2024届上海市文绮中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

2024届上海市文绮中学高三冲刺模拟数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过抛物线C的焦点且与C的对称轴垂直的直线/与C交于A,8两点，IAB|=4,0为C的准线上的一点，则AABP

的面积为（）

A.1B.2C.4D.8

2.过椭圆。：£+营=1（。〉匕>0）的左焦点〃的直线过C的上顶点3,且与椭圆C相交于另一点A,点A在轴

3

上的射影为4,若\F渴O\=W，o是坐标原点，则椭圆。的离心率为（）

A.立B.3C.1D.也

2322

3.设等差数列｛〃”｝的前〃项和为S〃，且58=0,%=-3,则S,）=（）

A.9B.12C.-15D.-18

4.等比数列｛%｝中，4=：M=2,则（与《的等比中项是（）

8

A.±4B.4C.±-D.-

44

x+y-l>0

5.已知实数工，）‘满足不等式组（21-），+420,则|3x+4乂的最小值为（）

4x+y-4<0

A.2B.3C.4D.5

6.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又

称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1））,

类比“赵爽弦图%可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个

大正六边形，设A'/'=2/幺，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）

7.已知集合4={工|1082(工-1)<2),8=乂则4-8=()

A.{23,4,5}B.{2,3,4}C.{1,23,4}D.{0,1,2,34)

8.已知48是过抛物线J，？=4x焦点尸的弦，O是原点，则0408=()

A.-2B.-4C.3D.—3

9.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2x2列联表，由计算得K2=7.218,参照下表:

P(K?NQ0.010.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

得到正确结论是()

A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”

B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”

C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”

I).在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”

10.若复数z满足(l+3i)z=(l+i)2,则|z若()

「Mn而

L‘If«，

4-425

ii.已知数列｛q｝的通项公式为4=2〃+2,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记“为数阵从左至右的〃列,

从上到下的〃行共小个数的和，则数列4的前2020项和为()

%%%…4.2

••••••........

ait4+1an+2…4小

101120192020101()

A.-------B.-------C.-------D.------

2020202020212021

12.已知双曲线二-5=1（。>0/>0）的左、右顶点分别是A8,双曲线的右焦点/为（2,0）,点夕在过厂且垂

a~b~

直于八•轴的直线/上，当AA5P的外接圆面积达到最小时，点，恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）

*>)

三上=1B..卜

22

匚上=1

C.—-v2=lD.

3.44

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

>2)，-2VO

13.设K.).满足约束条件Jx-y-iwo则z二a二的取值范围是,

），+2

2x+y+l>0

14.如图，半球内有一内接正四棱锥S-A5CZ）,该四棱锥的体积为逑，则该半球的体积为.

3

15.已知全集U={1,2,3},A={2},则djA=.

16.已知数列&}满足q=1,%对任意〃22,〃wN*,若%（41T+2qm）=34i4”则数列{叫的通项公式

可=-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合

作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准.提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：

表1：新农合门诊报销比例

医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院

(1)求曲线C的标准方程；

(2)设点股的横坐标为与，4,8为圆M与曲线。的公共点，若直线AB的斜率攵=1,且.%£[(),4]，求/的值.

22.(10分)己知函数/(x)=2\g(x)=f+2分.

(1)当。=-1时，求函数.>，=/(式幻)(一2效/3)的值域.

(2)设函数心)=["幻，若必>(),且〃(x)的最小值为巫，求实数。的取值范围.

g(x),x<b2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

/\

设抛物线的解析式y2=2pM〃>0)，得焦点为产§，0,对称轴为不轴，准线为X=-9，这样可设A点坐标为

(5,2),代入抛物线方程可求得〃，而P到直线A8的距离为〃，从而可求得三角形面积.

【详解】

设抛物线的解析式/=2PMp>0),

则焦点为对称轴为工轴，准线为x=—4，

U)2

V直线/经过抛物线的焦点，4,3是/与C的交点，

/\

又A8_L;t轴，・♦可•设A点坐标为§,2,

代入V=2px,解得〃=2,

又•・•点P在准线上，设过点P的■的垂线与八B交于点。，\DP\=^+-^=p=2f

^S^BP=^\DP\.\AR\=^X?.X4=4.

故应选C.

