《平面与平面垂直》第1课时同步学案

高中数学精选资源3/3《平面与平面垂直》第1课时同步学案问题情境导入在公路旁，为了防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度如何从数学的观点认识这种现象？新课自主学习自学导引1.二面角.半平面的定义一个平面内的一条直线，把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面面角的定义从一条直线出发的_____所组成的图形称为二面角面角的相关概念这条直线称为二面角的_____，这两个半平面称为二面角的_____面角的画法面角的记法二面角或2.二面角的平面角.定义以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_____于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角图形范围的范围是_____规定二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角称为直二面角3.两个平面相交，如果所成的二面角是_____，就说这两个平面互相垂直平面和垂直，记作：4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直.答案1.两个半平面棱面2.垂直3.直二面角4.交线预习测评1.下列命题中错误的是（）A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,那么平面D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面2.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（）A.互为余角B.相等C.其和为周角D.互为补角3.已知互相垂直的平面交于直线,若直线满足,则（）A.B.C.D.4.如图,空间四边形中,平面平面,,且,则与平面所成的角是_____.答案1.答案：D解析:如果平面平面,那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面,其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直,故D错误.2.答案：D解析:画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角.3.答案：C解析:因为,所以,又,所以.4.答案：解析:如图,过作于点,因为平面平面,所以平面,则即为与平面所成的角.因为,所以.新知合作探究探究点1二面角及其平面角知识详解1.二面角的定义及相关概念.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.2.画法及记法.二面角或以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角，如图中的就是二面角的平面角.平面角是直角的二面角称为直二面角.4两个平面互相垂直的定义及记法.两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作：[特别提示]（1）二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小来度量，体现了由空间图形向平面图形转化的思想.（2）二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是.（3）找二面角的方法.①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线（交线）所成的角，即为二面角的平面角.③垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.典例探究例1如图,在正方体中,求二面角的正切值.解析解答本题的关键是作出二面角的平面角,利用与均为等腰三角形,根据二面角的平面角的定义可作出二面角的平面角求解.答案如图,取的中点,连接.由题意知,又为的中点,所以,所以是二面角的平面角.因为平面平面,所以.设正方体的棱长为,则.在中,,所以二面角的正切值为.变式训练1在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,求二面角-的大小.答案如图,作平面,垂足为,则,取的中点,连接,则.又因为,所以平面,所以,所以为二面角的平面角.又,所以.而,所以.故二面角的大小是.探究点2平面与平面垂直的性质定理知识详解1.平面与平面垂直的性质定理.文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直图形语言符号语言2.平面与平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线.典例剖析例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的点，四边形ABCD是边长为a的菱形且，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若为的中点,求证:平面;（2）求证:.解析（1）连接,在菱形中,由,可得为正三角形,则,从而平面;（2）要证,只需证平面即可.答案（1）如图,在菱形中,连接.所以为正三角形.又因为是的中点,所以.又因为平面平面,平面平面,所以平面.(2)如图,连接.因为是正三角形,是的中点,所以.又因为,所以平面.又因为平面,所以.变式训练2已知是所在平面外的一点,且平面,平面平面,求证:.答案如图,在平面内作于点.因为平面平面,且交线为平面,所以平面.又因为平面,所以.因为平面平面,所以.又因为,所以平面,又因为平面,所以.易错易混解读例如图,平面,求二面角的余弦值.错解平面,为二面角的平面角.在中,,,即二面角的余弦值为.错因分析忽视二面角的平面角定义中的垂直关系而误认为为所求二面角的平面角.正解平面平面,.又平面.又平面.为二面角的平面角.在中,.又.在中,,即二面角的余弦值为.纠错心得求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直.课堂快速检测1.平面平面,直线,则（）A.B.C.与相交D.以上都有可能2.平面平面,平面,则（）A.B.C.与斜交D.3.若平面与平面不垂直,那么平面内能与平面垂直的直线有（）A.0条B.1条C.2条D.无数条4.在正方体中,截面与底面所成二面角的正切值为（）A.B.C.D.5.若,点,则下列命题中正确的有_____.(填序号)(1)过垂直于的平面垂直于;(2)过垂直于的直线垂直于;(3)过垂直