专题40 圆的方程-2025年高考数学二轮复习考点突破(原卷)

高中数学精编资源2/2专题40圆的方程9题型分类1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．（一）1.求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2.方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径3.点与圆的位置关系判断（1）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．（2）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．4.（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题型1：求圆的方程1-1．（2024高一上·江苏连云港·期末）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．1-2．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（

）A． B．C． D．1-3．（2024·福建福州·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（

）A． B． C． D．题型2：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件2-1．（2024高二上·甘肃金昌·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或2-2．（2024高三·全国·课后作业）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，2-3．（2024高三下·河南·阶段练习）“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型3：点与圆的位置关系判断3-1．（2024·辽宁·二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（

）．A．点在l上 B．点在圆O上C．点在圆O内 D．点在圆O外3-2．（2024高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．3-3．（2024高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（

）A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定3-4．（2024·甘肃定西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型4：与圆有关的对称问题4-1．（2024·西藏日喀则·一模）已知圆关于直线对称，圆交于、两点，则4-2．（2024高三上·江西南昌·阶段练习）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是．4-3．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为．（二）求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．题型5：与圆有关的轨迹问题5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；5-2．（2024·福建）动点到两定点和的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．5-3．（2024高三·全国·专题练习）已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．5-4．（2024高二下·广东深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．（三）与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．题型6：利用几何性质求最值6-1．（2024·河北·一模）直线与圆相切，则的最大值为（

）A．16 B．25 C．49 D．816-2．（2024·吉林白山·一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（

）A． B． C． D．6-3．（2024·重庆）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6 B．4 C．3 D．2题型7：利用函数求最值7-1．（2024高三·全国·对口高考）在平面直角坐标系xOy中，以点，曲线上的动点B，第一象限内的点C，构成等腰直角三角形ABC，且，则线段OC长的最大值是．7-2．（2024·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．（四）求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：简记为：当时，简记为：（不含）（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注意：与圆C共根轴l的圆系题型8：圆系方程8-1．（2024高二上·安徽铜陵·期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为.8-2．（2024高三下·江苏盐城·阶段练习）曲线与的四个交点所在圆的方程是．8-3．（2024高二·辽宁·学业考试）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是．（五）圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点．题型9：圆过定点问题9-1．（2024高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．9-2．（2024高三·浙江温州·阶段练习）已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点9-3．（2024高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为一、单选题1．（2024高三下·广西·阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C． D．2．（2024高二·全国·课后作业）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（

）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R3．（2024高二上·海南海口·期中）已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江·模拟预测）圆C：关于直线对称的圆的方程是（

）A． B．C． D．5．（2024高二上·青海西宁·期末）已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．47．（2024·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．8．（2024高二·全国·课后作业）若圆：过坐标原点，则实数的值为（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-19．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．10．（2024高三下·重庆·阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（

）．A． B．C． D．11．（2024高二·全国·课后作业）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（）A． B．C． D．12．（2024高二上·甘肃庆阳·期末）已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．13．（2024高一上·广东广州·期末）已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（

）A． B．C． D．14．（2024·全国）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线15．（2024·北京）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）．A．4 B．5 C．6 D．716．（2024高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2024高二上·广东清远·期末）若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是(

)A． B． C． D．218．（2024高一下·四川自贡·期中）点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．319．（2024高三·全国·专题练习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．20．（2024高三下·河南开封·阶段练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．21．（2024高三上·福建龙岩·期中）“方程表示的图形是圆”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆关于直线对称，与交于，两点，设坐标原点为，则的最大值等于（

）A．2 B．4 C．8 D．1623．（2024高三上·河南焦作·开学考试）已知圆经过点，，，则该圆的半径为（

）A．4 B．5 C．8 D．1024．（2024·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为25．（2024高二·全国·课后作业）若，使曲线是圆，则（

）A． B． C．或 D．26．（2024高三上·上海奉贤·阶段练习）已知：圆的方程为，点不在圆上，也不在圆的圆心上，方程，则下面判断正确的是（

）A．方程表示的曲线不存在B．方程表示与同心且半径不同的圆C．方程表示与相交的圆D．当点在圆外时，方程表示与相离的圆27．（2024高二·全国·专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝028．（2024高三上·山东东营·阶段练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（

）A． B．C． D．29．（2024·贵州贵阳·模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（

）A． B．C． D．30．（2024·全国）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．731．（2024高三·全国·专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（

）A． B．C． D．32．（2024·安徽·三模）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．33．（2024高二下·四川南充·阶段练习）曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．34．（2024·安徽亳州·模拟预测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A．0 B．1 C．2 D．335．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个36．（2024高二下·山西晋城·开学考试）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．37．（2024高二上·辽宁营口·阶段练习）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．38．（河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题39．（2024高三·全国·对口高考）经过三点的圆的方程为．40．（2024·全国）过四点中的三点的一个圆的方程为．41．（2024高三下·江西南昌·阶段练习）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为.42．（2024·全国）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．43．（2024高一下·江西九江·期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为44．（2024高一·全国·单元测试）过两圆与的交点和点的圆的方程是.45．（2024高二下·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为.46．（2024高三上·北京·阶段练习）若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为．47．（2024高二下·四川成都·开学考试）圆关于直线对称，则．48．（2024高二上·安徽芜湖·期中）已知关于x，y的二元二次方程，当t为时，方程表示的圆的半径最大．49．（2024·河南·模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为.50．（2024高二·全国·课后作业）M是抛物线上一点，N是圆C：关于直线x－y＋1＝0的对称圆上的一点，则的最小值是．51．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是．52．（2024·广东揭阳·模拟预测）写出一个经过原点，截轴所得弦长是截轴所得弦长2倍的圆的标准方程.53．（2024高二上·浙江绍兴·期中）已知圆过直线和圆的交点，且原点在圆上．则圆的方程为．54．（2024·天津·一模）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.55．（2024·重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．56．（2024高三上·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为（其坐标与无关）57．（2024高三·全国·阶段练习）已知直线与曲线交于两点，且这两点关于直线对称，.58．（2024高二·全国·课后作业）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为．59．（2024高二上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是．60．（2024高二上·辽宁大连·竞赛）设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．61．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关