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倒卖拉黑,关注更新免费领取,淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑,关注更新免费领取,淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.3.2等比数列的前n项和公式一、单选题1.某人于2020年6月1日去银行存款a元,存的是一年定期储蓄,2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄,此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款.设银行定期储蓄的年利率r不变,则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时,取出的钱共有(
)A.元 B.元 C.元 D.元2.设数列的前项和为,若,,则(
)A. B. C. D.3.设Sn是等比数列{an}的前n项和,,则等于(
)A. B. C. D.4.在正项数列中,首项,且是直线上的点,则数列的前项和(
)A. B. C. D.5.已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为,且,则(
)A. B. C. D.二、多选题6.设数列前项和,且,,则(
)A.数列是等差数列 B.C. D.7.已知是数列的前项和,且,,则(
)A.数列是等比数列 B.恒成立C.恒成立 D.恒成立8.“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后,既没有办法稳定下来,也没有办法转变为新的形态,而只能不断地在内部变得更加复杂的现象,热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形ABCD的边长为,第2个正方形EFGH的边长为,…),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形AEH的面积为,第2个直角三角形EQM的面积为,…),则(
)A.数列是公比为的等比数列 B.C.数列是公比为的等比数列 D.数列的前n项和三、填空题9.已知数列的通项公式为,,设是数列的前n项和,若对任意都成立,则实数的取值范围是__________.10.已知函数(k为常数,且).下列条件中,能使数列为等比数列的是______(填序号).①数列是首项为2,公比为2的等比数列;②数列是首项为4,公差为2的等差数列;③数列是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.11.已知数列的前项和,则数列的前10项和为______.四、解答题12.已知公比大于的等比数列满足.(1)求的通项公式;(2)求.13.已知数列的前n项和为Sn,满足.(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立,求实数λ的取值范围.14.已知等比数列的公比,且,是,的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)证明:,设的前项的和为,求证:.参考答案:1.D【分析】根据从2021年6月1日起,将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄,即求解.【详解】设此人2020年6月1日存入银行的钱为元,2021年6月1日存入银行的钱为元,以此类推,则2025年6月1日存入银行的钱为元,那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元.由题意,得,,,……,,所以.故选:D.2.A【分析】先利用求通项公式,判断出为等比数列,直接求和.【详解】在中,令,得,所以.由得,两式相减得,即,又,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.故选:A.【点睛】(1)数列求通项公式的方法:①观察归纳法;②公式法;③由Sn求an;④累加(乘)法;⑤由递推公式求通项公式;(2)数列求和常用方法:①等差(比)公式法;②倒序相加法;③分组求和法;④裂项相消法;⑤错位相减法.3.B【分析】由题意,用基本量表示,化简可得,再表示,化简可得,代入即得解【详解】设公比为q,∵,∴q≠1.故选:B4.B【分析】由题意,代入点坐标进入直线方程可得,即数列是首项为2,公比为2的等比数列,利用等比数列求和公式即得解【详解】在正项数列中,,且是直线上的点,可得,所以,可得数列是首项为2,公比为2的等比数列,则的前项和.故选:B5.C【分析】先根据,,成等差数列以及单调递减,求出公比,再由即可求出,再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.【详解】解:由,,成等差数列,得:,设的公比为,则,解得:或,又单调递减,,,解得:,数列的通项公式为:,.故选:C.6.BCD【分析】利用与的关系求出数列的通项公式,可判断AB选项的正误;利用等比数列的求和公式可判断C选项的正误;利用裂项求和法可判断D选项的正误.【详解】对任意的,.当时,,可得;当时,由可得,上述两式作差得,可得,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,A选项错误,B选项正确;,所以,,C选项正确;,,所以,,D选项正确.故选:BCD.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于型数列,其中是等差数列,是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于型数列,利用分组求和法;(4)对于型数列,其中是公差为的等差数列,利用裂项相消法求和.7.BC【分析】根据条件写出,两式作比可得,为隔项等比数列,由,代入计算可得,代入可求出通项公式,进而求出前项和公式,从而判断选项的正误.【详解】,故,又,故,故,,所以A错误,B正确;,,所以C正确,D错误.故选:BC.【点睛】思路点睛:数列中出现两项的和或积时,经常令代替再写一项,两式做差或做商,从而找出隔项的关系,进而求出通项公式.8.BD【分析】应用勾股定理、三角函数得到此过程中前后两个正方形的边长关系,即可知A、C正误,并写出的通项公式,进而求通项公式,即知B、D正误.【详解】由题设,,若,则,即,∴,即,,故,B正确;∴,以此类推可得,∴是公比为的等比数列且,A、C错误;由图知:,而,∴,故,D正确.故选:BD9.【分析】化简数列将问题转化为不等式恒成立问题,再对n分奇数和偶数进行讨论,分别求解出的取值范围,最后综合得出结果.【详解】根据题意,,.①当n是奇数时,,即对任意正奇数n恒成立,当时,有最小值1,所以.②当n是正偶数时,,即,又,故对任意正偶数n都成立,又随n增大而增大,当时,有最小值,即,综合①②可知.故答案为:.10.②【分析】由题意先求出的通项公式,再由等比数列的定义即可判断①②③;【详解】①中,,即,得,∵常数,∴数列不是等比数列;②中,,即,得,且,∵,且为非零常数,∴数列是以为首项、为公比的等比数列;③中,,即,得,∵常数,∴数列不是等比数列.故答案为:②.11.【解析】根据可求得的通项公式,经检验,满足上式,所以可得,代入所求,利用裂项相消法求和,即可得答案.【详解】因为,所以,所以,又满足上式,所以,所以,所以数列的前10项和为,故答案为:【点睛】解题的关键是根据,求得的通项公式,易错点为,若满足上式,则写成一个通项公式的形式,若不满足上式,则需写成分段函数形式,考查计算化简的能力,属中档题.12.(1);(2)【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组,求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式;(2)首先求得数列的通项公式,然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.【详解】(1)设等比数列的公比为q(q>1),则,整理可得:,,数列的通项公式为:.(2)由于:,故:.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.13.(1)证明见详解;(2)【分析】(1)利用得,变形得,则可证明等比数列,根据等比数列的通项公式可得答案;(3)令,通过计算的正负,求出的最大值,将题目转化为,解不等式即可.(1)①②①-②得,即,变形可得,又,得故数列是以-1为首项,为公比的等比数列,由等比数列的通项公式可得,.(2)令,则当或时,,当时,又,,因为不等式对任意的正整数恒成立,,解得.14.(1);(2)证明见解析.【分析】(
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