【点睛】

本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A点坐标，从而求得参数〃的值.本题难度一

般.

2、D

【解析】

[F。]3UUUULU

求得点3的坐标，由上T=得出8b=3~4,利用向量的坐标运算得出点A的坐标，代入椭圆C的方程，可得

\AA|4

出关于。、b、。的齐次等式，进而可求得椭圆C的离心率.

【详解】

由题意可得B(O,b)、F(-c,O).

F03得版4则置;LUIUUll

由即BF=3FA・

AA418Al4E4|1

•(rh\(4/?、

而BF=(-c,-b),所以E4=,所以点A一工仁一工.

(4八f/(/JJ纤

因为点A--G--在椭圆(?:=+与=1上，则I3JI3),，

33)a~b~-'/=1

crb~

整理可得蛆.£_=号，所以/=£_=_!_,所以e=x2.

9a29a222

即椭圆。的离心率为立

2

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出。、/八c的齐次等式，充分利用点4在椭圆上这一条件，围绕

求点A的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.

3、A

【解析】

由$8=0,%=-3可得4，"以及%,而§9=58+%，代入即可得到答案.

【详解】

4+2d=-3,

4=-7,

设公差为，，则二巴小,解得'

d=2,

%=4+&/=9,所以S9=Sg+佝=9.

故选：A.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.

4、A

【解析】

利用等比数列｛qj的性质可得,即可得出.

【详解】

设色与小的等比中项是X.

由等比数列｛q｝的性质可得d=444，，x=±a6.

:.心与册的等比中项x=±a6=±—x2^=±4.

8

故选A.

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题.

5、B

【解析】

作出约束条件的可行域，在可行域内求z=3x+4y的最小值即为|3x+4.y|的最小值，作），=-（工，平移直线即可求解.

【详解】

x+y-\>0

作出实数二，）'满足不等式组］2x-y+4Z0的可行域，如图（阴影部分）

4x+y-440

故Zmin=3xl+°=3,

即|3X+4J，|的最小值为3.

故选：B

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.

6、D

【解析】

设AU=〃，则A'F'=2^,小正六边形的边长为AF'=2a,利用余弦定理可得大正六边形的边长为A8="a,再

利用面积之比可得结论.

【详解】

由题意，设AF'=〃，则A'F=2a,即小正六边形的边长为AF'=为，

所以，FF=3a,乙AFF=%,在中，

由余弦定理得\F-=AF,2+FF,2-2A9口'•cosZAFT，

即AF2=/+(3a『-2a-3acos-,解得AF=5a,

3

所以，大正六边形的边长为A尸=

所以，小正六边形的面积为S|=gx2ax2〃x1gx2+2ax2Ga=6百,广，

大正六边形的面积为S?=gxJ7axJ7ax曰'X2+

S.4

所以，此点取自小正六边形的概率2n=寸=弓.

32/

故选：D.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

7、B

【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.

【详解】

集合A={x|Iog2(x-l)<2},解得A={耳1vrv5},

B二N,

由集合交集运算可得Ac8=何1<xv5}cN={2,3,4},

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.

8、D

【解析】

设,B号，必，设A3：x=my+\t联立方程得到乂为=与，计算

22

OAOB=早-+升先得到答案.

【详解】

设，故0A・0B=^^-+)，］%,

x=tny+1

易知直线斜率不为0,设A8：x=〃"+l,联立方程)21

y=4x

得到丁-4"少-4=0,故乂为二-4,故。4-08="2上+,％=-3.

16

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为x=，〃)，+1可以简化运算，是解题的关键.

9、B

【解析】

通过K2=7.218与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.

【详解】

解:公^7,218>6.635,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.

【点睛】

本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.

10、D

【解析】

先化简得？=1+gi,再求|z|得解.

【详解】

2i_2i(l-3i)=3J.

^-T+3^-~10-~5+51'

所以|zk半.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11、D

【解析】

由题意，设每一行的和为q,可得Cj=《+qM+...+《+i=〃(〃+2i+l),继而可求解

,n\

a=q+c,+...+C.=2〃“(〃+1),表示7-=不；^---裂项相消即可求解.

