高考数学二轮总复习专题突破练13空间几何体的结构表面积与体积

专题突破练13空间几何体的结构、表面积与体积一、单项选择题1.某圆锥的母线长为2,底面半径为3,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A.2 B.3 C.2 D.12.阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理,即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切,球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型,其中圆柱的表面积为12π,则该模型中球的体积为()A.8π B.4π C.8π3 D3.(2023·海南学业水平诊断)如图所示,某制药厂以前生产的维C药片的形状是由一个圆柱和两个直径为12cm的半球组成的几何体,总长度为2cm.现根据市场需求进行产品升级,要将药片形状改为高为12cm的圆柱,且升级前后药片的表面积相同,则升级后的药片体积相比升级前(A.减少了π48cm3 B.增加了π48C.减少了π96cm3 D.增加了π964.正多面体的各个面都是全等的正多边形,其中,面数最少的正多面体是正四面体,面数最多的正多面体是正二十面体,它们被称为柏拉图多面体.某些病毒,如单纯疱疹病毒的核衣壳就是正二十面体.如图,正二十面体是由20个等边三角形组成的.已知多面体满足顶点数棱数+面数=2,则正二十面体的顶点的个数为()A.30 B.20 C.12 D.105.(2023·山东临沂一模)古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》中记载着一个确定重心的定理:“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交,那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”,即V=Sl(V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积,S表示平面图形的面积,l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长).如图,直角梯形ABCD,已知AB∥DC,AB⊥AD,AB=3CD,AD=3,则其重心G到AB的距离为()A.74 B.32 C.546.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥OABC的体积为()A.212 B.312 C.247.(2023·广西南宁二中模拟)已知体积为4π3的球O1与正三棱柱ABCA1B1C1的所有面都相切,则三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为(A.24π B.20π C.16π D.12π8.(2023·广东惠州模拟)河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型,经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型,冠部为“方斗”形,上扬下覆,取上承“甘露”、下纳“地气”之意.冠部以及冠部下方均可视为正四棱台.已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为1∶4,高为2,体积为563,则该“方斗”的侧面积为(A.24 B.12 C.245 D.1259.(2023·广东深圳一模)如图,一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是()A.(16,56) BC.(12,23) D二、多项选择题10.已知正四棱台的上底面边长为1,侧棱长为2,高为2,则()A.棱台的侧面积为83B.棱台的体积为132C.棱台的侧棱与底面所成的角为πD.棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为311.(2023·江苏连云港模拟)折扇在我国有悠久的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面,是运筹帷幄,决胜千里,大智大勇的象征(如图①).图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且∠ABC=120°,则该圆台()图①图②A.高为2B.表面积为34C.体积为52D.上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶24三、填空题12.将一个边长为2的正三角形以其中一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的表面积为.

13.(2023·青海西宁模拟)已知A,B,C三点都在表面积为100π的球O的表面上,若AB=43,∠ACB=60°,则球心O到平面ABC的距离等于.

14.(2023·新高考Ⅱ,14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为.

15.(2023·广西梧州模拟)如图所示的六面体由两个棱长为a的正四面体MABC,QABC组合而成,记正四面体MABC的内切球为球O1,正四面体QABC的内切球为球O2,则O1O2=;若在该六面体内放置一个球O,则球O的体积的最大值是.

