重难点43 圆锥曲线与四心二十一大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（原卷版）

高中数学精编资源2/2重难点专题43圆锥曲线与四心二十一大题型汇总题型1圆锥曲线重心与离心率 1题型2圆锥曲线重心与直线 3题型3圆锥曲线重心与面积 4题型4圆锥曲线重心与坐标 5题型5圆锥曲线重心与轨迹方程 6题型6圆锥曲线外心与离心率 8题型7圆锥曲线外心与坐标 10题型8圆锥曲线外心与轨迹方程 11题型9圆锥曲线外心与求值 12题型10圆锥曲线内心与离心率 13题型11圆锥曲线内心与内切圆半径 15题型12圆锥曲线内心与直线（曲线） 17题型13圆锥曲线内心与面积 17题型14圆锥曲线内心与轨迹方程 19题型15圆锥曲线内心与求值 20题型16圆锥曲线垂心与离心率 21题型17圆锥曲线垂心与直线（曲线） 23题型18圆锥曲线垂心与面积 25题型19圆锥曲线垂心与坐标 26题型20圆锥曲线垂心与轨迹方程 27题型21四心综合 29题型1圆锥曲线重心与离心率一、三角形重心的定义三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心．二、三角形重心常见结论（1）G是△ABC的重心⇔GA+GB（2）G为△ABC的重心，P为平面上任意点，则PG=（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1；（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比．、【例题1】（2019上·江苏·高三校联考阶段练习）设A，F分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点和右焦点，B1【变式1-1】1.（2020下·浙江·高三校联考阶段练习）已知F1、F2为椭圆x2a2+y2bA．0,13 B．0,12【变式1-1】2.（2018·贵州贵阳·高三阶段练习）在双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在点A，使得点A与双曲线的左、右焦点F1，F2形成的三角形的内切圆PA．2 B．3 C．2 D．5【变式1-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+yA．12 B．22 C．1【变式1-1】4.（2022·全国·高三专题练习）设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)在左右焦点分别为F1,F2，若在曲线C的右支上存在点A．2 B．3 C．2 D．5【变式1-1】5.（2020·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y题型2圆锥曲线重心与直线【例题2】（2020下·河北石家庄·高三统考阶段练习）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(A．1 B．32 C．2【变式2-1】1.（2019·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线C:y2=4x上有三个不同的点A,B,C,直线AB,BC,AC的斜率分别为kAB,kBC,kA．-2 B．-12 C．-【变式2-1】2.（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x22+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B【变式2-1】3.（2020·浙江·校联考三模）已知椭圆C:x24+y2m=1的右焦点为F1,0，上顶点为B，则B的坐标为，直线MN与椭圆C交于M【变式2-1】4.（2020·上海·高三专题练习）已知直线L交椭圆x220+y216=1于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于点B【变式2-1】5.（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x22+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B题型3圆锥曲线重心与面积【例题3】（2020·吉林·统考三模）设点P为椭圆C:x225+y216=1上一点，F1、F2分别是椭圆A．423 B．22 C．【变式3-1】1.（2020下·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）设点P为椭圆：x249+y224=1上一点，F1，【变式3-1】2.（2019上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期末）已知抛物线y2=8x的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,O为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△OFA、△OFB、△OFC面积分别记为S1A．16 B．48 C．96 D．192【变式3-1】3.（2022·四川资阳·统考二模）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2A．9 B．6 C．3 D．2【变式3-1】4.（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知F1(-1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|+|MF2|=4，若I是△MF1FA．S1>S2 B．S1=S题型4圆锥曲线重心与坐标【例题4】（2019·甘肃·校联考一模）已知A、B分别是双曲线C:x2-y22=1的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为kA．(1,1) B．1,43 C．4【变式4-1】1.（2019·河北衡水·统考一模）已知抛物线y2=4x上有三点A,B,C，AB,BC,CA的斜率分别为3，6，-2，则A．