2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2（附答案）1．如图，P为平行四边形ABCD边AB上一点，E、F分别为PD、PC的三等分点（靠近P），则阴影部分的面积与四边形CDEF的面积比为（）A． B． C． D．2．如图，已知，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．3．有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的13A．9 B．3 C．3 D．4．如图，、是的两条高，、相交于，则下列结论不正确的是（）．A．∽ B．∽C．∽ D．∽5．如图，已知，若再增加一个条件不一定能使结论成立，则这个条件是（）A． B．C． D．6．如图DE//BC，AD:DB=2:1，那么△ADE与△ABC的相似比为（）A． B． C． D．27．如图，△ABC的高AD，BE交于点0，连接DE，则图中相似三角形共有（）A．4对 B．6对 C．7对 D．8对8．如图，在△ABC中，AC＝15，BC＝18，cosC＝，DE∥BC，DF⊥BC，若S△BFD＝2S△BDE，则CD长为（）A．7.5 B．9 C．10 D．9．已知线段a，b，c，d是比例线段，其中，，，则a等于A．1cm B．4cm C．9cm D．36cm10．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m的两地，它们的实际距离为_____km11．如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线（）相交于点，过作轴于点，，在点右侧的双曲线上取一点，作轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似，则点的坐标是__________．12．如图，已知D是BC边延长线上的一点，DF交AC边于E点，且AF＝1，BC＝3CD，AE＝2EC，则FB长为_____．13．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么这两个三角形的相似比是______．14．如图，在中，，为边上一点．要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是________．（只需填写一个你认为适当的条件即可）15．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的延长线上一点，连接BE交边AD于点F若AB=4，BC=6，DE=2，则AF的长为___.16．若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为________．17．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为_____．18．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A、B之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A、B两点，连接AC，BC，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN//AB交BC于点N，测得MN=36m，则A、B两点间的距离为_____.19．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______.20．如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．求证：21．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？22．如图，，求证：.23．如图，AD为的角平分线，的延长线于E，于F，BF、EC的延长线交于点P，求证：CF//AP24．在中，，，点C在直线m上，，，其中点D、E分别在直线AC、m上，将绕点B旋转点D、E都不与点C重合．当点D在边AC上时如图，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；当为等腰三角形时，求CD的长．25．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，边BC、CD的垂直平分线交于四边形内部一点O，连接BO、DO，已知BO∥AD．（1）判断四边形ABOD的形状？并证明你的结论；（2）连接AO并延长，交BC于点E，若CE＝2，BE＝6，∠ODC＝45°．①求AB的长．②若∠BAD＝135°，求AO•AE的值．26．如图，是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且，AD与BE相交于点F.与相似吗？说说你的理由.27．《九章算术》有一道这样的题，原文如下：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”大意为：今有一座长方形小城（如图），东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好有望见这棵树.请解答上述问题（注：1里=300步）.参考答案1．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CPD＝S四边形ABCD，∵E、F分别为PD、PC的三等分点，∴，∵∠EPF＝∠DPC，∴△PEF∽△PDC，∴，∴，∴，∴阴影部分的面积与四边形CDEF的面积比为，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题．2．A【解析】【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【详解】∵AB∥CD∥EF，∴．故选A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．3．C【解析】【分析】先由位似图形的性质可得这两个正六边形相似；再由缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的13可得相似比为1:3【详解】∵这两个正六边形是位似图形，∴这两个正六边形相似.∵缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的13∴相似比为1:3.∵原正六边形的边长为3，∴后来正六边形的边长为33=3故选C.【点睛】本题考查本题考查位似图形的应用，需掌握位似图形的性质.4．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.