抽取1件检验，则抽到不合格产品的概率是1：10=110故答案为：110【分析】根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．9．【答案】1【解析】【解答】解：设邀请x个队，每个队都要比赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛

由题意可得：12x(x−1)=15

故答案为：110．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可得：

物体落回底面即为10x−4.9x2=0

解得：x=2或0（舍去）

∴该物体落回地面所需要的时间x约为2s

11．【答案】65【解析】【解答】解：由题意可得：

∠BOC=2∠BAC=50°

∵OB=OC

∴∠OBC=OCB=180°-∠BOC2=65°

故答案为：65

12．【答案】0【解析】【解答】解：由题意可得：

当x=0时，y取最大值为4，则二次函数图象对称轴为：x=0

∵x=2关于x=0的对称点为x=-2

∴当自变量x=2时，函数y的值为0

故答案为：0

【分析】当x=0时，y取最大值为4，则二次函数图象对称轴为：x=0，再根据二次函数的对称性即可求出答案.13．【答案】y=【解析】【解答】解：由题意可得：

将二次函数y=x2+1图像向左平移2个单位长度，则y=x+22+1

化简为：14．【答案】16【解析】【解答】解：如图，过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，

∵AE⊥BC，AF⊥CF，

∴∠AEC=∠CFA=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形AECF为矩形，

∴∠2+∠3=90°，

又∵∠BAD=90°，

∴∠1=∠3，

在△ABE和△ADF中，

∠1＝∠3∠AEB＝∠AFDAB＝AD

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴AE=AF=4

∴S△ABE=S△ADF，四边形AECF是正方形，

∴S四边形ABCD=S正方形AECF=42=16.

【分析】过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，证出四边形AECF为矩形，再证出△ABE≌△ADF，得出AE=AF，从而得出S△ABE=S△ADF，S四边形ABCD=S正方形AECF15．【答案】解：∵x(x−2)+x−2=0，∴(x−2)(x+1)=0，∴x−2=0或x+1=0，解得x1=2，【解析】【分析】提公因式，再解方程即可求出答案.16．【答案】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，依题意得：6400(1−x)解得：x1=0.答：甲种药品成本的年平均下降率为25%．【解析】【分析】设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.17．【答案】证明：∵AB=AC，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA【解析】【分析】根据等弧所对的先相等得出AB=AC，又∠ACB=60°，根据含有60°角的等腰三角形是等边三角形得出：△ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=BC=CA，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等得出∠AOB=∠BOC=∠COA。18．【答案】解：画树状图得：由树状图可知：共有9种等情况数，其中“一红一黄”的有2种，∴摸出的两个球颜色为“一红一黄”的概率为29【解析】【分析】画出树状图，由树状图可知：共有9种等情况数，其中“一红一黄”的有2种，再结合简单事件的概率即可求出答案.19．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1就是所求的三角形；（2）解：△A2B2C2就是所求的三角形；

（3）解：△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，对称轴如下：【解析】【分析】（1）根据网格结构及轴对称的性质找出点A、B、C关于直线OM的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构及旋转的性质找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；

（3）根据轴对称的概念作出判断并画出对称轴.20．【答案】（1）AD=BD（2）解：设主桥拱半径为R，∵AB=30，CD=5，OC⊥AB，∴BD=12AB=在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB即R2解得R=25，因此，这座石拱桥主桥拱半径约为25m．【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可求出答案.

（2）设主桥拱半径为R，则BD=12AB=15，OD=OC−CD=R−5，在Rt△OBD21．【答案】（1）0.103；0（2）0.1（3）解：设每千克大约定价为x元，根据题意得10000(1−0.解得x≈2.答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.【解析】【解答】解：（1）由题意可得：

a=30.93÷300≈0.103

b=39.24÷400≈0.098

c=51.54÷500≈0.103

故答案为：0.103；0.098；0.103

（2）由表格可得：

估计这批柑橘的损坏概率为0.1

故答案为：0.122．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，即O在AB上，∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC=30°∴∠OCB=90°−30°=60°∵∠BCE=30°∴∠OCE=30°+60°=90°∴OC⊥CE，∴EC是半圆O的切线；（2）解：∵∠BAC=30°∴∠ABC=90°−30°=60°∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∵AB=8，∴OB=4，∴S扇形OAC=nπ∴S阴影【解析】【分析】（1）连接OC，根据等边对等角可得∠OCA=∠OAC=30°，再根据三角形内角和定理可得∠OCB=90°−30°=60°，则∠OCE=30°+60°=90°，再根据切线的判定定理即可求出答案.

