2024届厦门市某中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2024届厦门市第六中学高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知p：lro>l』og|>乙则下列说法中正确的是()

2L

A.是假命题B.〃八“是真命题

C.是真命题D.〃人(「q)是假命题

2.己知正方体八BCD44Gq的棱K为2,点尸在线段。始上，且用尸=2PC,平面C经过点AP，G，则正方

体ABC。-4404被平面a截得的截面面积为()

A.3瓜B.2瓜C.5D.

4

3.若(1-2不)”的二项展开式中/的系数是40,则正整数〃的值为()

A.4B.5C.6D.7

4.已知定义在R上的奇函数"X)满足：f(x+2e)=-f(x)(其中。=2.71828.•),且在区间上2。］上是减函数,

令人=殍，c="，则/(«),/S),/(c)的大小关系(用不等号连接)为()

NDD

A.f(b)>f(a)>/(c)B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(a)>f(b)>/(c)D.f(a)>f(c)>f(h)

5.已知△ABC中,BC=ZBABC=-2.点?为BC边上的动点，则PC-(B4+PB+PC)的最小值为()

325

A.2B.一一C.-2D.------

412

6.设集合A={1,2,3},B={X|X2-2X+/77=O},若AC8={3},则8=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

7.已知全集0=区，集合A={Rx<l},B={x|-l<x<2},贝!)(电,4)。3二()

A.{x|l<x<21B.|x|l<x<2^C.|x|-1<x<ijD.1x|x>-l|

8.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()

-5-17

A.1B.-3C.1或一D.・3或一

33

5।E.

9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足-町=不怛±"，其中星等为

2E2

恤的星的亮度为(A=l,2),已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()

A.10,,uB.10.1C.IglO.lD.IO-101

10.已知函数/(x)=lnx-2+a在xe［l,e］上有两个零点，则〃的取值范围是()

11.在AABC中，"sinA>sin是“tanA>tan8”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.a//a,b//p,a//p,则〃与力位置关系是()

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知向量，〃=(1,1),〃g=(l㈤，若g_L(2〃?+〃)，贝!)%=.

1f

2x--的展开式中所有项的系数和为,常数项为.

15.设随机变量4服从正态分布N(2,9),若PC>c)=P(4vc+2),则c的值是_____.

16.正方体4BC力—ABC。中，E是棱。。的中点，尸是侧面CQRG上的动点，且四尸//平面ABE,记B］与尸

的轨迹构成的平面为

①ZT,使得用尸"LC。”

②直线8尸与直线8C所成角的正切值的取值范围是坐二；

③a与平面。所成锐二面角的正切值为2夜；

④正方体ABC。-44G，的各个侧面中，与a所成的锐二面角相等的侧面共四个.

其中正碓命题的序号是_______.（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某企业现有A.3两套设备生产某种产品，现从A,8两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作

为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在［20,40）内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A

设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从B设备抽取的样本频数分布表.

表hB设备生产的样本频数分布表

质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

（1）请估计A.3设备生产的产品质量指标的平均值;

（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在［25,30）内的定为一等品，每件利润240

元；质量指标值落在［20,25）或［30,35）内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120

元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件

相应等级产品的概率,企业由于投入资金的限制，需要根据A,8两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调

整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？

18.（12分）已知各项均为正数的数列｛4｝的前〃项和为S“，且S”是4与丁的等差中项.

⑴证明：同｝为等差数列，并求5,；

（2）设以=1一数列｛"｝的前〃项和为7”，求满足北25的最小正整数〃的值.

3“+1+七

19.（12分）如图，四棱锥P—A8C。的底面为直角梯形A8〃OC,ZABC=90°,AB=BC=1,8=2,PCI

底面ABC。，且PC=6,£为8的中点.

（1）证明：BEA.AP；

（2）设点例是线段3尸上的动点，当直线AM与直线OP所成的角最小时，求三棱锥乃-COM的体积.

20.（12分）如图，直线二二二二一二与抛物线二,二二二二仁二交于二二两点，直线二二名与二轴交于点二且直线二二

（1）求二的值;

（2）设二是直线二=♦上一点，直线二二.交抛物线于另一点二.，直线二，.二:交直线二=?于点二，求三年的值.

21.（12分）在中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量〃z=（2。—c/）与向量〃=（cosC,cos8）共线.

(1)求修

_uuuuuu

(2)若b=3币,4=3,且AO=2QC，求30的长度.

22.(10分)已知函数/(龙)=2丁+〃?+1.

(D讨论八幻的单调性；

(2)若函数/(x)在区间[0,+8)上的最小值为—3,求小的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

举例判断命题〃与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案.

