函数单调性题型分析课件

函数单调性题型分析函数单调性是高中数学的重要内容之一，也是高考中常见的考点。本节课我们将深入分析函数单调性的定义、判定方法和常见题型，并结合例题进行讲解。课程导入学习目标了解函数单调性概念和判断方法。掌握一阶导数和二阶导数的应用。学习重点如何利用导数判断函数单调性，以及应用单调性解决实际问题。什么是单调性直观理解单调性描述了函数图像的趋势，指的是函数值随着自变量的变化而变化的规律。单调递增如果自变量增加，函数值也随之增加，则函数是单调递增的。单调递减如果自变量增加，函数值反而减少，则函数是单调递减的。非单调如果函数图像既有上升趋势，也有下降趋势，则函数是非单调的。函数的单调性定义单调递增函数图像从左到右上升趋势。定义域内任意两个自变量，较大者对应函数值也较大。单调递减函数图像从左到右下降趋势。定义域内任意两个自变量，较大者对应函数值也较小。单调函数函数在定义域内保持单调性，要么递增，要么递减。单调递增和单调递减单调递增当自变量增大时，函数值也随之增大，则函数在该区间内单调递增。单调递减当自变量增大时，函数值随之减小，则函数在该区间内单调递减。判断函数单调性的方法11.定义法利用函数定义直接判断函数在某个区间上的单调性.22.图像法根据函数图像观察函数在某个区间上的变化趋势.33.导数法利用函数的一阶导数判断函数的单调性,这是最常用的方法.44.复合函数法对于复合函数,可以利用导数链式法则进行判断.利用一阶导数判断单调性1求导求函数的一阶导数。2符号分析导数在不同区间上的符号。3单调性根据导数符号判断函数的单调性。4结论得出函数的单调区间。一阶导数判断单调性是解题的关键。通过导数符号的变化，我们可以准确判断函数的单调区间。掌握这一方法，能有效提高解题效率。一阶导数示例分析一阶导数示例分析，通过具体函数，说明一阶导数如何判断函数的单调性。例如：f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的单调区间。求一阶导数：f'(x)=3x^2-6x令f'(x)=0，解得x=0或x=2在x=0和x=2之间，划分三个区间:(-∞,0),(0,2),(2,+∞)分别代入每个区间的值，判断f'(x)的正负性，从而确定f(x)的单调性利用二阶导数判断单调性二阶导数与凹凸性如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于零，则该函数在该区间上是凹的。二阶导数与拐点如果函数的二阶导数在某个点处变号，则该点称为函数的拐点。单调性判断利用二阶导数可以判断函数的凹凸性，从而辅助判断函数的单调性。二阶导数示例分析二阶导数可以帮助我们更深入地了解函数的性质，例如凹凸性、拐点等。通过分析二阶导数的符号，我们可以确定函数的凹凸性。如果二阶导数大于零，则函数是凹的；如果二阶导数小于零，则函数是凸的。例如，函数f(x)=x^3-3x^2+2的二阶导数为f''(x)=6x-6。当x<1时，f''(x)<0，函数是凸的；当x>1时，f''(x)>0，函数是凹的。因此，函数f(x)在x=1处有一个拐点。单调性应用题解题思路确定函数首先需要仔细阅读题意，分析题目中所涉及的函数关系，明确函数表达式。例如，题目可能会给出两个变量之间的关系，需要根据题意构建函数。确定区间根据题意，确定函数单调性需要研究的区间。区间可能是题目明确给出的，也可能需要根据题意进行推断。例如，题目可能要求研究某个变量的取值范围内的函数单调性，需要根据题目条件确定区间。单调性应用题例一函数单调性与不等式运用函数单调性可以轻松解决一些不等式问题，例如求解不等式解集或证明不等式成立。函数单调性和极值利用单调性判断函数在某个区间上的最大值或最小值，即函数的极值。单调性题例一解析单调递增区间函数图像在该区间内始终向上倾斜，对应函数值为递增趋势。单调递减区间函数图像在该区间内始终向下倾斜，对应函数值为递减趋势。拐点图像由递增变为递减，或由递减变为递增，该点即为拐点。单调性应用题例二11.设函数f(x)=x^3-3x^2+3x,求f(x)的单调区间.22.讨论函数g(x)=x^2-2x+1在x∈(0,2)上的单调性.33.已知函数h(x)=ax^2+bx+c在x∈(-∞,1)上单调递增,在x∈(1,+∞)上单调递减,求a,b,c的取值范围.44.设函数p(x)=x^3+ax^2+bx+c在x∈(-1,1)上单调递增,求a,b的取值范围.单调性应用题例二解析函数图像利用函数图像判断函数的单调性。图像上升的区间为单调递增区间，下降的区间为单调递减区间。