专题04 一次函数（考点清单） 解析版

专题04讲一次函数（考点清单）【聚焦考点】题型一：正比例函数和一次函数的定义题型二：正比例函数的图像和性质题型三：一次函数的图像问题题型四：一次函数的性质题型五：一次函数和一元一次方程题型六：一次函数和一元一次不等式题型七：一次函数和二元一次方程题型八：一次函数的实际应用题型九：一次函数和几何问题【题型归纳】题型一：正比例函数和一次函数的定义【典例1】（2022上·甘肃平凉·八年级统考期末）下列函数中是正比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的定义，（），对各选项逐一分析判断即可得答案．【详解】解：A.，是正比例函数，故该选项符合题意；B.，自变量x在分母上，不是正比例函数，故该选项不符合题意；C.，自变量x的指数是2，不是1，不是正比例函数，故该项不符合题意，D.，是一次函数，不是正比例函数，故该项不符合题意．故选：A．【专训1-1】（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）下列函数中，是一次函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数的定义解答即可．【详解】解：A．自变量次数为，不是一次函数，故A不符合题意；B．分母中含有未知数，不是一次函数，故B不符合题意；C．自变量次数为，是一次函数，故C符合题意；D．分母中含有未知数，不是一次函数，故D不符合题意．故选：C．【专训1-2】（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）下列选项中，y与x的关系为正比例函数关系的是（

）A．正方形的周长与边长的关系B．圆的面积与半径的关系C．直角三角形中一个锐角的度数y与另一个锐角的度数x的关系D．矩形的面积为，长与宽之间的关系【答案】A【分析】根据正比例函数的定义：形如：的函数为正比例函数，列出题目中的函数关系，判断即可．【详解】A、依题意得到，所以正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系成正比例函数，故本选项正确；B、依题意得到，则y与x不是正比例函数，故本选项错误；C、依题意得到，则y与x是一次函数关系．故本选项错误；D、依题意，得到，则y与x不是正比例函数．故本选项错误；故选：A．题型二：正比例函数的图像和性质【典例2】（2023下·青海西宁·八年级统考期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（

）A． B．图象必经过点C．图象不经过原点 D．y随x的增大而减小【答案】D【分析】根据正比例函数的性质直接解答即可．【详解】解：A．正比例函数的，故选项错误，不符合题意；B．将代入解析式得，，故本选项错误，不合题意；C．正比例函数的图象过原点，故本选项错误，不合题意；D．由于函数图象过二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，故本选项正确，符合题意．故选：D．【专训2-1】（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期末）直线过点，若，则k的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】把点代入解析式可，即可求解．【详解】解：∵直线过点，∴，∴，∵，∴．故选：D【专训2-2】（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）点和都在正比例函数(,且k为常数)的图象上,若,则k的值可能是()A． B． C． D．【答案】B【分析】由,,利用正比例函数的性质可得出,即可得出结论．【详解】解：∵,,即y随x的增大而减小,∴,∴k值可以为．故选：B．题型三：一次函数的图像问题【典例3】（2022下·云南红河·八年级统考期末）如图，已知经过点的直线与直线平行，则k，b的值为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据两直线平行的问题得到，然后把M点坐标代入求出b即可．【详解】解：∵直线与直线平行，，∵直线经过点，，，，故选：A．【专训3-1】（2020上·广东深圳·八年级统考期末）两条直线与在同一坐标系中的图象可能是图中的（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据一次函数的中的的符号，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：A．由图象可知，；由图象可知，，A错误；B．由图象可知，；由图象可知，，B正确；C．由图象可知，；由图象可知，，C错误；D．由图象可知，；由图象可知，，D错误，故选：B．【专训3-2】．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）已知直线：与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，有以下说法：①方程组的解为；②直线：的；③；④当的值最小时，点P的坐标为．其中正确的说法是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求得k的值；③求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；④根据轴对称的性质以及两点之间线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．【详解】解：①∵直线与直线都经过，∴方程组的解为，故①正确，符合题意；②把，代入直线，可得，解得，∴故②正确，符合题意；③把代入直线，可得，中，令，则，∴，∴，在直线中，令，则，∴，∴，∴，故③错误，不符合题意；④点A关于y轴对称的点为，连接，由点C、的坐标得，直线的表达式为：，由对称知，,,当点共线，即点P位于点D处时，,最小，∴当的值最小时，点P的坐标为，故④正确，符合题意；故选：B．题型四：一次函数的性质【典例4】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）对于函数，下列结论正确的是（

）A．它的图象必经过点 B．它的图象与y轴的交点坐标为C．当时， D．y的值随x值的增大而减小【答案】D【分析】根据函数解析式可知“它的图象必经过点”错误；根据函数解析式可知函数经过第一、二、四象限；根据一次函数的性质即可解答．【详解】解：函数解析式为，当时，，“它的图象必经过点”错误，故A项不符合题意；函数解析式为，函数与轴交于，与轴交于，函数经过第一、二、四象限，故B项不符合题意；当时，，当时，，故C项不符合题意；函数解析式为，，的值随值的增大而减小，故D项符合题意；故选：D．【专训4-1】（2023下·山东聊城·八年级统考期末）已知，为直线上不相同的两个点，以下判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可．【详解】解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得，，则．．∵A、B两点不相同，∴，∴．故选：A．【专训4-2】（2023上·四川成都·八年级统考期末）关于一次函数，下列结论正确的是（