【详解】

当吃〉1时，log]/<°，故〃命题为假命题；

2

记/(x)=6・工的导数为了(X)=^-1,

易知f(K)在(・8,0)上递减，在(0,+oc)上递增，

•V(X)>/(0)=1>0,即故。命题为真命题；

:.〃八(->q)是假命题

故选D

【点睛】

本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.

2、B

【解析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.

【详解】

如图所示：

A,RG确定一个平面a,

因为平面AA.DDJ1平面,

所以AQ//PG，同理AP//Q£,

所以四边形APG。是平行四边形.

即正方体被平面截的截面.

因为反尸二2尸。，

所以C4=2PC,

即PC=PB=1

所以4P=PG=后,AG=2x/3

222

APPC}-AC]]_

由余弦定理得:cosZAPC1=

2APxPC}5

所以sin/APG=」一

5

所以S四边形APQG=2xg4PxpcxsinNAPG=26

故选：B

【点睛】

本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于

中档题.

3、B

【解析】

先化简(1-2x)n的二项展开式中第7•+1项(讨=C；；.rr•(-2x)r,然后直接求解即可

【详解】

（1一2力”的二项展开式中第r+1项&=。：・1"，（一2岁・令1=2,则q=C〉（—2x『，，4C；=40,・・・〃=T

（舍）或〃=5.

【点睛】

本题考查二项展开式问题，属于基础题

4、A

【解析】

因为/（x+2e）=-/（力，所以〃x+4e）=〃x）,即周期为4,因为f（x）为奇函数,所以可作一个周期[・2e,2e]

示意图，如图/（冗）在（0,1）单调递增，S^J52<25/.5^<2^,23<3222<3\\0<c<d</?<P因此

/（/?）>/（«）>/（c）,选A.

点睛：函数对称性代数表示

（1）函数/（幻为奇函数O/（X）=-/（T）,函数/（X）为偶函数0/（/）=/（T）（定义域关于原点对称）；

（2）函数/（A-）关于点（4〃）对称<=>/'（X）+/（-工+2。）=2b,函数fix'）关于直线x=〃，对称of（x）=f[-x+2m）,

（3）函数周期为T,则/（x）=/（x+T）

5、D

【解析】

以8C的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得设P（〃，0）,A（x,y）,运用向量的坐标表示,

求得点A的轨迹，进而得到关于。的二次函数，可得最小值.

【详解】

以5C的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得B（-l,0）,C（l,0）,设P（a,0）,A（x,y）,

由R4BC=-2，

可得（x+l，y），（2,0）=2x+2=-2,即工=-2,ywO,

贝iJ『C(PA+F6+?C)=(I-a,0)(;r-4—l-a+l-a,y+0+0)

=(1—a)(x—3tz)=(1—2—3a)=3ci~—ci—2.

=3.-1:25

I612

当a=1时,PC(PA+PB+PC)的最小值为25

672

故选D.

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题.

6、A

【解析】

根据交集的结果可得3是集合3的元素，代入方程后可求〃7的值，从而可求从

【详解】

依题意可知3是集合%的元素，即9一2x3+m=o,解得加=-3,由丁一2%一3二()，解得x=T,3.

【点睛】

本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.

7、B

【解析】

直接利用集合的基本运算求解即可.

【详解】

解：全集U=R,集合A=*|x<l},B={x\-\<x<2}t

.他A={x|xN1}

则(4,4)n3={x|幅}送电}={刈1A?2},

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，属于基础题.

8、D

【解析】

|2x5-12k+6|

由题得行/、+(-可、=4,解方程即得k的值.

【详解】

|2x5-12左十6|=4,解方程即得k=.3或=.

由题得

/2+(-12)23

故答案为：D

【点睛】

(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点PC%,%)到直线

,八八I+Byn+Cl

/:IByIC=0的距离4=^^701.

VA2+B2

9、A

【解析】

由题意得到关于E，&的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】

5,E.

两颗星的星等与亮度满足吗一"％=5怆彳,令叫=一1.45,见=一26.7,

叫一叫)二|(T45+26.7)=10.1,^=10,0J.

故选A.

【点睛】

本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.

10>C

【解析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数/(6的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.

【详解】

“(加!+十皇，向4

当42—1时，/'(x)NO,/(X)在［l,e］上单调递增，不合题意.

当aW—e时，/(五)在［⑶上单调递减，也不合题意.

当一evav-1时，则工«1,-4)时，r(x)〈O,/(x)在。，一〃)上单调递减，x«-a,e］时，〃力在

(―a,e］上单调递增，又/(1)=0,所以“X)在x«l,e］上有两个零点，只需/(e)=l-0+〃之0即可，解得

1-c

综上，。的取值范围是「丁匚,一11.

