高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修2习题：第一章-3应用案巩固提升-含答案

[A基础达标]1．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A.eq\f(r\r(h),2) B．eq\f(r2h,4)C.eq\r(3,\f(r2h,4)) D．eq\f(r2h,2)解析：选C.因为eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝eq\r(3,\f(r2h,4)).2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的()A．2倍 B．eq\r(2)倍C．2eq\r(2)倍 D．eq\r(3,2)倍解析：选C.设原来球的半径为r，扩大后球的半径为R，依题意可知eq\f(4πR2,4πr2)＝2，所以R＝eq\r(2)r.所以eq\f(\f(4,3)πR3,\f(4,3)πr3)＝eq\f(R3,r3)＝eq\f(（\r(2)r）3,r3)＝2eq\r(2).即球的体积扩大到原来的2eq\r(2)倍．故C正确．3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()第3题图第4题图A．9π＋42 B．36π＋18C.eq\f(9,2)π＋12 D．eq\f(9,2)π＋18解析：选D．由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V球＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9π,2)，V长方体＝2×3×3＝18.所以V总＝eq\f(9,2)π＋18.4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A．12π B．24πC．32π D．48π解析：选D．由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为eq\r(3)×4＝4eq\r(3)，即球的半径为2eq\r(3)，所以该球的表面积是4π(2eq\r(3))2＝48π.5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P­DCE的外接球的体积为()A.eq\f(4\r(3)π,27) B．eq\f(\r(6)π,2)C.eq\f(\r(6)π,8) D．eq\f(\r(6)π,24)解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体P­CDE，我们容易求得该正四面体外接球半径为eq\f(\r(6),4)，所以外接球的体积V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6)π,8).6.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为xcm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－eq\f(4,3)πx3×3，解得x＝4.答案：47．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意建立方程组，设两球半径分别为R、r(R＞r)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝48π，,2πR＋2πr＝12π，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2－r2＝12，,R＋r＝6，))所以R－r＝2.答案：28．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2eq\r(2)等于球的直径，则球的半径是eq\r(2)，则此球的体积为eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.答案：eq\f(8\r(2),3)π9．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的eq\f(1,6).(1)求r和h；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4cm处，求水的体积．解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的eq\f(1,6)，所以半球部分与圆柱体部分容量比为eq\f(1,5)，即eq\f(1,5)＝eq\f(\f(4,3)πr3×\f(1,2),πr2×h)，所以h＝eq\f(10,3)r，eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)＝108π×eq\f(1,6)，所以r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)＋πr2×(h－4)＝eq\f(4,3)π×33×eq\f(1,2)＋π×32×6＝72π(cm3)．10．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a.如图所示．图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.图(2)中球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.图(3)中正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.[B能力提升]1．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()A．S球＜S圆柱＜S正方体 B．S正方体＜S球＜S圆柱C．S圆柱＜S球＜S正方体 D．S球＜S正方体＜S圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝eq\f(4,3)πR3＝a3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))eq\s\up12(3)＝eq\f(3,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,r)))eq\s\up12(3)＝2π，S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，eq\f(S球,S圆柱)＝eq\f(4πR2,6πr2)＝eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))eq\s\up12(2)＝eq\r(3,\f(2,3))＜1，eq\f(S正方体,S圆柱)＝eq\f(6a2,6πr2)＝eq\f(1,π)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,r)))eq\s\up12(2)＝eq\r(3,\f(4,π))＞1.故选A.2．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为________．解析：如图，过正三棱锥P­ABC的顶点P作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，|PM|＝6，连接AM，AO，则|OP|＝|OA|＝R，在Rt△OAM中，|OM|＝6－R，又|AB|＝6，且△ABC为等边三角形，故|AM|＝eq\f(2,3)eq\r(62－32)＝2eq\r(3)，则R2－(6－R)2＝(2eq\r(3))2，则R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝64π.答案：64π3．若一个底面边长为eq\f(\r(3),2)，侧棱长为eq\r(6)的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求这个球的体积．解：如图，O1O2＝eq\r(6)，OO1＝eq\f(\r(6),2)，AO1＝eq\f(\r(3),2)，所以AO＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3,2)，即R＝eq\f(3,2).所以V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9,2)π.4．(选做题)已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a，PB＝eq\r(3)a，PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，且PD是四棱锥的高．在四棱锥内放入一球，求球的最大半径．解：当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等．设球的半径为R，球心为S，如图，连接SA，SB，SC，SD，SP.因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S­PAB，S­PBC，S­PCD，S­PAD与四棱锥S­ABCD的高都为R，且它们恰好组合成四棱锥P­ABCD．因为PD为四棱锥P­ABCD的高，PD＝AD＝BC＝a，四边形ABCD为正方形，又PA＝PC＝eq\r(2)a，PB＝eq\r(3)a，所以PB2＝PA2＋AB2＝PC2＋BC2，所以△PAB，△PCB为直角三角形且全等．所以S△PAB＝S△PCB＝eq\f(1,2)·a·eq\r(2)a＝eq\f(\r(2),2)a2，S△PDA＝S△PDC＝eq\f(1,2)a2，S正方形ABCD＝a2，所以VP­ABCD＝eq\f(1,3)·a2·a＝eq\f(1,3)a3.VS­PAB＝VS­PBC＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(2),2)a2·R＝eq\f(\r(2),6)a2R，VS­PAD＝VS­PDC＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)a2·R＝eq\f(1,6)a2R，VS­ABCD＝eq\f(1,3)·a2·R＝eq\f(1,3)a2R，因为