导数分析利用导数分析判断函数的单调性，当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减。具体步骤先求出函数的导数，再确定导数为零的点或导数不存在的点，最后根据导数的符号判断函数的单调性。应用场景单调性应用题常出现在最大值、最小值、极值、拐点等问题的求解中，以及函数图像的绘制中。单调性应用题例三题目已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x,讨论函数f(x)在区间[0,2]上的单调性.单调性应用题例三解析关键步骤首先，确定函数的定义域。然后，求出函数的一阶导数，并令其等于零或不存在，找到函数的驻点和不可导点。单调性判断将定义域分成若干个区间，分别考察一阶导数的符号，判断函数在每个区间上的单调性。极值结合函数的单调性，找到函数的极值点，并求出极值。图像根据单调性信息，绘制函数图像，并标记出函数的极值点。单调性综合应用题应用场景综合应用题通常涉及多个知识点，例如求函数的最值，证明不等式等。解题步骤首先要分析题目条件，然后利用单调性性质进行解题，最后验证答案的正确性。技巧点注意区分不同类型的单调性应用题，灵活运用单调性判定方法，提高解题效率。单调性综合应用题解析11.审题首先，仔细阅读题目，确定题目所求，并理清题目中的已知条件和隐含条件。22.建立模型根据题目所给条件，建立函数模型，并确定函数的定义域。33.求导分析对函数求一阶导数，分析导数的符号，确定函数的单调区间。44.解答问题根据函数的单调性，结合题目所求，得出最终的结论。单调性判断小技巧特殊函数对于一些常见的特殊函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以直接利用它们的单调性判断函数的单调性。图像法通过函数图像，我们可以直观地判断函数的单调性。如果函数图像在某个区间上是上升的，则函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果函数图像在某个区间上是下降的，则函数在这个区间上是单调递减的。分类讨论对于比较复杂的函数，我们可以根据函数的不同性质进行分类讨论，分别判断函数在不同区间上的单调性。单调性判断小技巧举例图形法利用函数图像判断单调性，观察函数图像在定义域内是否单调上升或下降。增减性判断通过观察函数表达式，判断函数在不同区间的增减性，例如，对于二次函数，当系数大于0时，开口向上，函数在x轴左侧递减，右侧递增。导数法利用导数的符号判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。特殊函数对于一些常见函数，例如指数函数、对数函数等，可以直接利用它们的性质判断单调性。单调性问题分类总结函数单调性判断根据导数的符号判断函数的单调性。函数单调性应用利用单调性解决函数的最值问题，不等式证明等。单调性综合题综合应用单调性判断和应用。单调性问题分类总结211.单调性判断函数单调性的判断是基础，需要熟练掌握利用导数判断单调性的方法。22.单调区间求解利用导数结合函数的定义域，求出函数的单调区间。33.单调性应用单调性是解决函数性质、不等式证明、最值问题的重要工具。44.综合应用将单调性与其他知识点结合，解决更复杂的问题。单调性问题解题方法总结方法一：一阶导数法利用函数导数的符号判断函数的单调性，是解决单调性问题最常用的方法。方法二：二阶导数法利用函数二阶导数的符号判断函数的凹凸性，从而间接判断函数的单调性，适用于一些特殊情况。方法三：函数图像法利用函数图像的形状直观判断函数的单调性，适用于一些简单函数的单调性判断。方法四：定义法直接利用函数单调性的定义，通过比较函数值的大小来判断函数的单调性，适用于一些特殊情况。单调性问题考点梳理单调性定义理解单调递增和单调递减的概念，掌握判断函数单调性的方法。导数判断熟练运用一阶导数和二阶导数判断函数单调性，并理解其背后的原理。应用题掌握单调性应用题的解题思路，能够将单调性知识应用于实际问题中。图像分析通过观察函数图像，能够直观地判断函数的单调性，并结合导数分析进行验证。课程小结本节课讲解了函数单调性定义、判断方法以及应用。从一阶导数、二阶导数等角度分析了判断单调性的技巧，并通过多个实例分析了应用题的解题思路。拓展练习例1函数f(x)=x^3-3x^2+3x+1在区间(0,2)上的单调性如何？例2求函数f(x)=x^2+2x-3在区间[-3,1]上的最大值和最小值。例3已知函数f(x)=x^3-3ax^2+3a^2x，当a>0时，求函数f(x)在区间[0,a]上的单调区间。例4讨