空间直角坐标系课件北师大

空间直角坐标系空间直角坐标系是描述空间中点位置的常用方法。它由三条互相垂直的直线组成，称为x轴、y轴和z轴。课程目标理解空间直角坐标系了解空间直角坐标系的定义和性质，以及空间点和向量的表示方法。掌握空间曲线的表示学习空间曲线的参数方程、切线方程和弧长公式，以及空间曲线在平面上的投影。理解空间平面的表示学习空间平面的方程、交线、夹角和投影，以及空间平面与空间曲线的相关概念。直角坐标系直角坐标系是一个由两条相互垂直的数轴构成的坐标系，用来描述二维空间中点的相对位置。横轴称为x轴，纵轴称为y轴，两轴交点称为原点，用字母O表示。坐标系中的每个点都可以用一对有序实数(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。坐标轴的定义11.X轴X轴是水平方向的轴线，通常指向右侧，代表横坐标。22.Y轴Y轴是垂直方向的轴线，通常指向上方，代表纵坐标。33.Z轴Z轴是垂直于X轴和Y轴的轴线，通常指向前方，代表深度坐标。坐标轴的方向1X轴方向通常指向东西方向，水平向右为正方向，水平向左为负方向。2Y轴方向通常指向南北方向，竖直向上为正方向，竖直向下为负方向。3Z轴方向通常指向垂直于X轴和Y轴的方向，垂直向上为正方向，垂直向下为负方向。空间点的表示在空间直角坐标系中，每个点都可以用一个有序的三元数组(x,y,z)来表示，分别代表该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。空间点的位置由其在三个坐标轴上的投影位置唯一确定。坐标值的正负号指示点在坐标轴的正方向还是负方向。例如，点(2,-3,1)表示该点在x轴正方向上距离原点2个单位，在y轴负方向上距离原点3个单位，在z轴正方向上距离原点1个单位。空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三条互相垂直的直线构成，分别称为x轴、y轴和z轴。三条坐标轴的交点称为坐标原点，用字母O表示。空间直角坐标系中的任意一点P的坐标可以用三个数来表示，分别称为该点的x坐标、y坐标和z坐标。P点的坐标通常用(x,y,z)表示。空间直角坐标系的性质唯一性每个空间点对应唯一的坐标，每个坐标对应唯一的空间点。可变换可以通过平移、旋转等变换改变坐标系的原点和方向，但不会改变空间点的位置。线性性空间点和坐标之间存在线性关系，这使得空间点的位置和方向可以线性表达。空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中，一个点可以用三个坐标值来表示。三个坐标值分别代表该点在x轴，y轴和z轴上的投影位置。x坐标表示点在x轴上的投影位置y坐标表示点在y轴上的投影位置z坐标表示点在z轴上的投影位置空间向量的表示向量起点与终点空间向量用带箭头的有向线段表示，起点为向量的起点，终点为向量的终点。向量的大小与方向空间向量的长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向。向量符号表示通常用小写字母加箭头表示空间向量，例如向量a，向量b等。空间向量的基本运算1向量加法首尾相接，首尾相连2向量减法共起点，平行且反向3数量乘法长度改变，方向不变空间向量基本运算包括加减法、数量乘法。向量加法遵循平行四边形法则，向量减法遵循三角形法则。数量乘法改变向量的长度，不改变方向。向量的数量乘积数量乘积的定义向量的数量乘积是指两个向量相乘得到一个数，也称为点积或内积。几何意义向量的数量乘积等于其中一个向量在另一个向量方向上的投影长度乘以另一个向量的模长。应用向量的数量乘积在计算向量之间的夹角、求向量的投影和计算工作量等方面具有广泛应用。向量的数量乘积的应用1计算距离向量数量乘积能够帮助我们计算空间中两点之间的距离。2求解面积它可用于计算平行四边形的面积，以及三角形的面积。3确定体积在三维空间中，数量积可用来求解平行六面体的体积。4投影分析向量数量乘积可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度。向量的点乘定义两个向量a和b的点乘定义为它们的模长乘积，再乘以它们夹角的余弦值，即a·b=|a||b|cosθ。几何意义向量a在向量b方向上的投影长度，乘以向量b的模长。