专题突破练13空间几何体的结构、表面积与体积一、单项选择题1.A解析如图,设截面为△SMN,P为MN的中点,O为底面圆的圆心,OP=x(0≤x<3),由题意可知SB=2,OB=3,则SO=1,SP=x2+1,MN=2所以S△SMN=12MN·SP=因为0≤x<3,所以当x2=1,即x=1时,(S△SMN)max=2.故选A.2.D解析由题意可知球的表面积为12π×23=8π,设球的半径为r,则4πr2=8π,解得r=2,所以球的体积为43πr3=43π×(3.D解析以前的药片表面积为4π×(14)2+π×12×32=π(cm2),体积为43π×(14)3+π×(14)2×32=11π96(cm3).设升级后的药片底面半径为r,则2πr2+2πr×12=π,得2r2+r1=0,解得r=14.C解析依题意,正二十面体的棱的条数为20×32=30,所以正二十面体的顶点的个数为3020+2=125.C解析设CD=x,AB=3x,直角梯形绕AB旋转一周所得的几何体的体积为V=π·32·x+13·π·32·(3xx)=15πx.梯形ABCD的面积S=12×(x+3x)×3=6x,故记重心G到AB的距离为h',则重心绕旋转轴旋转一周的周长为l=2πh',则15πx=(2πh')·66.A解析如图,AC⊥BC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=22,由题意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=OC2-CO127.B解析因为球O1的体积为4π3,所以球O1的半径为1,又因为球O1与正三棱柱ABCA1B1C1的所有面都相切,所以正三棱柱ABCA1B1C1底面内切圆的半径为1,棱柱高为2.设正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O,底面ABC内切圆的圆心为O',设BC的中点为D,则O'在AD上,且O'D=1,所以AO'=2,又因为OO'=1,所以三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径为OA=12+22=5,即外接球的表面积为4π×8.D解析由题意可知,记正四棱台为ABCDA1B1C1D1,其底面为正方形,侧面为四个等腰梯形,把该四棱台补成正四棱锥PABCD如图,设M是底面ABCD上AC与BD的交点,N是底面A1B1C1D1上A1C1与B1D1的交点,则PM是正四棱锥PABCD的高,MN为正四棱台ABCDA1B1C1D1的高,设A1B1=a,AB=b,则上、下底面的面积分别为a2,b2,由题意知a2∶b2=1∶4,所以b=2a.在△PAB中,PA1PA=A1在△PAM中,PA1PA=PNPM=1又因为VABCD-A1B1C1D1=13×(a2所以PA=PM2+AM2=42+(2所以侧面积S=4×12×(2+4)×9.A解析将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,如图,水最少的临界情况是水面为平面A1BD,水最多的临界情况为多面体ABCDA1B1D1,水面为平面B1CD1.因为VA-A1BD=13×12×1×1×1=16,VABCD-A1B1二、多项选择题10.AC解析如图,过点A1作A1H⊥AB于点H,过点A1作A1M⊥AC于点M,则A1M⊥平面ABCD,AH⊥MH,所以AM=A又因为AH=MH,所以AH=1,所以A1H=22-12=3,AB=2×1+1=3.所以棱台的侧面积为4因为上底面面积S'=1,下底面面积S=9,所以棱台的体积为13(S+S'S+S')·A1M=13×13因为∠A1AM为侧棱A1A与底面所成的角,cos∠A1AM=AMA1A=22,所以∠因为∠A1HM为侧面AA1B1B与底面所成二面角的平面角,sin∠A1HM=A1M故选AC.11.BCD解析对于A,设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,则2πr=13·2π·1,2πR=13·2π·3,解得r=13,R=1,所以圆台的母线长为31=2,高为h=22-(1-13)

2=423,选项A错误;对于B,圆台的上底面积为π9,下底面积为π,侧面积为12×(2π3+2π)×2=8π3,所以圆台的表面积为S=π9+π+8三、填空题12.43π解析由题意可知所得几何体为两个同底的圆锥组成的组合体,圆锥的底面半径为3,母线长为2,则所求表面积为2×π×3×213.3解析如图所示,设△ABC的外接圆的圆心为O',球O半径为R.根据正弦定理可知BO'=AB2sin∠ACB=432×32=4.由球O的表面积为100π得4πR2=100π,解得R=5.由球的性质可知,△OBO'14.28解析如图所示,在正四棱锥PABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.点O',O分别为正四棱台ABCDA'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,点H',H为垂足.由题意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知△PO'H'∽△POH,所以PO'PO=O'H'OH,即3PO=12,解得PO=6,所以OO'=POPO'=3,所以该正四棱台的体积是V=1315.6a686πa3729解析如图,取BC的中点D,连接由四面体MABC是正四面体,知N为△ABC的中心,且N在线段AD上,AD⊥BC.由正四面体的棱长为a,可得AD=3a2,MN=AM2-A设球O1的半径为r,由等体积法可得VMABC=13×3a24根据该六面体的对称性可知正四面体MABC的内切球和正四面体QABC的内切球均与平面ABC相切于N点,可得O1O2=2r=6当球O的体