4.2.2 等差数列的前n项和公式（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.2.2等差数列的前n项和公式一、单选题1．在等差数列中，若，则其前9项的和等于（

）A．18 B．27 C．36 D．92．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝（

）A．6 B．7 C．8 D．93．数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．4．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（

）A．290 B．325 C．362 D．3995．已知各项为正的数列的前n项和为，满足，则的最小值为（）A．4 B．3 C．22 D．二、多选题6．已知等差数列的前n项和为，且，则（）A．在数列中，最大B．在数列中，或最大C．

D．当时，7．已知是数列的前项和，，则（

）A．B．C．当时，D．当数列单调递增时，的取值范围是8．古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则（

）A． B．C． D．三、填空题9．若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.10．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.11．已知等差数列的前项和为，，，则___________.四、解答题12．已知为数列的前项和，且（，为常数），若，．求：(1)数列的通项公式；(2)的最值．13．已知一个等差数列的前4项和为32，前8项和为56．(1)求、的值；(2)通过计算观察，寻找、、、之间的关系，你发现什么结论？(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．14．已知数列中，，（，），数列满足．(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)求；(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．参考答案：1．A【分析】根据等差数列的性质计算出，利用等差数列求和公式求出答案.【详解】因为是等差数列，所以，解得：，所以.故选：A2．C【分析】利用等差数列的性质以及前n项和公式进行求解.【详解】因为{an}为等差数列，a1＝1，a3＝5，所以公差，又Sn＝64，所以，解得n＝8(负值舍去)．故A，B，D错误.故选：C.3．B【分析】根据递推公式得到数列是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出，得到答案.【详解】数列满足，则数列是等差数列，设等差数列的公差为.因为，所以，即.所以，所以，，，所以，.故选：B4．B【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得.【详解】设该数列为，则由，，，，…可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故，故，则，，，…，，上式相加，得，即，故.故选：B.5．A【分析】由数列的递推式可得，继而结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案.【详解】各项为正的数列,,∵，∴，∴时，，化为：，∵,又，解得．∴数列是等差数列，首项为1，公差为2．∴,∴,∴,，当且仅当n=2时取等号,∴的最小值为4．故选：A．6．AD【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD正确，B错误，结合等差数列的性质可判断，判断C.【详解】为等差数列，∵，且，∴，即，∴{an}是递减等差数列，最大，当时，，当时，，故AD正确，B错误，，则，故C错误，故选：AD．7．ACD【分析】A选项，根据，得到，A正确；与得到，当时，不成立，B错误；当时，得到为奇数时为等差数列，为偶数时也是等差数列，利用等差数列求和公式得到答案；D选项，方法一：根据，，，依次类推可知；方法二：写出，，根据且求出答案.【详解】，①时，，②①－②，，A正确；当时，，即；当时，，∴，时，不满足条件，B错误；时,因为，所以，则，满足，故此时①，又②，两式相减得：，为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项；为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项，所以，C正确；是单调递增数列，∴，即，即；，即，即；，即，即，即，，即，依次类推可知，D正确.对于D，法二：由，，要使单调递增，则必有且，∴且，D正确，故选：ACD.【点睛】数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解.8．ABD【分析】分析题意，可求得的表达式，从而得的表达式，逐项验证即可.【详解】解：由题意可知，，故B正确；，所以，故A正确；，故D正确；所以，故C不正确．故选：ABD.9．【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：依题意可得；故答案为：10．7【分析】先利用等差数列的性质结合已知条件可求出的值，再利用等差数列的求和公式列方程可求出项数的值.【详解】因为等差数列的前四项和为21，末四项和为67，所以，所以，所以，因为等差数列的前项和为77，所以，解得，故答案为：711．【分析】设等差数列的公差为，推导出数列为等差数列，且公差为，求出的值，可求得的值，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，，则，所以，数列为等差数列，且公差为，所以，，故，所以，.故答案为：.12．(1)或(2)答案见解析【分析】（1）利用可求得；利用可求得或；利用或可求得公差，进而得到等差数列通项公式；（2）利用等差数列求和公式表示出，由二次函数的性质可求得最值.（1），；，或；当时，，；当时，，；综上所述：或.（2）当时，，则，；无最大值；当时，，则；则当或时，取得最大值，无最小值.13．(1)，(2)，，，成等差数列．(3)已知是等差数列，前n项和为，则，，，…，，…成等差数列；证明见解析．【分析】（1）设公差为，由等差数列前项和公式列方程组求得和，再计算出，；（2）由（1）求出，，，后可得结论；（3）根据等差数列的定义证明．（1）设公差为，则，解得，，；（2）由（1）得，，，，所以，，，成等差数列；（3）设公差为，则，同理，所以为常数，所以，，，…，，…成等差数列．14．(1)证明见解析；(2)①时，=；②时(3)，；理由见解析【分析】（1）根据，代入证明为常数即可；（2）由（1）可得，再分与两种情况，去绝对值后求和即可；（3）由（1）可得，再根据函数的单调性判断中的最值即可.