向量的点乘的性质交换律两个向量的点乘结果与它们的顺序无关。分配律一个向量与两个向量之和的点乘等于该向量分别与这两个向量的点乘之和。结合律三个向量点乘时，可以先对任意两个向量进行点乘，然后与第三个向量点乘。零向量任何向量与零向量的点乘都等于零。向量的点乘的应用计算距离点乘可以用来计算两点之间的距离。计算夹角点乘可以用来计算两个向量之间的夹角。投影点乘可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。向量的叉乘右手法则右手食指指向第一个向量，中指指向第二个向量，拇指指向叉乘结果方向。垂直性两个向量叉乘的结果垂直于这两个向量所在的平面。平行四边形面积两个向量叉乘的结果模长等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。向量的叉乘的性质反交换律a×b=-b×a分配律a×(b+c)=a×b+a×c结合律(ka)×b=k(a×b)模长公式|a×b|=|a||b|sinθ向量的叉乘的应用11.求空间两直线的距离利用向量的叉乘，我们可以得到两条直线的方向向量，进而求得它们之间的距离。22.求空间两平面之间的夹角利用向量的叉乘，我们可以得到两个平面的法向量，然后计算它们的夹角。33.求空间点到平面的距离我们可以使用向量叉乘求得点到平面的垂线向量，再利用向量点乘求得距离。44.判断空间两直线的位置关系通过计算两个直线的方向向量的叉乘，我们可以判断它们是否平行、相交或异面。空间曲线的表示空间曲线可以用多种方法来表示，包括参数方程、向量方程和点坐标方程。参数方程是使用一个参数来描述空间曲线上的每个点，可以方便地描述曲线上的点。向量方程则使用向量来表示空间曲线，可以简洁地描述曲线的形状和方向。空间曲线的参数方程1参数方程使用一个或多个参数表示曲线上的点2参数独立变量，通常用t表示3坐标参数的函数，表示点的坐标空间曲线可以通过参数方程来表示，这种表示方式将曲线上每个点的位置用一个或多个参数来描述。参数通常用t表示，它是一个独立变量，而曲线上点的坐标则是参数的函数。通过参数方程，我们可以用简洁的方式描述空间曲线的形状和位置。空间曲线的切线方程切线方程的定义空间曲线在某一点处的切线是该曲线在该点附近的一条直线，它与曲线在该点处有相同的切向量。切线方程的求法首先求出曲线在该点处的切向量，然后利用点斜式方程即可写出切线方程。空间曲线的弧长空间曲线弧长是指曲线上的两点之间的距离，是曲线长度的度量。弧长可以通过积分计算，积分的被积函数为曲线的切线长度，积分区间为两点之间的参数范围。1公式L=∫ab1+(dydx)2dx2参数参数方程可以帮助计算弧长3应用在工程和物理学中有广泛应用空间曲线的平面方程曲线与平面交点曲线与平面相交时，它们在交点处具有相同的坐标值。曲线的参数方程使用参数方程可以表示空间曲线，方便求解曲线与平面的交点。切向量与法向量曲线在交点处的切向量与平面的法向量垂直，满足点乘为零。空间平面的表示空间平面是空间中一个无限延伸的二维图形。空间平面的表示方法有多种，例如：点法式方程一般式方程参数方程空间平面的方程点法式方程已知空间平面上的一个点和法向量，则可表示该平面的点法式方程。一般式方程空间平面方程的一般形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C不全为0。截距式方程当平面与坐标轴相交时，可表示该平面的截距式方程，该方程中，a、b、c分别表示平面与x轴、y轴、z轴的交点坐标。空间平面的交线定义两个不平行的平面相交，交线是一条直线。求交线求两个平面的交线，可以通过联立两个平面的方程，解方程组得到交线的参数方程。方向向量交线的方向向量可以由两个平面的法向量叉乘得到。应用在空间几何中，求空间图形的交线是一个重要问题，例如求两个平面图形的交线。空间平面的夹角空间平面夹角空间中两平面的夹角是指两平面法向量之间的夹角。夹角计算可以通过平面法向量的点乘来计算两平面的夹角。公式两平面的夹角公式为：cosθ=(n1·n2)/(|n1||n2|),其中n1和n2分别为两个平面的法向量。空间平面的投影11.投影的概念空间平面上的点和直线在另一个平面上的映射称为投影，投影后的图形称为投影图。22.投影的方向投影方向通常垂直于投影平面，即沿着投影平面法线方向进行投影。33.投影的应用投影技术应用于工程制