【详解】

由题意，设每一行的和为q

故q=《+4+]+...+a.*.=©+：“,)〃=〃(〃+2i+1)

因此：b”=ci+c2+...+c〃=川(〃+3)+。?+5)+...+(〃+2〃+1)]=2〃?(〃+1)

bn2〃(〃+l)2nn+\

“1,111111,1、1010

故§2020++1-----------)=—(1------)=-----

20202021220212021

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

12、A

【解析】

点〃的坐标为（2,m）（机>0）,tanZAPB=tan（ZAPF-ZBPF）,展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线

计算得到答案.

【详解】

不妨设点P的坐标为（2,相由于为定值，由正弦定理可知当sinNAPB取得最大值时，A4PB的外接

圆面积取得最小值，也等价于tanNAP△取得最大值，

因为tanNAP"=qi2,tan/8P/7=2心，

mtn

2+a2-a

所以tan/APB=lan(ZAPF-

-NBPF)f=TJ2~+42=—ab2「b2=b-f

1+6+—2bn-

〃？mVm

当且仅当〃?二2（m>0）,即当〃?=b时，等号成立，

m

此时N4P3最大，此时AP8的外接圆面积取最小值，

点P的坐标为（2,/?）,代入一一=1可得a=，b-yjc2-a2—\/20

a~h~

所以双曲线的方程为二-二=：1.

22

故选：A

【点睛】

本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

作出可行域，将目标函数Z=缶整理为:=*可视为可行解（x,y）与的斜率，则由图可知!44或

分别计算出％与鼠，再由不等式的简单性质即可求得答案.

z

【详解】

x+2y-2<0

作出满足约束条件的可行域，

2x+y+l>0

显然当1二-1时，z=0；

当XH-1时将目标函数？=罟整理为-=匕2可视为可行解（乂y）与（-1,-2）的斜率，则由图可知,〈占或

）'+2ZXI1Z

—>A,

z

x+2y-2=0_

显然&=1，联立（2x+y+\=0"所以-

y=|一品㈠）

则［«-11或故—~!"Vz<0或0<zWl

ZZ11

综上所述，zeJ

H

【点睛】

本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.

“4夜

14、----7：

3

【解析】

由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积

的关系，进而求得结果.

【详解】

设所给半球的半径为R,则四棱锥的高/?:/?,

则AB=BC=CD=DA=42R，由四棱性的体积出^=/?=>/?=&，

半球的体积为：24/?3=生色万.

33

【方法点睛】

涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题

转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心

的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体己知量的关系，列方程（组）求解.

15、{1,3}

【解析】

利用集合的补集运算即可求解.

【详解】

由全集U={1,2,3},A={2},

所以々A={L3}.

故答案为：{1,3}

【点睛】

本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.

【解析】

/、I1〜11、I1

=2",再利用

由4(41T+24+J=可得;;一——=2(：-—),利用等比数列的通项公式可得^——-

a”+iGnanan-\4*1a

累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.

【详解】

..11,11、

由4(qT+2q+J=3a,i4用，得；;-——=2(--—)

。”+1GnClnan-\

11c,1।、

---------=2,数列J{------------}是等比数列，首项为2,公比为2,

生4-4

n

——-=2\n>2,-——-=2-'f

4,山a,凡0-

1-2

〃=1-=1,满足上式，%==

42-

故答案为：：^二.

2"-1

【点睛】

本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(II)X的发分布列为:

X2060140400

P0.70.10.150.05

期望£Y=61.

【解析】

(I)由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁

所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；

(H)由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得X的分布列，进而求

出概率.

【详解】

解：(I)由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三

甲医院人数为2000x70%=1400,2000x10%=200,2000xl5%=300,2000x5%=100,

而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%,所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为:

100x80%=80人，

设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为A,则P(A)=M=啜；

(II)由题意可得随机变量X的可能取值为：50-50x0.6=20,100-100x0.4=60,200-200x0.3=140,

500-500x0.2=400,

/XX=20)=0.7,P(X=60)=0.1,P(X=140)=0.15,P(X=4()())=0.051

所以X的发分布列为：

X2060140400

P0.70.10.150.05

所以可得期望=20x0.7+60x0.1+140x0.15+400x0.05=61.

【点睛】

本题主要考查互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

18、(1)见解析(11),8,2-5

【解析】

(I)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可；(H)将原问题进行等价转化为

«+—Vxe(O,-Kx),Va«l,3］恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数。的取值范围即可.