（2）根据等边三角形判定定理可得△BOC是等边三角形，根据扇形面积和三角形面积可得S扇形OAC=nπ23．【答案】（1）解：依题意得：(200−20)(50−200−180即每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；（2）解：设每个房间定价增加x元，依题意得：所获利润=(180+x−20)(50−x∴当x=170元时，利润最大，∴180+170=350元，即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.

（2）设每个房间定价增加x元，根据题意，得出利润的关系式=(180+x−20)(50−x24．【答案】（1）1（2）证明：∵∠BAP=∠BAE﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，∠EAQ=∠QAP﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，∴∠BAP=∠EAQ．在△ABP和△AEQ中，AB=∴△ABP≌△AEQ（SAS），∴∠AEQ=∠ABP=90°，∴∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°，∵∠EBF=90°﹣60°=30°，∴∠BEF=∠EBF，∴EF=BF；（3）如图，过点F作FD⊥BE于点D，∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=3，由（2）得∠EBF=30°，在Rt△BDF中，BD=12BE=3∴BF=BDcos∴EF=1，∵△ABP≌△AEQ，∴QE=BP=2，∴QF=QE+EF=2+1=3．【解析】【解答】解：（1）∵△ABE是等边三角形，A、E、P在同一直线上

∴AB=AE，∠BAE=60°

∴∠APB=30°

∴AP=2AB=23

∴点E是AP的中点

∴QE⊥AP

∴QE=QP2-PE2=3

∵∠APQ=30°，∠APB=30°

∴∠QPF=90°

∴QF=4

∴EF=QF-QE=1

【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，则∠APB=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得AP=2AB=23，再根据勾股定理求出QE长，QF长，再根据EF=QF-QE=1即可求出答案.

（2）根据全等三角形的判定定理可得△ABP≌△AEQ（SAS），则∠AEQ=∠ABP=90°，再进行角之间的转换可得∠BEF=∠EBF，根据等角对等边性质即可求出答案.

25．【答案】（1）解：如图，当M落在边BC上时，∵△ABC是等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，∠A=∠B=45°∵PQ⊥AC，∴∠A=∠AQP，∴AP=QP=t，由题意知∠PQM=∠QPC=∠C=90°，∴四边形PQMC是矩形，∴AP=QP=QM=PC=t，∵AC=6cm，∴2t=6，即t=3，即当点M落在边BC上时，t的值为3；（2）解：当0<t≤3时，重合部分为△PQM，如图所示，即重合面积是△PQM的面积，∵PQ=QM=t，∠PQM=90°，∴S=1．当3<t<6时，如图中，重合部分是四边形PEFQ，∵∠MQP=∠QPA=∠C=90°，∴四边形PQFC是矩形，∴QM∥AC，QF=PC=6−t，∴∠M=∠MPC，∠MFC=∠C，∴△PCE∽△MFE，∵PC=6−t，MF=t−(6−t)=2t−6，设EF=x，则EC=t−x，∵△PCE∽△MFE，∴EF∴EF=2t−6，则重合面积为S=1综上所述，S=1（3）在动点P的整个运动过程中，S的最大值为6．【解析】【解答】解：（3）当0<t≤3时，S=12t2

当t=3时，S最大值为92

当3<t<6时，S=−32t2+12t−18

对称轴为t=-b2a=4

∴3<t<≤4时，S随t的增大为增大

当4≤t＜6时，S随t的增大而减小

∴当t=4时，S最大值为6

故答案为：6

【分析】（1）当M落在边BC上时，根据等腰直角三角形性质可得∠A=∠AQP，则AP=QP=t，再根据矩形性质可得AP=QP=QM=PC=t，由AC=6列出方程，解方程即可求出答案.

（2）当0<t≤3时，重合部分为△P