）A．图象不经过第二象限B．图象与轴的交点是C．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为D．点和在一次函数的图象上，若，则【答案】C【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答．【详解】A．，，一次函数图象经过第一、二、四象限，故本项原说法错误；B．图象与轴的交点是，故本项原说法错误；C．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故本项说法正确；D.点和在一次函数的图象上，若，则，故本项原说法错误；故选：C．题型五：一次函数和一元一次方程【典例5】（2023下·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（

）

A．或 B． C． D．【答案】C【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【详解】∵直线和直线相交于点，∴的解是：，故选：．【专训5-1】（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）一次函数的与的部分对应值如表所示，根据表中数值分析，下列结论正确的是（

）…………A．随的增大而增大B．一次函数的图像不经过第一象限C．是方程的解D．一次函数的图像与轴交于点【答案】C【分析】根据题意，运用待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数解析式，图像的性质即可求解．【详解】解：一次函数中，，；，；∴，解得，，∴一次函数解析式为，∴选项，，则随的增大而减小，故选项错误，不符合题意；选项，一次函数的图像经过第一、二、四象限，故选项错误，不符合题意；选项，是方程的解，故选项正确，符合题意；选项，一次函数的图像与轴交于点，故选项错误，不符合题意；故选：．【专训5-2】（2023下·江西新余·八年级统考期末）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③关于x的方程的解是；④当时，中．则正确的序号有（）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断．【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限，∴，所以①正确；∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方，∴，所以②错误；∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，∴时，，整理得，则关于x的方程的解是，所以③正确；当时，图像在图像的上方，∴，所以④错误．故选：B．题型六：一次函数和一元一次不等式【典例6】（2022下·云南楚雄·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象，如图所示，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围．【详解】解：由图可得：不等式的解集为：故选：A．【专训6-1】（2022下·陕西西安·八年级校考期末）如图，一次函数和的图象交于点A，不等式的解集为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】对不等式进行变形可得，结合函数图象，求解即可．【详解】解：由题意可得：点A横坐标为不等式可化为：在点A的左侧，满足即不等式的解集为：则不等式的解集为故选：A【专训6-2】（2023下·四川乐山·八年级统考期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（

