4.2.1 等差数列的概念（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.2.1等差数列的概念一、单选题1．已知数列满足，其中，则（

）A．1 B． C．2 D．2．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（

）A．3 B． C．5 D．3．设是等差数列，且，，则（

）A． B． C． D．4．“a，b，c成等差数列”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为（

）A． B． C． D．二、多选题6．（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（

）A． B． C． D．8．若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（

）A． B． C． D．三、填空题9．韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将．历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法．有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数．设有m个士兵，若，符合条件的m共有___________个．10．已知数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，则a11＝____．11．设等差数列满足，，若，则项数n的最大值是______．四、解答题12．已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：(1)原数列的第12项是新数列的第几项？(2)新数列的第29项是原数列的第几项？13．已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列．14．等差数列中，，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和，其中表示不超过的最大整数，如，．参考答案：1．C【分析】根据已知递推关系，可以得到，数列为等差数列，然后利用等差数列的性质求得的值.【详解】由，得是等差数列，.故选：C2．D【分析】由求得公差.【详解】依题意，等差数列的通项公式，，所以公差为.故选：D3．C【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.【详解】解：是等差数列，，，成等差数列，，.故选：C.4．C【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可．【详解】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件；若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件，故选：C．5．D【分析】利用即可整理求得公差.【详解】，为等差数列，为等差，设其公差为，则.故选：D.6．ABC【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．故选：ABC．7．BD【分析】设方程的四根分别为、、、，利用等差数列的基本性质结合韦达定理可求得这四个数的值，进而可求得、的值，即可得解.【详解】设方程的四根分别为、、、，则数列、、、是首项为的等差数列，设其公差为，由等差数列的性质可得，①若、为方程的两根，则、为方程的两根，由韦达定理可得，可得，，则，，此时，，则；②若、为的两根，、为方程的两根，同理可得，，则.综上所述，.故选：BD.8．ACD【分析】依据相邻俩项的差是否为常数逐一判断即可【详解】设等差数列的公差为d，当时，.对于A，，为常数，因此是等差数列；故A正确对于B，，不为常数，因此不是等差数列；故B错误对于C，，为常数，因此是等差数列；故C正确对于D，，为常数，因此是等差数列.故D正确故选：ACD.9．10【分析】由题意，m除3余2、除5余3、除7余4，可得m最小的项为53，且为公差的等差数列，即可由求解.【详解】由“三三数之，剩二”知，m是等差数列5，8，11，14，…中的项，其中满足“五五数之，剩三”的最小数是8，故m是等差数列8，23，38，53，…中的项，其中满足“七七数之，剩四”的最小数是53，故m是等差数列53，158，263，368，…中的项，可得通项公式，令，解得，且，故符合条件的m共有10个．故答案为：10.10．﹣4【分析】根据等差数列首项和第3项的值得到公差，进而得到第11项，从而求解a11的值.【详解】因为数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，所以数列的公差d，所以（11﹣1）×（），则a11＝﹣4．故答案为：﹣4．11．8【分析】利用等差中项的性质有、，即可判断数列的正负边界位置，即可得结果.【详解】由，而，所以，故等差数列递减，所以，对于等差数列，要使最大n值为8.故答案为：812．(1)第45项(2)第8项．【分析】(1)设新数列为，由等差数列通项公式求出其通项，再确定两数列的项的关系，由原数列的项数求对应的新数列的项数；(2)由(1)的结论，由新数列的项数求原数列的项数.（1）设新数列为，则，，根据，有，即，所以，所以．又因为，所以．即原数列的第n项为新数列的第项．当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项．（2）由(1)，令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项．13．证明见解析【分析】将点坐标代入直线方程可得，结合可得结论.【详解】点在直线上，，即；又，，数列是以为首项，为公差的等差数列.14．(1)；(2)7.【分析】（1）利用等差数列的基本量运算即得；（2）由题可得，进而可得数列的前5项，即