(149,1) B．(14【变式4-1】2.（2020下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，A,B是抛物线C上两点，且AF+BF=10，OA．1 B．2 C．3 D．4【变式4-1】3.（2018·福建莆田·统考一模）已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=8x的焦点，过F作直线l与C交于A,B两点．若|AB|=10A．43 B．2 C．8【变式4-1】4.（2020·陕西·统考二模）已知抛物线Γ：y2=2px（p>0），从点M(4,a)（a>0）发出，平行于x轴的光线与Γ交于点A，经Γ反射后过Γ的焦点N，交抛物线于点B，若反射光线的倾斜角为2π3，|AN|=2A．2,-3 B．32,0 C．【变式4-1】5.（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC是椭圆y2【变式4-1】6.（2016上·湖南·高三阶段练习）设直线l:x-2y-m=0与椭圆C:x24+y2=1相交于Α，Β两点，Μ为椭圆C【变式4-1】7.（2020·吉林长春·高三校联考阶段练习）抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P、Q、R在C上，且ΔPQR的重心为FA．3,92∪92,5题型5圆锥曲线重心与轨迹方程焦点三角形重心轨迹方程：①设点G为椭圆x2a2+y2b证明：如图1，设Px0 , y0，则有y0≠0（否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为F1-c , 0 , F2c②设点G为双曲线x2a2-y2b证明：如图2，设Px0 , y0，则有y0≠0（否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标为F1-c , 0 , F2c【例题5】（2018上·重庆·高三重庆一中校考期中）已知P是以F1,F2为焦点的双曲线x2A．9x2C．9x2【变式5-1】1.（2022上·福建福州·高三校考期中）在平面直角坐标系xOy中，设点P-23,0，Q23,0，点G与P，Q两点的距离之和为2(1)求点N的轨迹方程C；(2)设C与x轴交于点A，B（A在B的左侧），点M为C上一动点（且不与A，B重合）.设直线AM，x轴与直线x=92分别交于点R，S，取E2,0，连接ER，证明：ER【变式5-1】2.（2022上·广东揭阳·高三揭东二中校考阶段练习）已知F1､F2是椭圆C：x24+y2(1)求△PF1F(2)设点Qs,t是△PF1【变式5-1】3.（2022·全国·高三专题练习）点A(x1,y1)，B(x2,y1(1)求证：x0是x1与(2)若直线AB过定点M(0,1)，求证：原点O是△PAB的垂心；(3)在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．【变式5-1】4.（2020·浙江·统考模拟预测）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C:x2=4y（1）求动点G的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程.题型6圆锥曲线外心与离心率一、三角形外心的定义三角形的外心：三角形外接圆的圆心，称为外心，三角形三条边的垂直平分线的交点，就是三角形的外心．二、三角形外心重要结论（1）O是△ABC的外心⇔OA=OB（2）若点O是△ABC的外心，则(OA（3）若O是△ABC的外心，则sin2A⋅（4）斜三角形外心坐标：Ox（5）多心组合：△ABC的外心O、重心G、垂心H共线，即OG∥OH；【例题6】（河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（理）试题）已知坐标平面xOy中，点F1，F2分别为双曲线C:x2a2-y2=1（a>0）的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MFA．2 B．3 C．5 D．5【变式6-1】1.（2020·湖北宜昌·统考一模）设Fc,0为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，以F为圆心，b为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，线段FPA．2 B．3 C．2 D．5【变式6-1】2.（2018上·湖南长沙·高三宁乡一中阶段练习）F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b【变式6-1】3.（2020·山东泰安·统考模拟预测）已知点F1，F2分别为双曲线C：x2a题型7圆锥曲线外心与坐标【例题7】（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy中直线y=x+4与抛物线C：x2=4y交于A，B两点．若D为直线y=x+4外一点，且【变式7-1】1.（2019·浙江·统考模拟预测）已知椭圆x216+y24=1的下顶点为A，若直线x=ty+4与椭圆交于不同的两点M【变式7-1】2.（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆C1:x24+y2=1，抛物线C2:x2=2py(p>0)，设【变式7-1】3.（2022·全国·高三专题练习）设椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，过F的直线l与C相交于A,B两点．设过点A作x轴的垂线交C于另一点【变式7-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A,B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（【变式7-1】5.（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为x22+y2=1，设经过点P2,0的直线l交椭圆C于A，B两点，点Qm,0．