【详解】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AEC∴又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，故A正确；∵BD、CE是△ABC的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE∽△COD，故C正确；∵△BOE∽△COD∴又∵∠DOE=∠COB∴△DOE∽△COB，故B正确；无法判定△BOE∽△BDE，故D错误；故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键.5．D【解析】【分析】根据可得∠DAE=∠BAC，因此只要再找一组角相等或一组对应边成比例即可.【详解】解：∵，∴∠DAE=∠BAC.选项A、B中，根据两角分别相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项C中根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项D中，由于∠DAE与∠BAC，不是成比例两边的夹角，所以不一定能使△ADE∽△ABC.故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.6．B【解析】【分析】先求出的值，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】解：∵AD：DB=2：1，∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴△ADE与△ABC的相似比=故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键．7．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可.【详解】解：∵△ABC的高AD，BE交于点O，∴∠BEC=∠ADC=∠OEA=∠ODB=90°.又∵∠C=∠C，∠AOE=∠BOD，∠CAD=∠OAE，∴△AOE∽△BOD∽△ACD∽△BCE.∵△ACD∽△BCE，∴ACBC=CDCE，∴CEBC=CDAC，又∵∠C=∠C，∴△ECD∽△BCA，∴∠DEC=∠ABC，则【点睛】本题考查了相似三角形的性质及其判定，解题的关键是熟练掌握这些性质.8．C【解析】【分析】设CD=5x，CF=3x，先证△AED∽△ABC，得到=，又由S△BFD=2S△BDE，即ED•DF=×BF•DF，解得x=2，即可求CD=5×2=10．【详解】设CD=5x，CF=3x，则AD=15-5x，BF=18-3x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，即=，即=，ED=（1）∵S△BFD=2S△BDE，即ED•DF=×BF•DF，即ED=（18-3x）（2）由（1）（2）得x=2，故CD=5×2=10．故选：C．【点睛】本题较复杂，涉及到三角形相似及平行线的性质，需同学们熟练掌握．9．A【解析】【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：：d，再根据比例的基本性质，求出a的值即可．【详解】、b、c、d是成比例线段，：：d，，，，；故选A．【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．10．300．【解析】【分析】首先根据地图的比例尺，求出在地图上相距3m的两地的实际距离，然后将实际距离的单位换算为km即可.【详解】3÷＝300000（m），300000m＝300答：它们的实际距离为300km故答案为：300．【点睛】本题考查比例尺的应用，学会换算单位也是本题的难点.11．或【解析】【分析】先求出点A、点B的坐标，设点M的坐标为（m，n），分两种情况：当△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出点M的坐标．【详解】解：直线y=x+1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，令x=0得y=1，令y=0得x=-2，∴A（-2，0），B（0，1）．设点M的坐标为（m，n），∵点M在双曲线上，∴n=．当△MCH∽△BAO时，可得，即，∴m-2=2n，即m-2=，∴m2-2m解得：m1=4，m2=-2（舍去），∴n==1，∴M（4，1）；当△MCH∽△ABO时，可得，即整理得：2m-4=，∴m2-2m解得：m1=1+，m2=1-（舍去），∴n==-2，∴M（1+，-2）．综上，M（4，1）或M（1+，-2）．故答案为：（4，1）或（1+，-2）．【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，一次函数图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点M的坐标然后分两种情况进行讨论是解本题的关键．12．2．【解析】【分析】过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得＝，＝，求得BF＝4CG，AF＝2CG，即可得到结论．【详解】过C作CG∥AB交DF于G，∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，∴＝，＝∵BC＝3CD，∴＝，∴＝，∴BF＝4CG，∵AE＝2EC，∴＝，∴AF＝2CG，∵AF＝1，∴BF＝2；故答案为：2．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式求解.13．1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的面积比是1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴这两个三角形的相似比是：1：3．故答案为：1：3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键．14．或或（答案不唯一）【解析】【分析】要使△ABC∽△BCM，可以再添加BM＝BC或∠ABC＝∠BMC或∠A＝∠MBC从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定．【详解】因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C，若BM＝BC或∠ABC＝∠BMC或∠A＝∠MBC（答案不唯一），则△ABC∽△BCM．故答案为BM=BC或∠ABC=∠BMC或∠A=∠MBC（答案不唯一）．【点睛】这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．15．4【解析】【分析】由四边形ABCD是矩形，推出BC=AD=6，AB//CE，设AF=x，则DF=6-x由AB//DE，可得ABDE【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，AB//CE，设AF=x，则DF=6-x，