Ll-e)

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题.

11、D

【解析】

通过列举法可求解，如两角分别为3,2时

63

【详解】

27r71

当人=—,8=一时，sinA>sin8,但tanA<tan3,故充分条件推不出；

36

—r\

当A=2,8=—时，lanA>tan8,但sinA<sin8,故必要条件推不出；

63

所以“sinA>sin8”是“tanA>tanB”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题

12、D

【解析】

结合图(1),(2),(3)所示的情况，可得。与力的关系分别是平行、异面或相交.

二：7"F

A~7X~7X7

<0(2>(3>

选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>-1

【解析】

由向量垂直得向量的数量积为0,根据数量积的坐标运算可得结论.

【详解】

由已知2皿+〃=(4,1),丁g+，.•・g・(2/w+〃)=4+/l=0,2=-4.

故答案为：一1.

【点睛】

本题考查向量垂直的坐标运算.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.

14、3-260

【解析】

土的系数，再求(工)1y°

(1)令X=1求得所有项的系数和;(2)先求出展开式中的常数项与含2+22x——展

kX)X)

开式中的常数项.

【详解】

将x=l代入(/+2)(2%一^),得所有项的系数和为3.

4

十的项为C：(2X)［’」［=当，的展开式中含常数项卜所以

因为的展开式中含¥f2x--jC；(2x)3=-160,

工\XJX

(f+2/2X—L］的展开式中的常数项为60—320=—260.

故答案为：3；-260

【点睛】

本题考有利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.

15>1

【解析】

('+「+2

由题得一一二2,解不等式得解.

2

【详解】

因为Pe>c)=P(Jvc+2),

c+c+2-

所以---=2,

2

所以c=l.

故答案为1

【点睛】

本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

16、

【解析】

取CO中点G,G。中点M,CG中点N，先利用中位线的性质判断点产的运动轨迹为线段MN,平面B]MN即为平面

。，画出图形，再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线B}F与直线8C所成角即为直线B7与直线B.C,

所成角，设正方体的棱长为2,进而求解;③由MN//EGMF为MN中点，则MN±C,F,MN14匕则ZB.FC,即为。

与平面CD2G所成的锐二面角，进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.

取。。中点G,连接EG,则EGHCD,，所以EG//48,所以平面A,BE即为平面4BGE,

取GA中点MIG中点N,连接则易证得4M〃8G,gN〃4£,

所以平面4MN〃平面ABGE,所以点F的运动轨迹为线段MN,平面与MN即为平面a.

①取/为MN中点，因为"MN是等腰三角形，所以时工MN，又因为MN//C7J,，所以片”_LC7J,，故①正确;

②直线B、F与直线所成角即为直线B}F与直线B©所成角，设正方体的棱长为2,当点F为MN中点时，直线B、F

与直线4G所成角最小，此时G尸=迫，tanNCf尸=于二坐；

2O,C14

当点/与点M或点N重合时，直线BF与直线BG所成角最大，此时tanZC,B,F=p

所以直线用F与直线5c所成角的正切值的取值范围是号,;，②正确；

③a与平面CDD©的交线为EG,且MN//EG,取F为MN中点，则MN1C,F,MN1B.F,/.ZB.FC,即为。与平

面CDD&所成的锐二面角,tangC产晚=2^，所以③正确；

④正方体ABC。-A4GR的各个侧面中，平面A3CO,平面4与G2,平面8CC4,平面AQAA与平面。所成的角

相等,所以④正确.

【点睛】

本题考查直线与平面的空间位置关系，考查异面直线成角，二面角，考查空间想象能力与转化思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)xA=30.2,XB=29j(2)3设备

【解析】

(1)平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；

(2)要注意指标值落在［20,40)内的产品才视为合格品，列出A、B设备利润分布列，算出期望即可作出决策.

【详解】

(1)人设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

115,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

/

频数41640121810

豆=0.04x17.5+0.16x22.5+0.40x27.5+0.12x32.5+0.18x37.5+0.10x42.5=30.2.

根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.

B设备生产的样本的频数分布表如下

质量指标值

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

xB=17.5x0.02+22.5x0.18+27.5x0.48+32.5x0.14+37.5x0.16+42.5x0.02=29

根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.

（2）A设备生产一件产品的利润记为X,B设备生产一件产品的利润记为匕

X240180120

20149

p

434343

Y240180120

111

rp

236

E(X)=^(240x20+180x14+120x9)=195.35

E(y)=240x1+180x1+120x1=200

236

E(X)vE(y)

若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B设备的生产规模.

【点睛】

本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.

18、（1）见解析，S0=&（2）最小正整数〃的值为35.

