天津市第四十一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市第四十一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题一、选择题：（每小题5分，共45分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，，所以，所以，故选：C2.已知，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解不等式可得或，解得或，解不等式，可得或.或或x>2，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.已知命题：“”，则为（）A. B.C.不存在 D.【答案】B【解析】命题：“”，则为故选:B4.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可知是偶函数，排除A，B；当时，，选项C错误．故选：D.5.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设曲线在点处的切线方程为，因，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为.故选：C6.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120 B.60 C.40 D.30【答案】B【解析】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.故选：B.7.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【答案】A【解析】由题意知报名两个俱乐部的人数为，记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件，则，所以,故选：A8.已知定义在上的偶函数在区间-∞,0上递减.若，，，则，，的大小关系为（）A B. C. D.【答案】B【解析】因为定义在R上的偶函数在区间-∞,0上递减，所以在(0,+∞)上递增，，，，因为，在(0,+∞)上递增，所以，即，故选:B.9.已知，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为关于的不等式恒成立,所以当时恒成立且当时，恒成立；所以当时恒成立且当时，恒成立，即当时恒成立且当时，恒成立；所以当时，令，函数g(x)是开口向下的二次函数，对称轴为，所以当时，即时，函数g(x)在上单调递增，在单调递减，故原不等式恒成立等价于，解得；当时，即时，函数g(x)在上单调递增，故原不等式恒成立等价于，解得；当时，令，则，故在区间上单调递减，在上单调递增，所以原不等式恒成立等价于，即.综上，实数的取值范围是，故选：C.二、填空题：（每小题5分，共30分）10.已知是虚数单位，化简的结果为_________．【答案】【解析】由题意可得.11.在的展开式中，的系数为_________．【答案】【解析】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.12.已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．【答案】【解析】因为，所以，因此．13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．【答案】【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；乙盒中黑球个数为，白球个数为；丙盒中黑球个数为，白球个数为；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，黑球总共有个，白球共有个，所以，．14.已知，则的最小值为_______.【答案】【解析】因为，所以,∴,所以=，当，即时取等号，的最小值为.故答案为：.15.下列命题正确的是______．①对于事件，若，且，则②若随机变量，则③相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差【答案】①③④【解析】对于①，对于事件，，即A发生必定有B发生，则，①正确；对于②，若随机变量，则，②错误；对于③，相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强，正确；对于④，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差，正确，故答案为：①③④.三、解答题：（本大题共5小题，共75分），16.已知定义域为R的单调函数是奇函数,当时,.（1）求的解析式.（2）若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围.解：（1）当时,，，又函数是奇函数，，，故，又．综上所述；（2）为R上的单调函数，且，∴函数在R上单调递减．，，函数是奇函数，．又在R上单调递减，对任意恒成立，对任意恒成立，，解得：．故实数的取值范围为．17.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：；乙：；丙：.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的分布列和数学期望.解：（1）设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，其概率为；（2）记事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，则，事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，则，依题意可知的可能取值为，则，，，，所以的分布列为期望.18.已知函数．（1）求的极值；（2）若，求在上的最大值．解：（1）；当时，,在上单调递增，无极值；当时，,在上，，单调递减，在上，，单调递增，有极小值；综上：当时，无极值；当时，有极小值.（2）由（1）知，时，在上，单调递减，在上，单调递增.所以，当时，；当时，，，若，则，Ⅰ：当时，，；Ⅱ：当时，，；当时，；综上得：.19.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则.A家公司长途客车准点的概率为；B家公司长途客车准点的概率为.（2）列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500=，根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.20.已知函数．（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则．（1）解：[方法一]：常规求导的定义域为，则令f'(x)=0,当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为[方法二]：同构处理由得：令，则即令，则故在区间上是增函数故，即所以的取值范围为（2）证明：[方法一]：构造函数由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大