天津市河西区2025届高三上学期期中质量调查数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市河西区2025届高三上学期期中质量调查数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，所以，又因为，所以.故选：D.2.设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立；若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立，即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B3.若，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】选项A，若，则结论错误，故选项A错误；选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误；选项C，当时，，故选项C错误；选项D，可知，，故选项D正确.故选：D4.已知，，则（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】由可得，所以，故选：C5.已知，，且，则的最大值为（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得，且，得，当且仅当，即时取等号，因此，所以的最大值为.故选：C.6.函数，则，（）A.是偶函数，且在区间上单调递增 B.是偶函数，且在区间上单调递减C.是奇函数，且在区间上单调递增 D.是奇函数，且在区间上单调递减【答案】A【解析】的定义域为,且，故，即函数是偶函数；因，当时，，则，即函数在区间上单调递增.故选：A.7.已知，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故选：B.8.将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】数列中的项为，观察得到中的奇数项都是数列中的项，即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列，故，故.故选：D9.已知函数有下列结论：①最小正周期为；②点为图象的一个对称中心；③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是；④若的导函数为，则函数的最大值为.则上述结论正确的是（）A.①② B.②③ C.①④ D.①③④【答案】C【解析】由题可知最小正周期为,故①正确；根据正弦型函数的性质可知，的对称中心横坐标满足，显然，故②不正确；因为，所以，由复合函数的单调性可知，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，有最大值为1，，所以要使在区间上有两个实数根，则，故③错误;由题得，所以其中，所以的最大值为，故④正确.故选：C第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.已知角的终边上有一点，则________.【答案】【解析】由题意知角的终边上有一点，则,故.11.已知数列满足，点在函数的图象上，其中k为常数，且，，成等比数列，则________.【答案】2【解析】因为点在函数的图象上，所以，所以，又，所以，，，因为，，成等比数列，所以，解得或（舍去）.12.化简：________.【答案】【解析】易知.13.记的内角的对边分别为，若，，，则________.【答案】【解析】由可得，又，且，解得；同理由可得，由正弦定理可得，即.14.在平面四边形中，，，，若，则________；若为线段上一动点，当取得最小值时，则________.【答案】【解析】因为平面四边形中，，，，所以是边长为2的等边三角形，在，，所以，因为，又，所以，所以在，同理可得在上，且分别是的四等分点，如图建立平面坐标系，则，所以，再设，则，，显然时，取得最小，此时，所以.15.已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________.【答案】【解析】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解，即y=fx与或的图象交点的横坐标，当时，，则，所以时，f'x>0，所以在上单调递增，当时，f'x<0，可得在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，且；作出函数的大致图象如下图所示：所以当时，由图可知y=fx与无交点，即方程无解；y=fx与有两个不同的交点，即有两个实数解；当时，，令，则，则，作出大致图象如下图所示：因为当时，y=fx与有两个不同的交点，所以只保证与及共有四个交点即可，所以只需，解得，即可得正实数的取值范围.三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数解析式；（2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.解：（1）由图可知，，，所以，.将点代入得，.又，所以，所以.（2）（i）将的图象向左平移个单位长度，得，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，所以，所以；（ii）因为，所以，，所以，所以，所以，故在上的值域为.17.如图，中，，，，是的中点，延长交于点.（1）用，表示；（2）设，求的值；（3）若，，求面积的最大值.解：（1）由点是的中点，得.（2）设，，，，则，①又，②所以对比①②得，得，所以；（3）由（2）得，即，因，，所以，即，当且仅当，即时等号成立，此时面积最大，为.18.在中，内角所对的边分别为，.（1）求的大小；（2）若，边上的高为.（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）因为，，为内角，所以，因为，所以可化为：，即，即，因为，解得：.（2）（i）由三角形面积公式得，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，所以；（ii）由（i）可得，在中，由正弦定理可得，即，解得，又，所以为锐角，所以，所以，，所以.19.设是等比数列，公比大于0，是等差数列.已知，，，.（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求的值；（3）设其中，求.解：（1）设数列的公比为，，数列bn的公差为，因为且，所以，解得或，又因为，所以，所以，，则，，因为且数列bn是等差数列，所以，，又，所以，，所以，，，所以，.所以数列的通项公式为，，数列bn的通项公式为，.（2）由（1）可知因此数列的前n项和为即可得.（3）由可知所以，其中，记；则，两式相减可得，可得，即；所以20.已知函数（，为自然对数的底数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程：（2）当时，讨论的单调性；（3）若集合有且只有一个元素，求的值.解：（1）由，可得，中，当时，，，，，所以曲线y=fx在点1,f1（2）由题意及（1）得，在中，，当时，，因为即，此时，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数在上单调递增，在上单