【解析】

（1）由等差中项可知2S〃=a”+,，当〃之2时，得2sm…整理后可得s：-S；T=1,从而证

anS〃-1S〃T

明代｝为等差数列，继而可求

（2）C=j"+”，则可求出（=JH—1,令JH—1N5,即可求出〃的取值范围，进而

求出最小值.

【详解】

解析：(1)由题意可得2S”=%+-!-,当〃=1时，2sI=q+-!■，＜％2=1,4=1,

%4

当〃N2时，2S,-1+），整理可得S；-S3=l,

n〃-1

是首项为L公差为1的等差数列，••・S；=S；+(，2-l)=〃，Sn=G.

1

(2)由(1)可得由=-Jn+\-\[n

5/〃+1+G

»•Tn=—yf\+\/3—>/2++\fn—yjn—\++1—y/n=J/i+1—125,解得n235,

・・・最小正整数〃的值为35.

【点睛】

本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了％与S”的关系，考查了裂项相消求和.当已知有与S”的

递推关系时，常代入q=:进行整理,证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常

数.

19、(1)见解析；(2)也.

9

【解析】

(1)要证明只需证明BE1平面PAC即可；

(2)以C为原点，分别以C7),CB,CP的方向为无轴、轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求

cos<AM,。尸〉，并求其最大值从而确定出BM=1使问题得到解决.

【详解】

(1)连结AC、AEt由已知，四边形45CE为正方形，则①，因为PC1底面

ABCD,则PCJL的②，由①©知的1平面E4C，所以BEJ.AP.

(2)以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(l』,0),5(0,1,0),0(2,0,0),

P(0,0,行)，所以A3=(-1,0,0),BP=(0,-1,亚),DP=(-2,0,72),设BM=ABP，

(0</1<1),则AM=AB+BM=(—1,—义,&),所以cos<AA/,DP>=AMDP

|AM||DP|

2+2/i\/6A4-1E,I月+1_t

!=——=------/,设义+]=,£[l,2],则/『=/、

,1+3纪•V63J+3储J+3乃43/-6/+4

1

I_11234

匕4763一代，23,-所以当t一=：2，即/=一3时，cos＜AM,OP＞取最大值，

从而＜AM,OP＞取最小值，即直线A"与直线。夕所成的角最小，此时义=，-l=g,

则因为3C_LCD,BCtCP,则8C_L平面POC,从而〃到平面PZ)C的

3

距离〃二|哈|,所以k"九"gRx及、|=苧.

【点睛】

本题考杳线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的

内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.

20、(1)二二4；(2)ZZ-ZC=2a

【解析】

试题分析：(1)联立直线的方程和抛物线的方程二不二二二/,化简写出根与系数关系，由于直线二=二平分二二.二二;,

、一|■■一一•

所以口口〈+口叫&=4，代入点的坐标化简函-(：+fx-黄=C,结合跟鱼系数关系,可求得二=+(2)设二—二.,

二。2),□(0.!),由口口＞口后点共线得213,=口：卬再次代入点的坐标并化简得二」二「二(二；一二「二一.4同

理由11口户口户点共线，可得二)匚3-二(匚/+1二。=一"，化简得口匚=/4故三•三=二二-4=16+4==”

试题解析：

(1)由二:二二二二，整理得二：一4二二十＜2=0,

‘口=g一师＞0

设——」，---一一-J贝I)二；十二-♦二二，

bDzD.=40

因为直线二二评分二二，二二.，・••二二二一二二:二二4,

•0・•MB

所以二二1二。即三二4三二

-/7-7--：

所以二一二十己二。=。，得二二」，满足二＞0,所以二二」.

（2）由⑴知抛物线方程为二.=8二，且'-二二一二1，二,U：,，二;U；,，

设二二二号），二（二）二二二，由二二二三点共线得二二二二二二二;，

所以工3二工二，即W+毛毛■"毛.毛）=;＜.16,

整理得：二：二.：-二（二；-二；）=一.4①

由二Z；二;三点共线，可得二.!二.-二二-i二.,）=-%②

②式两边同乘二.得：二二;二.：-Z＜；：；•二!;二1=一/二;，

即：J6二:•一二（J6♦二；二巳二一死二》③

由①得：C；Lj=2（Z；+Zj）-/d,RA③得：/Uj-JU-二二（二；，二J）*/U=T皿,

即：16（二；+1二：。=二二二；一二：•，所以□匚=M

所以匚二二二,=二二一」=FA+-=X.

考点：直线与圆锥曲线的位置关系.

【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与

直线相交所得.故第一步先联立二二二三二二，相当于得到II.二的坐标，但是设而不求.根据直线二二评分二二二二,

有:］二二一二二;二二I