【详解】

解：(I)当。=0时，/z(x)=2a--=>0),

XX

当aKO时，/'(“<0在(0,”)上恒成立，函数/(X)在(0,内)上单调递减;

当〃>0时，由/'(x)<0得：0<x<,1

由:(力>。得:x>—.

・••当4W0时，函数/(x)的单调递减区间是((),+8),无单调递增区间:

当〃>0时，函数的单调递减区间是(0,5),函数的单调递增区间是(5,+8

(II)对任意的4w［1,3］和工£(0,”)，f(x)>2bx-3恒成立等价于:

2ax+bx-i-2\nx>2bx-3fVXG(0,-KO),Vaw[l,3]恒成立.

即4H-------N—,Vx£(0,+oo),Vaw[l,3]恒成立.

JCJC2

令：g(工)=〃+，-也，67G[1,3],XGIO,-KX>),

.1X

11—ImIrrv—2八3,

则g(工)=一下——^=—5―=0得x=/，

XXX

由此可得：g(x)在区间(0,$]上单调递减，在区间[/,+8)上单调递增,

・♦•当”()时，=g(/)=a-J，衅”-占

(2-

・•.实数〃的取值范围是：—8,2-F.

【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于

中等题.

f3、5)

19、(1)(2)见解析.

【解析】

(1)分xW-2、-2<x<；、三种情况解不等式/(x)>2,综合可得出原不等式的的解集；

(2)利用绝对值三角不等式可求得函数)，=/(另+5k+2|的最小值为攵=9,进而可得出。+68=1,再将代数式

£+?与“+6Z?相乘，利用基本不等式求得勺+5的最小值，进而可证得结论成立.

abab

【详解】

(1)当xW-2时，由/(x)>2,得1—4.r+x+2>2,即1—3x>0,解得x<；,此时xW-2：

133

当一2<1<一时，由/(x)>2,得l-4x-x-2>2,即5x+3<0,解得此时-2<x<-二；

455

当时，由/(x)>2,得4X一1一工一2>2,即3X-5>(),解得x〉g,此时工

综上所述，不等式>2的解集为1-8,-到J(|,+8)；

(2)>,=/(x)+5|x+2|=|4x-l|+4|x+2|=|4x-l|+|4x+8|>|4x-1-(4.r+8)|=9,

当且仅当(4x—l)(4x+8)«0时取等号，所以&=9,a+6b=].

所以g+4=(9+4,+6〃)=6+迎+幺+6212+2、^^=24,

ahUb)Kfab\ah

当且仅当呦=f,即a=1,b时等号成立，所以2+：N24.

ab212ab

所以他二226，即隹&2疝

XabVab

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考

查运算求解能力，属于中等题.

2

Vv2s

20、(1)—+^-=1；(11)ZG(-,3).

433

【解析】

(I)由题意可得4A，4尸的坐标，结合椭圆离心率，用4・87=1及隐含条件列式求得。，〃的值，则椭圆方程

可求；(II)设直线AO：y=&(x+2),求得D的坐标，再设直线4。：)，=3人工一2),求出点G的坐标，写出OG的

方程.联立OG与4力，可求出〃的坐标,由人。=无人"，可得2关于人的函数式,由单调性可得；I取值范围.

【详解】

(I)A(—a，°)，4(0,3,尸(c,0),

81A=(-。,一〃)，B1F=(c,—b),

c1

由4A・31F=1,得//一比=1,又一=二，a2=b2+c2»

a2

解得：a=2»b=也,c=1.

22

•••椭圆C的标准方程为±+±=1；

43

<n)设直线AD：y=k(x+2)(k>0),则与直线x=4的交点。(4,6幻,

又A。。，.•・设直线&Q:y=3k(x—2),

y=3k(x-2)

联立xy,,消N可得(1+12*2)/一48&%+4842一4一0.

——4--=1

43

解得仇04d*-F2-12k、

\+\2k2)f

y=k(x+2)

，,但66-83\2k

联立三+汇=1'得"WE)'

43

直线°G：片石告x

.尸⑵2—lJ解得〃（普W，/片），

联立

），=〃*+2）

=

•.(*/»+2,Vp)4(x〃+2,y)t

%=^y„.

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为3+止45+34公+3

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