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文档简介

甘肃省通渭县2025届高三一诊考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.集合,,则=()A. B.C. D.2.设正项等比数列的前n项和为,若,,则公比()A. B.4 C. D.23.如图,圆锥底面半径为,体积为,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于()A. B.1 C. D.4.在的展开式中,含的项的系数是()A.74 B.121 C. D.5.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大,则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.6.已知全集,集合,则=()A. B.C. D.7.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是()A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲8.某几何体的三视图如图所示,若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形,则该几何体的体积为A. B. C. D.9.函数在上为增函数,则的值可以是()A.0 B. C. D.10.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.411.已知为等比数列,,,则()A.9 B.-9 C. D.12.已知,,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,若对于任意正实数,均存在以为三边边长的三角形,则实数k的取值范围是_______.14.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,则a1=_____,a1+a2+…+a5=____15.已知集合,,则________.16.若,则____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.18.(12分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求的分布列与数学期望.19.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;(2)设曲线与曲线交于,两点,求.20.(12分)已知函数(其中是自然对数的底数)(1)若在R上单调递增,求正数a的取值范围;(2)若f(x)在处导数相等,证明:;(3)当时,证明:对于任意,若,则直线与曲线有唯一公共点(注:当时,直线与曲线的交点在y轴两侧).21.(12分)等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项,第3项,第4项.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前2020项的和.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点分别为、,焦距为2,直线与椭圆交于两点(均异于椭圆的左、右顶点).当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时,四边形的面积为6.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线的斜率分别为.①若,求证:直线过定点;②若直线过椭圆的右焦点,试判断是否为定值,并说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先化简集合A,B,结合并集计算方法,求解,即可.【详解】解得集合,所以,故选C.【点睛】本道题考查了集合的运算,考查了一元二次不等式解法,关键化简集合A,B,难度较小.2、D【解析】

由得,又,两式相除即可解出.【详解】解:由得,又,∴,∴,或,又正项等比数列得,∴,故选:D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用,属于基础题.3、D【解析】

建立平面直角坐标系,求得抛物线的轨迹方程,解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【详解】将抛物线放入坐标系,如图所示,∵,,,∴,设抛物线,代入点,可得∴焦点为,即焦点为中点,设焦点为,,,∴.故选:D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念,抛物线的性质,两点间的距离等基础知识;考查运算求解能力,空间想象能力,推理论证能力,应用意识.4、D【解析】

根据,利用通项公式得到含的项为:,进而得到其系数,【详解】因为在,所以含的项为:,所以含的项的系数是的系数是,,故选:D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数,还考查了运算求解的能力,属于基础题,5、B【解析】

由抛物线的定义转化,列出方程求出p,即可得到抛物线方程.【详解】由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,,所以抛物线的标准方程为:y2=2x.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,属于基础题.6、D【解析】

先计算集合,再计算,最后计算.【详解】解:,,.故选:.【点睛】本题主要考查了集合的交,补混合运算,注意分清集合间的关系,属于基础题.7、D【解析】

根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误.对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误.对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误.对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确.故选:D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.8、C【解析】

由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是边长为的等边三角形,三棱锥的高为,所以该几何体的体积,故选C.9、D【解析】

依次将选项中的代入,结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时,在上不单调,故A不正确;当时,在上单调递减,故B不正确;当时,在上不单调,故C不正确;当时,在上单调递增,故D正确.故选:D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性,涉及到诱导公式的应用,是一道容易题.10、A【解析】

根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、C【解析】

根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【详解】∵,∴,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时,,∴;当时,,∴.故选:C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.12、B【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性,将数据和做对比,即可判断.【详解】由于,,故.故选:B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据三角形三边关系可知对任意的恒成立,将的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论,转化为的最小值与的最大值的不等式,进而求出的取值范围.【详解】因为对任意正实数,都存在以为三边长的三角形,故对任意的恒成立,,令,则,当,即时,该函数在上单调递减,则;当,即时,,当,即时,该函数在上单调递增,则,所以,当时,因为,,所以,解得;当时,,满足条件;当时,,且,所以,解得,综上,,故答案为:【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.14、80211【解析】

由,利用二项式定理即可得,分别令、后,作差即可得.【详解】由题意,则,令,得,令,得,故.故答案为:80,211.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,属于中档题.15、【解析】

利用交集定义直接求解.【详解】解:集合奇数,偶数,.故答案为:.【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.16、【解析】

由,得出,根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简,再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数化简求值,利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式,以及运用齐次式求值,属于对公式的考查以及对计算能力的考查.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解析】

(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数,即,整理.设直线的方程为,与椭圆联立,将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得,,又,解得,.所以,椭圆的方程为(2)存在定点,满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为,与椭圆联立,整理得,.设,,定点.(依题意则由韦达定理可得,,.直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数.所以,,即得.又,,所以,,整理得,.从而可得,,即,所以,当,即时,直线与直线恰关于轴对称成立.特别地,当直线为轴时,也符合题意.综上所述,存在轴上的定点,满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,熟记椭圆方程简单性质,熟练转化题目条件,准确计算是关键,是中档题.18、(1);(2)见解析.【解析】

事件表示男学员在第次考科目二通过,事件表示女学员在第次考科目二通过(其中)(1)这对夫妻是否通过科目二考试相互独立,利用独立事件乘法公式即可求得;(2)补考费用之和为元可能取值为400,600,800,1000,1200,根据题意可求相应的概率,进而可求X的数学期望.【详解】事件表示男学员在第次考科目二通过,事件表示女学员在第次考科目二通过(其中).(1)事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费..(2)的可能取值为400,600,800,1000,1200.,,,,.则的分布列为:40060080010001200故(元).【点睛】本题以实际问题为素材,考查离散型随机变量的概率及期望,解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用,属于基础题.19、(1);(2)【解析】

(1)利用互化公式,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,即可求出面积;(2)联立方程组,分别求出和的坐标,即可求出.【详解】解:(1)由于的极坐标方程为,根据互化公式得,曲线的直角坐标方程为:当时,,当时,,则曲线与极轴所在直线围成的图形,是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,∴围成图形的面积.(2)由得,其直角坐标为,化直角坐标方程为,化直角坐标方程为,∴,∴.【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程,以及联立方程组求交点坐标,考查计算能力.20、(1);(2)见解析;(3)见解析【解析】

(1)需满足恒成立,只需即可;(2)根据的单调性,构造新函数,并令,根据的单调性即可得证;(3)将问题转化为证明有唯一实数解,对求导,判断其单调性,结合题目条件与不等式的放缩,即可得证.【详解】;令,则恒成立;,;的取值范围是;(2)证明:由(1)知,在上单调递减,在上单调递增;;令,;则;令,则;;;(3)证明:,,要证明有唯一实数解;当时,;当时,;即对于任意实数,一定有解;;当时,有两个极值点;函数在,,上单调递增,在上单调递减;又;只需,在时恒成立;只需;令,其中一个正解是;,;单调递增,,(1);;;综上得证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数证明不等式,考查了转化思想、不等式的放缩,属难题.21、(1),;(2).【解析】

(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通

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