∵AB//DE，

∴△ABF∽△DEF，

∴ABDE=AFDF，

∴【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．9：16【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个三角形的相似比为3：4，

∴这两个三角形的面积比为9：16，

故答案为：9：16．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17．（﹣8，﹣3）或（4，3）．【解析】【分析】先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．【详解】解：∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B令x=0可得y=1；

令y=0可得x=-2，

∴点A和点B的坐标分别为（-2，0）；（0，1），

∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，∴O′B′=3，AO′=6，

∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．

故答案为：（-8，-3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征，得出点A和点B的坐标是解答此题的关键．18．144m【解析】【分析】根据MN∥AB，可得△CMN∽△CAB，然后再根据相似三角形的性质可得，再代入数进行计算即可．【详解】解：∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵AM=3MC，MN=36m，∴，AB=144m，故答案为144m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形对应边成比例．19．【解析】【分析】由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG=，GM=，即可求解．【详解】∵将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．

∴ME=CE，MB=AB=4=AM，∠D'ME=∠C=90°，

在Rt△MBE中，ME2=MB2+BE2，

∴ME2=16+（8-ME）2，

∴ME=5，

∴BE=3，

∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B

∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°

∴∠AMD'=∠BEM，且∠GAM=∠B=90°

∴△AMG∽△BEM

∴

∴，

∴AG=，GM=

∴△AMG的内切圆半径的长=

故答案为：.【点睛】此题考查三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG，GM的长度是本题的关键．20．证明见详解【解析】【分析】根据垂直得出∠BEC=∠ADC=90°，求出∠CBE=∠DAC，根据相似三角形的判定定理得出即可.【详解】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BEC=∠ADC=90°，

∵∠BCE=∠ACD（公共角），

∴∠CBE=∠CAD，

∴△CBE∽△CAD，∴即：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．21．AB=4.5m【解析】【分析】如图，根据已知可得AB＝BE，再证明△DCM∽△DBA，然后利用相似三角形的性质得出，设AB＝x，代入数据后解方程即可求出AB的高度．【详解】解：如图，∵∠ABE＝90°，∠E＝45°，∴∠E＝∠EAB＝∠EFD＝45°，∴AB＝BE，DE=DF=1.5，∵MC∥AB，∴△DCM∽△DBA，∴，设AB＝x，则BD＝x﹣1.5，∴，解得：x＝4.5．∴路灯A的高度AB为4.5m【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和投影问题，根据已知得出AB＝BE、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．22．见解析【解析】【分析】由，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到∠DAE=∠BAC，根据角的和差得到∠DAB=∠EAC，推出△ADB∽△AEC，即可得到结论．【详解】证明:∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．见解析【解析】【分析】由条件可得CF∥BE，结合条件可证明△BAE∽△ACF，可得到，则有CF∥AP．【详解】证明：∵CF⊥AE，BE⊥AE，∴CF∥BE，∴，∠AFC＝∠AEB＝90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴△BAE∽△CAF，∴，∴，∴CF∥AP．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的逆定理及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意由线段对应成比例也可以证明平行．24．（1）；（2）当为等腰三角形时，CD的长为2或或．【解析】【分析】(1)证明△ADB∽△CEB，通过比例式找到y与x的关系；(2)分情况讨论，①当BE=CE时，C、D重合，不符合题意，舍去；②当BC=BE时，如图1；③当BC=CE时，有两种图形(如图2、3).画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．【详解】解：，．．，，．∽．，即．；当时，C、D重合，不符合题意，舍去；当时，如图1，，，．则．．，是等腰直角三角形．，；当时，Ⅰ如图2，，．．．，．；Ⅱ如图3，则，．，，．．．所以当为等腰三角形时，CD的长为2或或．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．25．（1）证明见解析（2）10（3）100【解析】【分析】（1）连接AO、CO，根据中垂线知OB＝OC＝OD，证△ABO≌△ADO得∠BAO＝∠DAO，由BO∥AD知∠BOA＝∠DAO，从而得∠BAO＝∠BOA，据此知AB＝BO，继而得证；（2）连接CO、DE，设DE交OC于点P，先证△BOE≌△DOE得BE＝DE、∠OBE＝∠ODE，结合∠OBC＝∠OCB知∠OCE＝∠ODE，由∠EPC＝∠OPD知∠CEP＝∠DOP＝90°，根据CE2+DE2＝DC2知CE2+BE2＝2AB2，代入计算可得；（3）由△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°知∠OEB＝∠OED＝45°，结合四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°知∠ABO＝45°，从而得∠ABO＝∠AEB，证△ABO∽△AEB得AO•AE＝AB2，代入计算可得．【详解】解：（1）四边形ABOD是菱形，理由如下：如图1，连接AO、CO，∵边BC、CD的垂直平分线交于