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文档简介
北京市门头沟区市级名校2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知a,b∈R,,则()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a2.定义在上的偶函数,对,,且,有成立,已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.3.已知向量,,若,则()A. B. C. D.4.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为,且,则()A.45 B.42 C.25 D.366.由曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为()A.1 B. C. D.7.复数满足,则复数在复平面内所对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()A. B. C. D.9.若复数,其中为虚数单位,则下列结论正确的是()A.的虚部为 B. C.的共轭复数为 D.为纯虚数10.将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型,如图(2)放置,如果正四棱锥的主视图是正三角形,如图(3)所示,则正四棱锥的体积是()A. B. C. D.11.已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若直线与直线交于点,则长度的最大值为____.14.已知函数恰好有3个不同的零点,则实数的取值范围为____15.已知数列与均为等差数列(),且,则______.16.已知数列满足,,若,则数列的前n项和______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,是棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,点是线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知集合,,,将的所有子集任意排列,得到一个有序集合组,其中.记集合中元素的个数为,,,规定空集中元素的个数为.当时,求的值;利用数学归纳法证明:不论为何值,总存在有序集合组,满足任意,,都有.19.(12分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线.20.(12分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.21.(12分)已知在多面体中,平面平面,且四边形为正方形,且//,,,点,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22.(10分)等差数列的前项和为,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列{}的前项和为,求使成立的的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
两复数相等,实部与虚部对应相等.【详解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故选:C.【点睛】本题考查复数的概念,属于基础题.2、A【解析】
根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解:对,,且,有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为,,所以故选:A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用,基础题.3、A【解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【详解】由题意得,,,,解得.故选A.【点睛】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.4、B【解析】
由题意画出图形,设球0得半径为R,AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为,,,由,得.如图:设三角形的外心为,连接,,,可得,则.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.则三棱锥的体积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积,基本不等式等基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.5、D【解析】
由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.【详解】由题,.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.6、B【解析】
首先求得两曲线的交点坐标,据此可确定积分区间,然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程:可得:,,结合定积分的几何意义可知曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为:.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算,属于中等题.7、B【解析】
设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【详解】设,则,,,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.8、C【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径,再分别求出三角形和内切圆的面积,根据几何概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,直角三角形的斜边长为,利用等面积法,可得其内切圆的半径为,所以向次三角形内投掷豆子,则落在其内切圆内的概率为.故选:C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题,其中解答中熟练应用直角三角形的性质,求得其内切圆的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.9、D【解析】
将复数整理为的形式,分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为,错误;,错误;,错误;,为纯虚数,正确本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识,属于基础题.10、B【解析】设折成的四棱锥的底面边长为,高为,则,故由题设可得,所以四棱锥的体积,应选答案B.11、B【解析】
由题意可知函数为上为减函数,可知函数为减函数,且,由此可解得实数的取值范围.【详解】由题意知函数是上的减函数,于是有,解得,因此,实数的取值范围是.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数,一般要分析每支函数的单调性,同时还要考虑分段点处函数值的大小关系,考查运算求解能力,属于中等题.12、A【解析】
试题分析:α⊥β,b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.考点:充分条件、必要条件.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.【详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,其交点在以为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段的最大值为,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,所以线段的最大值为.故答案为:【点睛】本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.14、【解析】
恰好有3个不同的零点恰有三个根,然后转化成求函数值域即可.【详解】解:恰好有3个不同的零点恰有三个根,令,,在递增;,递减,递增,时,在有一个零点,在有2个零点;故答案为:.【点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点,这类题一般用分离参数的方法,中档题.15、20【解析】
设等差数列的公差为,由数列为等差数列,且,根据等差中项的性质可得,,解方程求出公差,代入等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为,由数列为等差数列知,,因为,所以,解得,所以数列的通项公式为,所以.故答案为:【点睛】本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题.16、【解析】
,求得的通项,进而求得,得通项公式,利用等比数列求和即可.【详解】由题为等差数列,∴,∴,∴,∴,故答案为【点睛】本题考查求等差数列数列通项,等比数列求和,熟记等差等比性质,熟练运算是关键,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)的中点,连接,,证明四边形是平行四边形可得,故而平面;(2)以为原点建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算与的夹角的余弦值得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,分别是,的中点,,,又,,,,四边形是平行四边形,,又平面,平面,平面.(2)解:,,又,故,以为原点,以,,为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,是的中点,是的三等分点,,1,,,,,,,,,0,,,2,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得,,,,,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定,空间向量与直线与平面所成角的计算,属于中档题.18、;证明见解析.【解析】
当时,集合共有个子集,即可求出结果;分类讨论,利用数学归纳法证明.【详解】当时,集合共有个子集,所以;①当时,,由可知,,此时令,,,,满足对任意,都有,且;②假设当时,存在有序集合组满足题意,且,则当时,集合的子集个数为个,因为是4的整数倍,所以令,,,,且恒成立,即满足对任意,都有,且,综上,原命题得证.【点睛】本题考查集合的自己个数的研究,结合数学归纳法的应用,属于难题.19、(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.【解析】由与,得,,的方程为.设,则,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),当且仅当或时,取最小值,此时,,故与共线.20、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.【解析】
(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.平面.(Ⅱ)平面,四边形为正方形.所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,则,,,,设平面法向量为,则,连结,可得,又所以,平面,平面的法向量,设二面角的平面角为,则.(Ⅲ)线段上存在点使得,设,,,,所以点为线段的中点.【点睛】本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定位置,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)构造直线所在平面,由面面平行推证线面平行;(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,再由法向量之间的夹角,求得二面角的余弦值.【详解】(1)过点交于点,连接,如下图所示:因为平面平面,且交线为,又四边形为正方形,故可得,故可得平面,又平面,故可得.在三角形中,因为为中点,,故可得//,为中点;又因为四边形为等腰梯形,是的中点,故可得//;又,且平面,平面,故面面,又因为平面,故面.即证.(2)连接,,作交于点,由(1)可知平面,又因为//,故可得平面,则;又因为//,,故可得即,,两两垂直,则分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,设面的法向量为,则,
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