设点F为椭圆题型8圆锥曲线外心与轨迹方程（6）焦点三角形外心轨迹方程：①动点P为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上异于椭圆顶点±a , 0的一点，②动点P为双曲线x2a2-y2b2=1a>0 , 证明：只证双曲线情形．如图1，设点P坐标为Px0 , y0，则有y0≠0，∵点E在F1F2的垂直平分线上，∴可设E0 , y1．图1【例题8】（2022·全国·高三专题练习）已知点A(2,0)，B,C在y轴上，且|BC|=4，则△ABC外心的轨迹S的方程；【变式8-1】1.（2022·全国·高三专题练习）设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知A(0,1)、B(0, -1)，且【变式8-1】2.（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点A在圆O：x2+y2=5上，直线x=2与圆O交于E，F两点（E点在x轴上方），点Pm,n0<m<12是抛物线y2=2x【变式8-1】3.（2021·河北石家庄·统考一模）已知坐标原点为O，双曲线C:x2a2（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设过双曲线上动点Px0,y0的直线x0x-y0【变式8-1】4.（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为-1,0，1,0，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③GM(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；(2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求PE⋅|PF|题型9圆锥曲线外心与求值【例题9】（2022·全国·校联考模拟预测）已知椭圆Γ：x24+y23=1，过其左焦点FA．2 B．3 C．4 D．以上都不对【变式9-1】1.（2023下·广东清远·高三校联考阶段练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，过点F的直线l与双曲线C的右支相交于M，(1)求双曲线C的方程；(2)若△MNP的外心为Q，求QFMN【变式9-1】2.（2020下·福建·高三统考阶段练习）设椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，过（1）若AF=2FB，求（2）设过点A作x轴的垂线交C于另一点P，若M是△PAB的外心，证明:ABMF【变式9-1】3.（2021·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0（1）求椭圆C的方程；（2）过H4,0作斜率不为0的直线l交椭圆于A,B两点，过B作垂直于x轴的直线交椭圆于另一点Q，连接AQ，设△ABQ的外心为G，求证：AQ题型10圆锥曲线内心与离心率一、三角形内心的定义三角形的内心：三角形内切圆的圆心，称为内心，三角形三条内角平分线的交点，就是内心．二、三角形内心常见结论设△ABC的内切圆为圆I，切边AB于P，则有如下重要结论：（1）I是△ABC的内心⇔a⋅IA+b⋅IB（2）∠BIC=90°+1（3）AP=r（4）内心I点的坐标为ax【例题10】（2020下·湖北·高三校联考阶段练习）过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点A．233 B．3+1 C．4【变式10-1】1.（2020·浙江绍兴·统考二模）双曲线C1:x2a2-y2b2A．32 B．3 C．224【变式10-1】2.（2022·全国·高三专题练习）设F是双曲线C:x2a2-y2b=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．3+174 B．4+174【变式10-1】3.（2021·辽宁·统考二模）已知双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦点为F1,F2,O为它的中心，P为双曲线右支上的一点，ΔPF1FA．|OB|=|OA| B．|OB|=e|OA| C．|OA|=e|OB| D．|OB|与|OA|关系不确定【变式10-1】4.（2019下·福建南平·高三统考期末）已知点P为双曲线x2a2A．（1，2） B．（1，22）C．（1，22] D．（1，2]【变式10-1】5.（2019上·河北·高三校联考阶段练习）过双曲线x2a2-y2b2=1a>b>0右焦点F的直线交两渐近线于A、A．233 B．3 C．4题型11圆锥曲线内心与内切圆半径三角形内切圆的半径求法：①任意三角形：r=2SΔCΔ（其中CΔ为②直角三角形：r=a+b-c【例题11】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p>0）的准线分别交于A，B两点，A．3-1 B．3+1 C．2【变式11-1】1.（2017·江西抚州·统考一模）点F1、F2分别是双曲线x2-y23A．0,3 B．0,2 C．0,2【变式11-1】2.（2023·全国·模拟预测）如图，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P