）

A．关于x的不等式的解集是B．关于x的方程的解是C．当时，函数的值比函数的值大D．关于x，y的方程组的解是【答案】A【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【详解】解：一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，关于的不等式的解集是，选项A判断错误，符合题意；关于的方程的解是，选项B判断正确，不符合题意；当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；故选：A．题型七：一次函数和二元一次方程【典例7】（2023上·湖南长沙·九年级长沙市南雅中学校）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解．【详解】解：将点代入得：∴交点坐标为：由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为故选：B【专训7-1】（2023下·河南郑州·八年级期末）直线与直线相交于点，直线与x轴相交于，则①方程组的解是；②不等式的解集为；③不等式的解集为；④．以上说法正确的共有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】先求出的值，利用图象法解二元一次方程组和不等式，逐一进行判断即可．【详解】解：∵直线与直线相交于点，∴，∴，∴；∴方程组的解是；故①正确，不等式的解集为；故②错误；∵直线与x轴相交于，且随的增大而减小，∴不等式的解集为，故③错误；∵过，，∴，解得：，∴；故④错误；故选A．【专训7-2】（2023下·安徽淮南·八年级统考期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与，小聪根据图象得到如下结论：①；②关于x，y的方程组的解为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式的解集是．其中结论正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解答．【详解】解：∵由图象可知：一次函数与x轴的交点为，∴当时，，即故①正确；∵由图象可知：一次函数与的图象相交点，∴关于x，y的方程组的解为，故②错误；∵由图象可知：一次函数与的图象相交点，∴关于x的方程的解为，故③正确；∵，，由图象可知：一次函数图象不在的图象上方的时，∴不等式的解集为，即不等式的解集是，故④错误；∴正确的有2个；故选：B．题型八：一次函数的实际应用【典例8】（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：A校B校路程（千米）运费单价（元）路程（千米）运费单价（元）甲地200.15100.15乙地150.20200.20(1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式；(2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？【答案】(1)(2)当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元【分析】（1）根据总运费A校的费用+B校的费用求解即可；（2）根据题意列出不等式组，求得，然后利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）（2）根据题意可得，∴∵，，∴y随x增大而增大，∴当时，y最小，此时．答：当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元．【专训8-1】（2023下·吉林白城·八年级校联考期末）如图，表示振华商场一天的某型电脑销售额与销售量的关系，表示该商场一天的销售成本与电脑销售量的关系．观察图象，解决以下问题：(1)当销售量时，销售额＝______万元，销售成本＝______万元；(2)一天销售______台时，销售额等于销售成本；(3)分别求出和对应的函数表达式；(4)直接写出利润w与销售量x之间的函数表达式，并求出当销售量x是多少时，每天的利润达到5万元？【答案】(1)2；3(2)4(3)，(4)，当销售量x是14台时，每天的利润达到5万元【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据，可以写出一天销售多少台时，销售额等于销售成本；（3）根据函数图象中的数据，可以求出和对应的函数表达式；（4）根据题意和（3）中的结果，可以写出利润与销售量之间的函数表达式，并求出当销售量是多少时，每天的利润达到5万元．【详解】（1）解：由图象可以得出：当销售量时，销售额=2万元，销售成本=3万元；故答案为：2，3；（2）解：由图象可以得出：一天销售4台时，销售额等于销售成本；故答案为：4；（3）解：设的对应表达式为将代入，得，解得，即对应的表达式为，设对应的表达式为，将，分别代入，，解得．即对应的表达式为．（4）解：由题意可得，利润与销售量之间的函数，表达式为．当时，解得，即当销售量是14台时，每天的利润达到5万元．【专训8-2】（2022下·广东惠州·八年级统考期末）年被称为“元年”，带领人类步入万物互联时代，而我们的华为在核心专利上排世界第一，引来美国对华为的打压．国家从上而下都在支持华为，某手机店准备进一批华为手机，经调查，用元采购型华为手机的台数和用元采购型华为手机的台数一样，一台型华为手机的进价比一台型华为手机的进价多元．(1)求一台，型华为手机的进价分别为多少元？(2)若手机店购进，型华为手机共台进行销售，其中型华为手机的台数不大于型华为手机的台数，且不小于台，已知型华为手机的售价为元台，型华为手机的售价为元台，且全部售出，设购进型华为手机台，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．【答案】(1)一台，型华为手机的进价分别为元，元(2)当购进型、型华为手机分别为台、台时，利润最大，最大利润是元【分析】（1）根据用元采购型华为手机的台数和用元采购型华为手机的台数一样，一台型华为手机的进价比一台型华为手机的进价多元，可以列出相应的分式方程，本题得以解决；（2）根据题意可以写出销售这批华为手机的利润（元）与（台）的函数关系式以及的取值范围，利用一次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）解：设一台型华为手机的进价是元，则一台型华为手机的进价是元，依题意，得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，∴（元），答：一台，型华为手机的进价分别为元，元；（2）设购进型华为手机台，则购进型华为手机台，由题意可得，，∵型华为手机的台数不大于型华为手机的台数，且不小于台，∴，解得：，即利润（元）与（台）的函数关系式为：（且为整数），∵，∴随的增大而增大，∴当时，取得最大值，此时（元），答：当购进型、型华为手机分别为台、台时，利润最大，最大利润是元．题型九：一次函数和几何问题【典例9】（2022下·广东广州·八年级校考期末）如图，直线与y轴交于点，与轴交于点，过点的直线与轴交于点(1)求点、、的坐标(2)在轴的右侧有一点，且点到轴的距离等于，若，求点的坐标．【答案】(1)，，(2)或【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征利用直线求出点、的坐标，利用过点的直线与轴交于点，求出点的坐标即可；（2）过点作平行的直线，根据一次函数的图象直线平行，系数相等的性质，结合，得出所作直线的解析式，根据平行线之间的距离处处相等、同底等高的三角形面积相等，得出点在所作直线上，根据点到轴的距离等于，得出点的纵坐标为或，分别代入求出点的坐标即可．【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点，与轴交于点，∴当时，；当时，，解得：，∴，，∵过点的直线与轴交于点，∴当时，，解得：，∴；（2）解：如图，过点作平行的直线，

∵直线与y轴交于点，与轴交于点，，∴设所作直线解析式为，把代入得：，解得：，∴所作直线解析式为，点在所作直线上时，同底等高，∵点到轴的距离等于，∴点的纵坐标为或，∴当点的纵坐标为时，，解得：；当点的纵坐标为时，，解得：，∴点的坐标为或，均在轴的右侧，符合题意．【专训9-1】（2023下·吉林·八年级校考期末）如图①，直线：与轴交于点，直线与轴交于点．两直线相交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为．

(1)直接写出点，的坐标；(2)求出直线的函数表达式；(3)如图②，点是射线上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，连接．设点的横坐标为，的面积为．①用表示点，的坐标：，；②求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)①，；②【分析】（1）在直线中，分别令和，可求得、的坐标；（2）利用待定系数法得到直线的解析式；（3）①根据直线，直线即可用表示点、的坐标；②当时，根据，当时，，即可求解．【详解】（1）解：在直线中，令可得，令可得，，；（2）解：设直线的解析式为，∴，解得直线的解析式为；（3）解：①点是线段上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，则：，，故答案为：，；②当时，线段的长度，，与的函数关系式为．当时