A．18 B．32 C．50 D．14【变式11-1】3.（2021·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆C：x225+A．3 B．2 C．53 D．【变式11-1】4.（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1和F2，离心率为33【变式11-1】5.（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为(1)求椭圆C的方程；(2)F为椭圆C的左焦点，直线l交椭圆C于M，N（不与点A重合）两点，记直线AM，AN，l的斜率分别为k1，k2，k，满足：k1+k2=-题型12圆锥曲线内心与直线（曲线）【例题12】（2018·河北石家庄·统考一模）已知F1，F2分别为双曲线x2A．1 B．2 C．2 D．2【变式12-1】1.（2016·福建漳州·统考二模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，【变式12-1】2.（2022·全国·高三专题练习）点P是双曲线C:A．y=-3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x2-2【变式12-1】3.（2020·山西·统考三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，A．x22C．x23【变式12-1】4.（2015·浙江杭州·统考一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2为左右焦点，点PA．x28C．x29题型13圆锥曲线内心与面积【例题13】（2019·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，点P为椭圆x24+y23=1上任一点，FA．13 B．12 C．2【变式13-1】1.（2020上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1，A．-35 B．-45【变式13-1】2.（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知F1(-1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|+|MF2|=4，若I是△MF1FA．S1>S2 B．S1=S【变式13-1】3.（2012·浙江·校联考一模）已知点P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，FA．1+222 B．23-1【变式13-1】4.（2019下·河南洛阳·高三统考期末）已知双曲线M:x2-y23=1的左，右焦点F1，F2，点P在双曲线上左支上动点，则三角形PF1F2的内切圆的圆心为G，若△GP题型14圆锥曲线内心与轨迹方程（6）焦点三角形内心轨迹方程：①设点M为椭圆x2a2+y2b2=1证明：如图1，设Mx , y , Px0又由MP=ac图1图2②设点I为双曲线x2a2（1）当P在双曲线右支上时，点I的轨迹方程为x=ay（2）当P在双曲线左支上时，点I的轨迹方程为x=-ay证明：（1）当P在双曲线右支上时，如图2，设圆I与PF1 , PF2 , F1F2分别相切于点A , B , C，则有F1A=F设I的纵坐标为y , ∠PF综上所述，点I的轨迹为x=ay（2）仿照（1）的证明可证得：当P在双曲线左支上时，圆I总与x轴相切于点C-a , 0【例题14】（2018上·浙江金华·高三校联考期末）已知F1,F2为椭圆C:x24+y【变式14-1】1.（2019上·四川成都·高三成都七中校考期中）点M为椭圆x29+y25=1上一点，F1,【变式14-1】2.（2022上·全国·高三阶段练习）若双曲线C：x24-y25=1，F1，F2分别为左､A．双曲线C的渐近线方程为xB．点I的运动轨迹为双曲线的一部分C．若|PF1|=2|PFD．不存在点P，使得|PA|+|PF【变式14-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)题型15圆锥曲线内心与求值【例题15】（2018上·河北石家庄·高三辛集中学阶段练习）已知M是椭圆x225+y216=1上一点，F1，F2是椭圆的左，右焦点，点I是ΔMA．53 B．35 C．4【变式15-1】1.（2017·湖北襄阳·襄阳四中校考一模）椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两焦点是F1、F2，M为椭圆上与F1、FA．ab B．ac C．b【变式15-1】2.（2016上·湖南衡阳·高三统考期中）已知点M在椭圆：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F1、F2为左、右焦点，点TA．a2-b2b B．【变式15-1】3.（2022·全国·高三专题练习）设椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,A．2-3 B．12 C．2【变式15-1】4.（2019上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）设F1,F2为椭圆C:x24+y2=1的两个焦点．题型16圆锥曲线垂心与离心率一、三角形垂心的定义三角形的垂心：三角形三条边上的高交于一点，这一点就是三角形的垂心．二、三角形垂心重要结论设O , （1）AH⊥BC；（2）O , （3）斜三角形垂心坐标：Hx（4）H是△ABC的垂心⇔HA（5）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍；【例题16】（2017·云南红河·高三阶段练习）已知F1,F2分别是双曲线x2a2-yA．213 B．2 C．3 D．【变式16-1】1.（2019·四川广元·统考二模）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2-y2b2=1(a>0,A．2 B．32 C．2 D．【变式16-1】2.（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2=2py(p>0A．32 B．322 C．【变式16-1】3.（2017·河北衡水·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的渐近线与抛物线CA．32 B．5 C．35【变式16-1】4.（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2A．12 B．22 C．3【变式16-1】5.（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过P作椭圆的切线l，若l⊥AP，且△APQ的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为e，则e2题型17圆锥曲线垂心与直线（曲线）【例题17】（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点P2,1，且点P【变式17-1】1.（2022·全国·高三专题练习）若曲线E：y2=4x上一点A(x0,4)，是否存在直线m与抛物线E相交于两不同的点B，C【变式17-1】2.（2022·全国·高三专题练习）已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线C:x2=4y上，点F是抛物线C【变式17-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P1,2是抛物线y2=4x上的一点，过点P作两条直线l1与l2，分别与抛物线相交于异于点P的A,B两点．若直线AB的斜率为1且△PAB的垂心H.【变式17-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x22+y2=1的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆C交于M， N【变式17-1】5.（2022·全国·高三专题练习）已知F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2【变式17-1】6.（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2题型18圆锥曲线垂心与面积【例题18】（2022·全国·高三专题练习）已知：椭圆x28+y24=1的右焦点为F,M为上顶点，O为坐标原点，直线l交椭圆于P,Q【变式18-1】1.（2019·江西·高三校联考竞赛）若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点，其中O是原点，A、B在抛物线上，则△OAB的面积S=.【变式18-1】2.（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线E：y2=2x．若直线AB是经过定点Q(2,0)的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，则四边形【变式18-1】3.（2021上·浙江温州·高三统考期末）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，M为抛物线上异于顶点的一点，且M在直线x=-1上的射影为N，若△MNF的垂心在抛物线CA．1 B．2 C．3 D．4【变式18-1】4.（2020上·福建莆田·高三校联考期末）已知：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求椭圆的方程；（2）直线l交椭圆于P,Q两点，当F为△PQM的垂心时，求△PQM的面积.题型19圆锥曲线垂心与坐标【例题19】（2020·浙江·模拟预测）记椭圆C：x2+2y2=1的左右焦点为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B，A，B处的切线交于点A．2 B．3 C．5 D．6【变式19-1】1.（2020上·天津和平·高三天津一中校考期末）双曲线C1:x24-y2b2=1(b>0)的渐近线与抛物线C2:x2A．2 B．3 C．5 D．6【变式19-1】2.（2022·全国·高三专题练习）已知点Q1,0在椭圆C：x2+y22=1上，过点Pm,0作直线交椭圆C于点【变式19-1】3.（2016·湖北宜昌·高三校联考期末）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标.【变式19-1】4.（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直线l:x=my+m+2与抛物线y2=x相交于两点A,B，C1,1，且AC⊥BC．设动点P满足△PAB的垂心恰好是E1,0，记点C到直线AB距离为d，若题型20圆锥曲线垂心与轨迹方程焦点三角形垂心轨迹方程：①椭圆x2a2②双曲线x2a2【例题20】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则△ABC的垂心H的轨迹方程为．【变式20-1】1.（2018上·全国·高二专题练习）如图，在△ABC中，已知A(-2,0)，B(2,0)，CD⊥AB于D，△ABC的垂心为H，且【变式20-1】2.（2018·河南·统考二模）已知：如图，两同心圆：x2+y2=1和x2+y2=4．P为大圆上一动点，连结OP（O为坐标原点）交小圆于点M，过点P作x轴垂线PH（垂足为(1)当点P在大圆上运动时，求垂足Q的轨迹方程；(2)过点(2103,0)的直线l交垂足Q的轨迹于A、B两点，若以AB为直径的圆与【变式20-1】3.（2021·全国·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，A(-3,0)，B(3（1）求△ABC垂心H的轨迹方程；（2）记△ABC垂心H的轨迹为Γ，若直线l：y=kx+m（km≠0）与Γ交于D，E两点，与椭圆T：2x2+y2【变式20-1】4.（2011·江西·统考一模）如图，在ΔABC中，已知A-2,0，B2,0，CD⊥AB于D，（I）求点H的轨迹方程；（II）若过定点F0,2的直线交曲线E于不同的两点G,H（点E在F,H之间），且满足FG=λFH题型21四心综合【例题21】（2022·江西南昌·统考三模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上一点，且PA．3 B．2 C．3 D．4【变式21-1】1.（多选）（2021·福建三明·统考三模）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线l与y轴及双曲线x2a2-y2bA．265 B．52 C．2【变式21-1】2.（多选）（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a,b>0)的虚轴长为2，F1,FA．△ABF2外心B．当a变化时，△AOB外心的轨迹方程为xC．当P变化时，存在Q,R使得△P